中国和俄罗斯高考数学考查内容比较研究

1、第：5 卷第：期数学教育学报 V o L 2 5 ，N o 2 2 0 1 6 年4 月 J o U R N A Lo FM L A T H E M A T I C SE D U C A T I O NA p r ，2 0 1 6 中国和俄罗斯高考数学考查内容比较研究 张瑞炳1 ，倪明2 ( 1 福建省厦门双十中学枋湖校区，福建厦门3 6 1 0 0 9 ；2 华东师范大学出版社，上海2 0 0 0 6 2 ) 摘要：俄罗斯的高校招生，以往一直实施高校自主命题招生在试点的基础上己于2 0 0 9 年推行国家统一考试2 0 1 4 年 1 1 月，俄罗斯教育与科学部发布了2 0 1 5 年国家统

2、一考试相关信息这里就俄罗斯国家统一考试数学试题( 样题) 与中国2 0 1 5 年新课标全国卷I 理科数学，从联系生活实际、平面几何、初等数论初步、立体几何和函数等5 个方面的内容进行比较研究， 发现考查内容、能力要求和评分标准存在一些差异，这对中国数学课程内容的设置和高考数学试题的命制等方面有一定的借 鉴价值，中国可以适当改变平面几何考查方式 关键词：高考数学；考查内容；比较研究；俄罗斯 中图分类号：G 4 0 0 5 9 3 文献标识码：A 文章编号：1 0 0 4 - 9 8 9 4 ( 2 0 1 6 ) 0 2 - 0 0 3 2 - 0 4 俄罗斯于2 0 1 4 年1 1 月在网

3、上公布了2 0 1 5 年国家统一 考试的有关信剧1 1 这里就2 0 1 5 年国家统一考试数学专业 水平样卷( 以下简称俄罗斯样卷) ，与2 0 1 5 年新课标全国卷 I 理科数学( 以下简称高考课标卷I ) 的高考试题作一比较， 或许能从中学到些什么，给中国数学课程的新高考改革方案 带来一些有益的思考与启发 1 俄罗斯高考概述 俄罗斯于2 0 0 1 年在部分地区开展国家统一考试的实 验，2 0 0 9 年在全境正式实施【2 1 国家统一考试评分体系略微 复杂，涉及原始分和测试分，测试分的分值高于该科目规定 的最小分值，并且决定考生是否能考取理想的大学和专 业俄罗斯国家统一考试要兼顾两

4、项职能：一是要保证大多 数中学生获得中等教育的毕业证书，二是要满足国家对各类 人才进行有效选拔的需型引 2 0 1 5 年俄罗斯国家统一考试数学学科分两种水平：基础 水平和专业水平基础水平考试用于取得中学毕业证书，也 可用于申请大学的相关系科一般而言，参加基础水平考试 的考生只能申请对数学要求较弱的系科，如莫斯科大学语言 文学系的实用语言学方向2 0 1 5 年数学基础水平国家统一考 试要求在1 8 0 分钟内作答2 0 道题目，题副I 顷序由易到难 专业水平考试用于申请大学里对数学有较高要求的系 科，而且这些系往往需要加试数学譬如，莫斯科大学的数 学力学系、计算数学与控制论系、经济系等2 0

5、 1 5 年专业 水平考试的试题由两部分组成，包括2 l 道题目 第一部分由9 道基础题组成第二部分由8 道较高难度的 题目和4 道高难度的题目组成，考查毕业生的数学专业素养 第1 1 4 题是填空题，答案为整数或有限小数第1 5 - 2 1 题是解答题 第1 1 4 题每题为1 分，第1 5 、1 6 和1 7 题满分为2 分，第 1 8 和1 9 题满分为3 分，第2 0 和2 1 题满分4 分总分为3 4 分 考试时间为3 小时5 5 分钟( 2 3 5 分钟) 根据俄罗斯教育科学部关于按照普通中学教学大纲举 行国家考试的有关文件精神，国家统一考试试卷中的每一道 解答题，阅卷工作由两位专

6、家按顺序独立进行；如果两位阅 卷专家的评分存在实质性差异，需要指定第三位专家复 审评分的实质性差异根据科目的评分细则来确定第三位 阅卷专家进行复查时可以查阅前两位的评分信息如果两位 阅卷专家对任何一道题目的评分差异为2 分或更多的，考卷 送第三位专家复查在这种情况下，第三位专家只检查前两 位评分有实质性差异的那道题如果至少有两道题的评分有 差异，那么需要送第三位专家复查复查者需要对所有的题 目进行复查 根据俄罗斯联邦教育科学部的规定，俄罗斯所有高等学 校的新生录取都必须根据国家统一考试成绩，同时有2 1 所高 校可以举行加试莫斯科大学也在允许加试的名单之列【1 1 2 考查内容比较 2 1 关

7、于联系生活实际的内容 “数学来源于生活，又回归生活我们在中学数学教学 中，往往过于重视数学知识的教学，而很少关注这些数学知 识和学生的实际生活有哪些联系” 4 1 在高考课标卷I 中，只 有一道试题涉及产品的宣传费、销售量和利润的问题，似乎 只有与钱有关的问题才能引起国人的兴趣而在俄罗斯样卷 中有不少联系实际生活的试题，例如第2 、3 、1 1 、1 3 和1 9 题分别涉及气温变化、瓷砖购买方案、深潜箱定位器入水速 度、船的运行速度和银行贷款问题通过高考试题的导向作 用，教师利用各种载体培养学生的数学问题解决意识，有效 地激发学生将数学知识应用于实践的积极性，提高他们利用 数学解决问题的能力

8、，达到学以致用的目的，促进学生数学 素质的提耐引 2 2 关于平面几何的内容 俄罗斯样卷第1 9 题：两圆外切于点K ，直线A B 切第 一个圆于点4 ，切第二个圆于点B 直线B K 交第一个圆于 点D ，直线A K 交第一个圆于点c ( 1 ) 证明直线A D 与B C 平行； ( 2 ) 己知两圆的半径分别是4 和1 ，求Z L 4 K B 的面积 高考课标卷I 选考题：如图l ，A B 是O D 的直径，A C 收稿日期：2 0 1 5 - 1 2 1 0 基金项目：上海市核心数学与实践重点实验室资助( 1 3 d z 2 2 6 0 4 0 0 ) 作者简介：张瑞炳( 1 9 7 0

9、_ 一) ，男，福建福安人，中学高级教师，厦门市专家型教师，主要从事高中数学教学实践研究 万方数据 第2 期 张瑞炳等：中国和俄罗斯高考数学考查内容比较研究 是o D 的切线，B C 交0 0 于点E ( 1 ) 若D 为A C 的中点，证明：D E 是0 0 的切线； ( 2 ) 若似= 妣，求L A C B 的大小 图1 这两道试题虽然都以圆为背景，但俄罗斯试题没有给出图 形，而能力的标志在于图形的确定和方法的选取，如果给出图 形和限定使用某种方法，只能考查考生对这种图形的识别能力 和该种方法掌握的准确和熟练的程度如果不加限定，而由考 生自己确定图形和选取方法，那么所考查的能力又高了一层

10、然而，由于中国初中新课标淡化平面几何的推理论证及 逻辑体系，使得各版本的教材中，平面几何有些支离，不利 于教学数学是- - f 严格渐进的课程，中学平面几何可以训 练学生的空间想象、逻辑推理能力，对抽象思维的发展有非 常重要的作用数学教育的目的首先在于提高素质水平和能 力，而不是单单运用所学的知识和工具，完整的数学体系要 重于应用f 6 】杨乐院士为现在中学平面几何的教学缺失感到 忧虑：“平面几何培养人的直观想象力，分析与证明能力， 很难用其他课程替代。”【7 2 3 关于初等数论初步的内容 2 0 0 3 年颁布的普通高中数学课程标准( 实验) 系列 4 是初等数论初步本专题学生将通过具体的

11、问题学习有关 整数和整除的知识，探索用辗转相除法求解简单的一次不定 方程、简单同余方程、同余方程组等，从中体会思想方法， 了解中国古代数学的一些重要成蒯引 全国各省高考试卷中没有涉及数论的内容而俄罗斯样 卷最后一题( 第2 l 题) 考查数论中的整除问题试题如下： 在黑板上写着一些整数，它多于4 0 个，少于4 8 个。这 些数的算术平均数为一3 ，它们中所有正数的算术平均数为 4 ，而所有负数的算术平均数为一8 ( 1 ) 黑板上到底写了多少个数? ( 2 ) 正数和负数，哪一个写得多? ( 3 ) 这些数中正数最多可能有多少个【I J ? 解析：设所写的数中有k 个正数，个负数，m 个0

12、这 组数的和等于该组数的个数乘上它的算术平均，即 4 k 一8 Z + 0 ，柠= - 3 ( 七+ Z + m ) ( 1 ) 注意到等式左边的每一项都能被4 整除，所以 k + ，+ _ ，( 所写整数的个数) 能被4 整除根据条件， 4 0 k + m k 因而负数多于正数 ( 3 ) 把k + ，+ m = 4 4 代入等式4 | i 一8 1 = - 3 似+ ，+ 掰) ， 得到4 七一8 l = 一1 3 2 ，由此k = 2 l 一3 3 因为k + ，4 4 ，可 得3 ，一3 3 4 4 ，3 ，7 7 ，2 5 ，青= 2 1 3 3 1 7 ，也即正 数不多于1 7 个

13、 例如，正数是1 7 个在黑板上写了1 7 个4 ，2 5 个- 8 ，2 个o ，此时! 翌攀：一3 这组数满足题目的全部条件 4 4 有一道在网上引起热议的试题：A 、B 、C 、D 四支足球 队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规 则规定：胜一场得3 分，乎一场得1 分，负一场得0 分，小 组中积分最高的两个队( 有且只有两个队) 出线，小组赛结 束后，如果A 队没有全胜，那么A 队的积分至少要几分才 能保证一定出线? 请说明理由不少数学老师也做错该题。 更不用说学生、家长当然本题是经典的组合试题，但中国 的数论素养与俄罗斯的差距是显而易见的 2 4 关于立体几何的内容 近

14、几十年的国际数学教育改革对几何推理的要求发生 了一些变化，适当弱化演绎推理，更多地强调从具体情境或 前提出发，进行合情推理；从单纯强调几何的逻辑推理，转 向更全面地体现几何的教育价值，特别是几何在发展学生空 间观念，以及观察、操作、试验、探索、合情推理等“过程 性”方面的教育价值【9 1 。 角度是“立体几何”中的一种度量，距离是“立体几何” 中的另一种度量点到直线的距离、点到平面的距离、平行 直线之间的距离、异面直线之间的距离、直线与平面之间的 距离、平面与平面之间的距离的本质是两点之间的距离而 两点之间的距离是以这两点为起点和终点的向量的模或长 度这样，空间中的距离问题就转化为向量的模或长

15、度问题 可见，用空间向量及其运算，特别是数量积运算，是处 理夹角和距离问题的首选方法 高考课标I 卷第1 8 题：如图2 ，四边形A B C D 为菱形， Z A B C = 1 2 0 0 ，E 、F 是平面一丑C D 同一侧的两点。B E 上平 面A B C D ，D F j _ 平面A B C D ，引睁2 D F ，A E j - E C ( 1 ) 证明：平面A E C 上平匦A F C ； ( 2 ) 求直线A E 与直线C F 所成角的余弦值 惑 C 图2 第一小题考查直线与平面的位置关系，第二小题考查空 间几何量的度量，完全符合高中新课标的理念 然而，俄罗斯样卷第1 6 题：直

16、棱柱A B C D - A l B l C l D l 的 底是一个边长为2 的正方形4 昱C D ，棱柱的高为1 点昱在 对角线B D ，上。且船：= 1 ( 1 ) 作棱柱被平面彳l c l E 所截的截面： ( 2 ) 求截面与平面A B C 之间的夹角l ”， 评分标准：两小题均严格推导，并得到正确的答案，才 能得满分俄罗斯样卷提供的标准答案如下： ( 1 ) 如图3 ，直线- 4 B 和C I E 均在平面A B C l 上，并且 相交于点M 同理，直线B C 和一l E 均在平面B C A l 上，并 且相交于点梯形A l C I w 即为所求的截面 万方数据 数学教育学报 第2

17、5 卷 ( 2 ) 阴= 臃- 3 而肛1 ，所以尝= 圭由 A D C I E 和B 尬相似可得瓦B M 百= 吉，于是B 胙l ，所以 A M = I 图3 同理，曰 ，_ 1 作直线M N 的垂线A H ，根据三垂线定理 得到A H 上M N ，这就意味着刎，H A 为所求的角由k A H M 可求得A H ：下A M ： 22 于是t a n _ _ 4 删：竺：压故丛删：a r c t a n 压 1 1 4 爿 该试题第- d , 题考查截面问题，第二小题涉及三垂线定 理但对于截面问题，即使是中国的大纲卷的考试说明都只 要求会解决与几种特殊的截面( 棱柱、棱锥、棱台的对角面， 棱柱

18、的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的 截面，球的截面) 以及已给图形或它的全部顶点的其他截面 的有关问题在立体几何教学方面，中国与俄罗斯的要求都 是属于较高的，因此俄罗斯在立体几何的一些做法更是值得 研究和借鉴的 2 5 关于“函数”“方程”“不等式”和“导数”的内容 函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接 起了高中数学课程的许多内容“有了这条主线就可以把数 学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固 一些 在俄罗斯样卷中涉及函数、方程、不等式和导数的试题 有第2 、3 、6 、8 、1 l 、1 4 、1 5 、1 7 、2 0 题，它们分别考查 函数的图象表

19、示法、函数的表格表示法、解指数方程、导数 的几何意义、函数求值在实际问题中的应用、求函数的极大 值点、解三角方程、解对数不等式和研究函数的最大值这 些试题大多考查单一知识点，要么直奔主题，要么与生活中 的实际问题相结合 如第3 题：一建筑公司经理计划采购1 5 吨瓷砖，现在 要从3 家供应商中选择一家一块瓷砖重5 蝇各供应商的 瓷砖价格和送达的条件如下表所示 供应商瓷砖价格( 卢布块)送货费( 卢布)附加条件 A1 930 0 0没有 如果订货总价超 B1 850 0 0过5 0 0 0 0 卢布免 送货费 如果订货总价超 C1 665 0 0过5 00 0 0 卢布， 送货费打对折 试选择最

20、便宜的方案，至少需要多少卢布? 第ll 题：深潜箱定位器在匀速垂直入水的过程中，以 7 4 9M H z 的频率发出超声波信号接收器记录下从海底反射 回来的信号频率深潜箱入水的速度( m s ) 与频率存在 如下关系：v = c 譬，其中c = l5 0 0m s ，代表声音在水 ) 七) b 中的速度：石代表发出的信号频率( 单位：M H z ) ：f 代表反 射回来的信号频率( 单位：M H z ) 如果深潜箱以2m s 的 速度入水，求反射回来的信号频率( 单位：M H z ) 第1 4 题：求函数Y = l n ( x + 4 ) 2 + 2 x + 7 的极大值点 第1 6 题：(

21、1 ) 解方程c o s 2 x = l c o s ( 芸一x ) ；( 2 ) 求出 Z 这个方程在区间I 一5 _ 7 1 ，一兀1 上的所有的根 L 第1 7 题：解不等式 l o g ，一l x + 2 1 0 9 3 ( z 2 2 x + 1 ) l 0 9 9 ( 1 0 J ) l 而在高考课标I 卷中考查函数、方程、不等式和导数的 试题共有1 1 题，其中涉及单一考点的试题只有第1 3 题，大 多数试题要么与其他知识交汇，要么多个考点综合 v 2 如第5 题：已知M ( x o ，y o ) 是双曲线c ：冬一y 2 = 1 上 Z 的一点，一、R 是C 上的两个焦点，若崛

22、M E 2 O ， 则碥的取值范围是( ) 降等 降3 ，竽 , 5 , 4 6 3 ( D ) f 一生，堕 I 33 J 第1 2 题：设函数f ( x ) = e x ( 2 x 一1 ) 一O A f + a ，其中a l ， 若存在唯一的整数x o ，使得f ( X o ) 0 ，则a 的取值范围是 () ( A ) ( C ) b 3 割 c 。，剐3 在大学的数学中，函数( 映射) 的思想依然发挥着重要 的作用例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复 变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等这些学 科都是从不同角度研究函数所构成的课程值得一提的是， 在对其他课程的学习中，

23、函数( 映射) 思想仍然起到了重要 的作用，例如，群结构中的同态、同构：度量结构中的保距； 拓扑结构中的连续、同胚：序结构中的保序、同构：等等这 些都是极其重要的映射因此，可以理解俄罗斯样卷与新课 标I 卷都全方位地考查与函数有关的内容 3 思考与启发 通过中国和俄罗斯高考数学考查内容比较分析，可以看 到，两国试卷都重视函数、方程、不等式、三角、立体几何 和概率等内容的考查高考课标I 卷还考查统计、解析几何、 算法、数列等内容，而俄罗斯样卷没有涉及，这表明中国数 学教育正在迅速走向现代化，这也是中国数学教育改革取得 的重要成果但尽管如此，俄罗斯样卷有不少值得学习和借 鉴的地方，特别是平面几何

24、中国平面几何教学，在2 0 世纪8 0 年代，达到建国以来 的巅峰1 9 9 2 年后，平面几何的教学要求虽然降低，但平 n叫副 三孔， 万方数据 第2 期 张瑞炳等：中国和俄罗斯高考数学考查内容比较研究 面几何论证体系没有大的改变可以说，直到2 0 0 0 年，中 国仍是平面几何教学水平最高的国家之一。 2 0 0 1 年7 月，九年义务教育数学课程标准( 实验稿) 率先推出，并立即在实验区使用，2 0 0 4 年包括安徽省在内 的全国大部分地区开始使用新课标人教版教材对平面几何 内容作了重大的改变，几乎是“革命式”的用“空间与图 形”替代“平面几何”，主张学生合作探索，通过看一看、 量一量

25、、做一做等操作得到结论，然后基本上是说明式的“证 明”主张几何教学多联系实际，强调实际应用；关于平面 几何的逻辑推理则被淡化，只是要求学生在充分探索、得出 图形的直观结论后，体会推理与论证的必要性 2 0 0 3 年颁布的普通高中数学课程标准( 实验) 明确 规定学校应在保证必修课程，选修系列l 、系列2 开设的基 础上，根据自身的情况，开设系列3 和系列4 中的某些专题， 以满足学生的基本选择需求系列4 包括：几何证明选讲、 矩阵与变换、数列与差分、坐标系与参数方程、不等式选讲、 初等数论初步、优选法与试验设计初步、统筹法与图论初步、 风险与决策、开关电路与布尔代数等1 0 个专趔8 1 目

26、前开设几何证明选讲的学校在全国屈指可数高 考试题主要涉及内容的教学要求以下： ( 1 ) 了解平行线截割定理，会证直角三角形射影定理 ( 2 ) 会证圆周角定理、圆的切线判定定理及性质定理 ( 3 ) 会证相交弦定理、圆内接四边形的性质定理与判定 定理、切割线定理 而在俄罗斯，专业水平的平面几何内容非常丰富，包括： 三角形角平分线的性质解三角形角平分线、中线、 高、内切圆和外接圆半径的计算三角形面积公式：希罗( 海 伦) 公式，用内切圆和外接圆的半径表示三角形的面积 圆内角、圆外角、弦与切线之间夹角的计算 相交弦定理切割线定理关于平行四边形边的平方和 等于对角线平方的和的定理 内接多边形和外切

27、多边形内接四边形和外切四边形的 性质和特征 点的几何轨迹 利用几何变换和几何轨迹解题 塞瓦定理和梅涅劳斯定理 作为点的几何轨迹的椭圆、双曲线、抛物线 经典作图不能问题1 1 1 】 初中平面几何的学习，确实要避免过繁过难的问题，需 要精中求简，但要保证平面几何的逻辑体系不致破坏实际 上，教师的教学难度基本上看齐于中考、高考，只要运用好 “两考指挥棒”，平面几何的教学既不会过难，也不会破坏其 完整的体系 致谢：文章写作得到了上海市核心数学与实践重点实验 室的资助，并得到华东师范大学出版社夏海涵编辑的大力帮 助，特此致谢 参考文献 1 】e 且印a J I b H 彻c y ) l c 6 a 1

28、 1 0n a 且3 0 p yB c d p e p e0 6 p a 3 0 B a I - i i & q Hn a y r n P O C C H 话C K O f i e A e p a R n H H O g C H e H I O I K 且e M o H c T p a I I H o H H o M ym a p H a r l T yK O H T p O J I b H B I XH 3 M e p H T e J I B H I d XM a T e p H a r l o a 且J I 且E F D2 0 1 5r o l l a1 1 0M A T E M A T

29、P I K E f E B O L h t t p ：w w w e g e e d u r u r u m a i n d e m o v e r s 2 0 1 5 - 0 5 - 0 7 】 2 倪明，龚为民中俄高考数学评分细则的比较研究【J 】数学教育学报，2 0 0 6 ，1 5 ( 4 ) ：5 2 5 5 3 】倪明，夏海涵俄罗斯高考变自主为统考 J 】数学教学，2 0 1 0 ，( 5 ) ：4 7 4 8 f 4 】4但琦高一学生数学应用能力的调查与分析 J 】数学教育学报，2 0 0 7 ，1 6 ( 1 ) ：6 6 6 9 【5 】袁智斌对普通高中数学课程标准文本的反思

30、性解读叨数学教育学报，2 0 0 9 ，1 8 ( 6 ) ：7 4 8 0 f 6 】苏洪雨，徐斌艳中德两国标准中的“数学能力”比较研究阴数学教育学报，2 0 0 8 ，1 7 ( 2 ) ：7 4 7 7 f 7 】李新玲杨乐院士直指中学数学教育畸形 N 】中国青年报，2 0 1 5 0 5 1 2 。 8 1中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准( 实验) 【M 】北京：人民教育出版社，2 0 0 6 9 韩龙淑高中“课标”与“大纲”中立体几何内容比较研究及启示 J 】数学教育学报，2 0 0 6 ，1 5 ( 2 ) ：7 1 7 3 【l O 濮安山，史宁中从A P O S 理论看

31、高中生对函数概念的理解阴数学教育学报，2 0 0 7 ，1 6 ( 2 ) ：4 8 5 0 【1 1 】倪明俄罗斯中学数学课程教材的概述【J 】数学教学，2 0 1 3 ，( 1 ) ：2 - 8 C o m p a r a t i v eR e s e a r c ho nt h eT e s t i n gC o n t e n t so ft h eC o l l e g eE n t r a n c eM a t h e m a t i c a lE x a m i n a t i o n si n C h i n aa n dR u s s i a Z H A N G R u i

32、b i n 9 1 ，N IM i n 9 2 ( 1 X i a m e nS h u a n g s h iM i d d l eS c h o o lF a n g h uC a m p u s ，F u j i a nX i a m e n3 6 1 0 0 9 ，C h i n a ； 2 E a s tC h i n aN o r m a lU n i v e r s i t yP r e s s ，S h a n g h a i2 0 0 0 6 2 ，C h i n a ) A b s t r a c t ：R u s s i ah a sl o n gp e r f o r

33、m e d t h ep o l i c yo fc o l l e g ei n d e p e n d e n te n r o l m e n ta n dl a u n c h e do nb a s i so fp i l o to p e r a t i o nt h e U n i f i e dS t a t eE x a mi n2 0 0 9 I nN o v e m b e r , 2 0 1 4 t h eM i n i s t r yo f E d u c a t i o na n dS c i e n c eo f R u s s i ap u b l i s h e di n f o r m a t i o na b o u tt h e 2 0 1 5U S E T h i sp a p e rc o m p a r e sf i v ea s p e c t s ，i e ，t h ep r a c t i c a lc o n n e c t i o nw i t hd a i l yl i f