图形复习五年级数学

1、直线型面积计算（直线型面积计算（1 1） 名称 长方形 正方形 三角形 平行四边形 梯形 菱形A a 图形 b a a h c h a d h D a b a C B b 周长公式 周长=2(a+b) 周长=4a 周长=a+b+c b c 周长=2(a+b) 面积公式 面积=ab 面积=a2 1 面积=ah 2 面积=ah 1 周长=a+b+c+d面积=(a+b)h 2 周长=4a 1 面积=ACBD 2 对于三角形的面积计算，对于三角形的面积计算，我们除了熟练运用基本的计算公式，我们除了熟练运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，在技巧性很强的奥数题中还要根

2、据相应的性质和结论来解题， 下下 面就是我们小学奥数常用的三条性质：面就是我们小学奥数常用的三条性质： 等底等高的两个三角形面积相等；等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 夹在一组平行线之间的等积变形，如夹在一组平行线之间的等积变形，如SACD SBCD； 反之，如果反之，如果SACD SBCD，则可知直线，则可知直线AB平行于平行于CD AB CD 【例【例 1 1】如如图，长方形图，长方形ABCD的面积是的面积是56平方厘米，

3、点平方厘米，点E、F、G分别是长方形分别是长方形ABCD边上的中点，边上的中点，H为为AD边上的任意一点，边上的任意一点， 求阴影部分的面积求阴影部分的面积 A E B H D G A E B H D G 【分析】【分析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用 连接BH、CH AE EB， S V AEH S VBEH 同理，S VBFH S VCFH ，S VCGH =S VDGH ， 11 S 阴影 S 长方形ABCD 56 28（平方厘米） 22 铺垫你有多少种方法将任意一个三角形分成：铺垫你有多少种方法将任意一个三角形分成： 2个面积相等的三角形；个面积相等的三角形； 3个面积相等的

4、三角形；个面积相等的三角形； 4个面积相等的三角形个面积相等的三角形 分析分析如右图，D、E、F分别是对应边上的中点，这样就将三角形分成了2个面积相等的三角形； F C F C A E AA F C B 如右图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点；答案不唯一； D C BBC AA F A G B DE CB D CB D C 如下图，答案不唯一，以下仅供参考 【例【例 2 2】如如图，三角形图，三角形ABC的面积为的面积为1，其中，其中AE 3AB，BD 2BC，三角形，三角形BDE的面积是多少？的面积是多少？ (1)(2) (3)(4)(5) A B C D E A B C

5、 D E 【分析】【分析】连接CE AE 3AB，BE 2AB，S BCE 2S ACB 又BD2BC，S BDE 2S BCE 4S ABC 4 【例【例 3 3】如如图，三角形图，三角形ABC中，中，DC 2BD，CE 3AE，三角形，三角形ADE的面积是的面积是20平方厘米，三角形平方厘米，三角形ABC的面积是多少？的面积是多少？ A E B 【分析】【分析】CE 3AE，AC 4AE,S ADC 4S ADE ; 33 又DC 2BD,BC DC,S ABC S ADC 6S ADE 120（平方厘米） 22 铺垫如图，三角形铺垫如图，三角形ABC被分成了甲、乙两部分，被分成了甲、乙两

6、部分，BD DC 4，BE 3，AE 6，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？ D C A A E B 甲 乙 D C E B D C 分析分析连接AD BE 3,AE 6， 11 BE AB,S BDE S ABD 33 又BD DC 4, 1 S ABD S ABC , 2 11 S BDE S ABD S ABC , 36 1 S 甲 S 乙 5 拓展如图，在三角形拓展如图，在三角形ABC中，中，BC 8厘米，厘米，AD6厘米，厘米，E、F分别为分别为AB和和AC的中点，那么三角形的中点，那么三角形EBF的面积是多少平的面积是多少平 方厘米？方厘米？ A

7、 F E B 分析分析F是AC的中点, A F E CDBC 1 S ABF S ABC ， 2 1 同理S BEF S ABF ， 2 111 S BEF S ABC 86 6（平方厘米） 442 【例【例 4 4】如如图，图， 已知三角形已知三角形ABC面积为面积为1， 延长延长AB至至D， 使使BD AB； 延长延长BC至至E， 使使CE 2BC； 延长延长CA至至F， 使使AF 3AC， 求三角形求三角形DEF的面积的面积 FF A B D C E B D A C E 【分析】【分析】本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种方法，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲） 连接A

8、E、CD S1 V ABC ，S V ABC 1， S VDBC 1 S VDBC 1 同理可得其它，最后三角形DEF的面积18 拓展如图，四边形拓展如图，四边形EFGH的面积是的面积是66平方米，平方米，EA AB，CB BF，DC CG，HD DA，求四边形，求四边形ABCD的面积的面积 H D A E C B G H D C B G F A E F 分析分析连接BD.设S VDCB S 1 ，S VDAB S 2 CB BF， CB BF S CDF S CDB 2S CDB , CB 又DC CG, S CFG S CDF 2S 1 ， 同理S AEH 2S 2 ， S CFG S A

9、EH 2S ABCD 连接AC，同理S HDG S BEF 2S ABCD S EFGH S CFG S AEH S HDG S BEF S ABCD 5S ABCD ， 11 S ABCD S EFGH 13（平方米） 55 拓展拓展如图，如图，已知长方形已知长方形ADEF的面积的面积16，三角形三角形ADB的面积是的面积是3，三角形三角形ACF的面积是的面积是4，那么三角形那么三角形ABC的面积是多少？的面积是多少？ AF C AF C DBEDBE 分析分析连接对角线AE ADEF是长方形 1 S ADE S AEF S X ADEF 2 DBS ADB 3FCS ACF 1 ， DES

10、 ADE 8EFS AEF 2 BEDE DB5CEFE CF1 ， DEDE8EFEF2 1515 S BEC 16 2822 S ABC S X ADEF S ADB S ACF S CBE 13 2 拓展如图，长方形拓展如图，长方形ABCD中，中，BE:EC 2:3，DF :FC 1: 2，三角形，三角形DFG的面积为的面积为2平方厘米，求长方形平方厘米，求长方形ABCD的面积的面积 A G D F C A G D F CB E B E 分析分析连接AE，FE 3111 因为BE:EC 2:3，DF :FC 1: 2，所以S VDEF ( )S 长方形ABCD S 长方形ABCD 532

11、10 1111 因为S V AED S 长方形ABCD ， AG:GF :5:1，所以S V AGD 5S VGDF 10，所以S V AFD 12因为S V AFD S 长方形ABCD ，所 22 106 以长方形ABCD的面积是72平方厘米 【例【例 5 5】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形分别是梯形ABCD的下底的下底BC和腰和腰CD上的点，上的点，DF FC，并且甲、，并且甲、 乙、丙乙、丙3个三角形面积相等已知梯形个三角形面积相等已知梯形ABCD的面积是的面积是32平方厘米求图中阴影部分的面积平方厘米求图中阴影部分的面积

12、A 乙 D F 甲 B E 丙 C 【分析】【分析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF FC所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE与CD平行，四边形 1 ADCE是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形ADCE的面积的 ，所以阴影部分的面积乙的面积2从而阴影 2 2 部分的面积32 12.8（平方厘米） 5 拓展如图，在平行四边形拓展如图，在平行四边形ABCD中，中，BE EC，CF 2FD求阴影面积与空白面积的比求阴影面积与空白面积的比 A H F G B E C D 11 分析分析因为BE EC，CF 2FD，所以S V ABE S 四边形ABCD ，S VADF S 四边形ABC

13、D 46 因为AD 2BE，所以AG 2GE， 1121 所以S VBGE S V ABE S 四边形ABCD ，S V ABG S VABE S 四边形ABCD 31236 11 同理可得，S V ADH S 四边形ABCD ，S VDHF S 四边形ABCD 824 1111112 因为 S VBCD S 四边形ABCD ，所以空白部分的面积 ()S 四边形ABCD S 四边形ABCD ，所以阴影部分的面积是 221224683 1 S 3 四边形ABCD 1 2 :1: 2，所以阴影面积与空白面积的比是1:2 3 3 【例【例 6 6】如如图所示，四边形图所示，四边形ABCD与与AEGF

14、都是平行四边形，请你证明它们的面积相等都是平行四边形，请你证明它们的面积相等 F AB G DEC F AB G DEC 【分析】【分析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积 的一半 证明：连接BE （我们通过VABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起 ） 1 在平行四边形ABCD中，S VABE AB AB边上的高， 2 1 S VABG S WABCD （也就是等积变换的重要依据的特殊情况） 2 1 同理，S VABE S Y AEGF ，平行四边形ABCD与AEGF面积相等 2 拓展如图所示，正方形拓展如图所示，正方

15、形ABCD的边长为的边长为8厘米，长方形厘米，长方形EBGF的长的长BG为为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？厘米，那么长方形的宽为几厘米？ E A F D G C B F D A E B 分析分析本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形） 三角形面 积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明：连接AG.（我们通过VABG把这两个长方形和正方形联系在一起） 1 在正方形ABCD中，S V ABG AB AB边上的高， 2 1 S VABG S WABCD （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半） 2 1 同理，S VABG

16、S EFGB 2 正方形ABCD与长方形EFGB面积相等. 长方形的宽8810 6.4（厘米） 【例【例 7 7】如如图，正方形图，正方形ABCD和正方形和正方形CEFG，且正方形，且正方形ABCD边长为边长为10厘米，求图中三角形厘米，求图中三角形BFD的面积为多少平方厘米？的面积为多少平方厘米？ G C A D G H F A D G H F B 【分析】【分析】连接CF CE B CE BD，CF都是正方形的对角线 DBCFCE45，BDCF 1 BFD与BCD同底等高，S BFD S BCD 1010 50(平方厘米) 2 【例【例 8 8】（03年西城某重点中学小升初分班考题）右图是

17、由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形厘米，求三角形ABC 的面积的面积 A B G ED F 4 C A B G ED F 4 C 【分析】【分析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系连接AD（见右上图） ，可以看 出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长， 高都等于大正方形的边长， 所以面积相等 因为三角形AGD 是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分， 根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与 三角形GCD

18、面积仍然相等根据等量代换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于442 8 拓展拓展 （小学数学夏令营五年级组试题）（小学数学夏令营五年级组试题） 如图，如图， 四边形四边形ABCD和四边形和四边形DEFG都是正方形，都是正方形， 已知三角形已知三角形AFH的面积为的面积为6平方厘米，平方厘米， 求三角形求三角形CDH的面积的面积 A F H G B 分析分析通常求三角形的面积，都是先求它的底和高题目中没有一条线段的长度是已知的， 所以我们只能通过创造等积的方法来 求 EDC 直接找三角形HDC与三角形AFH的关系还很难， 而且也没有利用 “四边形ABCD和四边形DEFG是正方形”

19、 这一条件 我 们不妨将它们都补上梯形DEFH这一块寻找新得到大三角形CEF和大直角梯形DEFA之间的关系经过验算，可以知 道它们的面积是相等的从而得到三角形HDC与三角形AFH面积相等，也是6平方厘米 【例【例 9 9】如如右图，在平行四边形右图，在平行四边形ABCD中，直线中，直线CF交交AB于于E，交，交DA延长线于延长线于F，若，若S V ADE 1，求，求VBEF的面积的面积 C E DA BC E FDA B 分析分析本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等 （或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思 想.连接AC ABCD，S V ADE S V ACE

20、同理ADBC，S V ACF S V ABF 又S V ACF S V ACE S V AEF ，S V ABF S VBEF S V AEF ， S V ACE S VBEF ，即 S VBEF S V ADE 1 F A D G A D G A D G A D G C C C C B E F B 果利用差不变 O 【例【例1010】 （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，（小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，ABCD是是74的长方形，的长方形， 102的长方形，求三角形的长方形，求三角形BCO与三角形与三角形EFO的面积之差的面积之差 【分析】【分析】直接求出三角形BCO与三角形EFO的面积之

21、差， 不太容易做到 如 性质，将所求面积之差转化为另外两个图形的面积之差，而这两个 差容易求出，那么问题就解决了 法1：连结BE（见右图） 三角形BCO与三角形EFO都加上三角形 化为求三角形BEC与三角形BEF的面积之差 所求为4(107) 22(107) 2 3 法2：连结CF（见右图） 三角形BCO与三角形EFO都加上三角形 化为求三角形BCF与三角形ECF的面积之差 所求为4(107) 22(107) 2 3 法3：延长BC交GF于H（见右图） 三角形BCO与三角形EFO都 来的问题转化为求三角形BHF与矩形CEFH的面积之差 所求为(4 2)(107) 22(107) 3 法4： 延

22、长AB，FE交于H（见右图） 三角形BCO与三角形EFO 来的问题转化为求矩形BHEC与直角三角形BHF的面积之差所 4(107) (4 2)(107) 2 3 DEFG是是 O E F 图形的面积之 B O E F B BEO，则原来的问题转 CFO，则原来的问题转 加上梯形COFH，则原 O H E F 都加上梯形BHEO，则原 A D G B C O H E F 求为 【例【例1111】 如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分 49那么图中阴影部分的面积是多少？那么图中阴影部分的面积是多少？ 别别是是13，35，

23、A 49 35 D E B 13 【分析】【分析】三角形ABC的面积三角形CDE的面积(1335 49) 长方形面积阴影部分面积； 又因为三角形ABC的面积三角形 1 CDE的面积长方形面积，所以可得： 2 阴影部分面积1335 4997 1 1如图，在长方形如图，在长方形ABCD中，中，Y是是BD的中点，的中点，Z是是DY的中点，如果的中点，如果AB 24厘米，厘米，BC 8厘米，求三角形厘米，求三角形ZCY的面积的面积 C D Z A Y C B 111 【分析】【分析】Y是BD的中点，Z是DY的中点，ZY DB，S VZCY S VDCB ， 224 111 又ABCD是长方形，S VZ

24、CY S VDCB S Y ABCD 24 (平方厘米) 442 2 2如图，三角形如图，三角形ABC中，中，AB是是AD的的5倍，倍，AC是是AE的的3倍，如果三角形倍，如果三角形ADE的面积等于的面积等于1，那么三角形，那么三角形ABC的面积是的面积是 多少？多少？ A D B E C B D A E C 11 【分析】【分析】连接BE. AE ECS ABE S ABC . 33 111 又 AD ABS ADE S ABE S ABC ，S ABC 15S ADE 15. 5515 3 3两个正方形组成右图所示的组合图形已知组合图形的周长是两个正方形组成右图所示的组合图形已知组合图形的

25、周长是52厘米，厘米，DG 4厘米，求阴影部分的面积厘米，求阴影部分的面积 A D G F E 【分析】【分析】组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，因为CG部分重合了用组合图形的周长减去DG，就得到大、小正方 形边长之和的三倍，所以两个正方形的边长之和等于(524)316（厘米）又由两个正方形的边长之差是4厘米，可 求出大正方形边长 (16 4)2 10（厘米），小正方形边长 (16 4)2 6（厘米）阴影部分面积 S VBDG S VBFG 4102 662 38（平方厘米） B C 4 4在右图中，平行四边形在右图中，平行四边形ABCD的边的边BC长长10厘米，直角三角形厘米，直角

26、三角形ECB的直角边的直角边EC长长8厘米已知阴影部分的总面积比三角厘米已知阴影部分的总面积比三角 形形EFG的面积大的面积大10平方厘米，求平行四边形平方厘米，求平行四边形ABCD的面积的面积 E A F G D 分析分析因为阴影部分比三角形EFG的面积大10平方厘米，都加上梯形FGCB后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差 不变， 即平行四边行ABCD比直角三角形ECB的面积大10平方厘米， 所以平行四边形ABCD的面积等于108210 50 平方厘米 5 5右图中，右图中，CA AB 4厘米，三角形厘米，三角形ABE比三角形比三角形CDE的面积大的面积大2平方厘米，求平方厘米，求C

27、D的长的长 B C DC E A B 【分析】【分析】连结CB三角形DCB的面积为4422 6平方厘米，CD 624 3厘米 直线型面积计算（2） 在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几在小学的学习中几何是一个很重要的部分，每一个几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几 何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型：何模型上出现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几个美妙的几何模型： 模型一：任意四边形中的比例关系模型一：任意四边形中的比例关系( (“蝴蝶定理”“蝴蝶

28、定理”) )： D A S 2 B S 1 O S 3 S 1 :S 2 S 4 :S 3 或者或者S 1 S 3 S 2 S 4 AO:OC S 1 S 2 :S 4 S 3 蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边 形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系 模型二：梯形中比例关系模型二：梯形中比例关系( (“梯形蝴蝶定

29、理”“梯形蝴蝶定理”) )： a AD S 1 S 2 S 4 O S 4 C S 3 B b C S 1 :S 3 a2:b2 S 1 :S 3 :S 2 :S 4 a2:b2:ab:ab； S的对应份数为的对应份数为a b 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有 事半功倍的效果事半功倍的效果 模型三：相似三角形性质：模型三：相似三角形性质： 2 A E A FD D B F G E C ADAEDEAF ；

30、 ABACBCAG S ADE：SABC AF2: AG2 所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形( (只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) )，与相似三角形相关，与相似三角形相关 的常用的性质及定理如下：的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； 相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的

31、中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形 【例【例 9 9】 如图，四边形被两条对角线分成如图，四边形被两条对角线分成 4 个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：三角形个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：

32、三角形BGC的面积；的面积；AG:GC ？ BGC A 2 B 1 G 3 D 【分析】【分析】根据蝴蝶定理，S VBGC 123，那么S VBGC 6； 根据蝴蝶定理，AG:GC 1 2:3 61: 3 【例【例 10 10】( (2006 年南京智力数学冬令营年南京智力数学冬令营) )如下图，梯形如下图，梯形ABCD的的ABCD，对角线，对角线AC，BD交于交于O，已知，已知VAOB与与VBOC的的 面积分别为面积分别为 25 平方厘米与平方厘米与 35 平方厘米，那么梯形平方厘米，那么梯形ABCD的面积是的面积是_平方厘米平方厘米 C A 25 O 35 B DC 【分析】【分析】根 据

33、 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， S V AOB :S VBOC a2:ab 25: 35 ， 可 得a:b 5:7， 再 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， S V AOB :S VDOC a2:b2 52:72 25: 49，所以S VDOC 49(平方厘米)那么梯形ABCD的面积为253535 49 144(平方 厘米) 铺垫梯形铺垫梯形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O，已知梯形上底为，已知梯形上底为 2，且三角形，且三角形ABO的面积等于三角形的面积等于三角形BOC面积的面积的 形形AOD与三角形与三角形BOC的面积之比的面积之比 2 ，求三角，求三角 3 AD O BC

34、 分析分析根据梯形蝴蝶定理，S V AOB :S VBOC ab:b2 2:3，可以求出a:b 2:3 ， 再根据梯形蝴蝶定理，S V AOD :S VBOC a2:b2 22:32 4:9 通过利用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像以前一样，为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设， 所以，请同学们一定要牢记几何模型的结论 【例【例 11 11】四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC与与BD交于点交于点O( (如图所示如图所示) )如果三角形如果三角形ABD的面积等于三角形的面积等于三角形BCD的面积的的面积的 1 ，且，且 3 AO 2，DO3，那么，那么CO的长度是的长度是

35、DO的长度的的长度的_倍倍 A O D A H O D G CBCB 【分析】【分析】在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种“不良四边形” ，无外乎两种处理方法：利用已知条件，向已有模型 靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来改造不良四边形看到题目中给出条件S V ABD :S VBCD 1:3 ，这可以向模型一蝴蝶 定理靠拢，于是得出一种解法又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但 是第二种解法需要一个中介来改造这个“不良四边形” ，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为 高之比再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得

36、出结果请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴 蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题 解法一：AO:OC S ABD :S BDC 1:3， OC 23 6， OC:OD 6:3 2:1 解法二：作AH BD于H，CG BD于G 1 S ABD S BCD ， 3 1 AH CG， 3 1 S AOD S DOC ， 3 1 AO CO， 3 OC 23 6， OC:OD 6:3 2:1 【例【例 12 12】在边长为在边长为 1 的正方形的正方形ABCD中，中，BE 2EC，DF 2FC求四边形求四边形ABGD的面积的面积 A BAB G D F E C G D F E C

37、【分析】【分析】题目要求四边形ABGD的面积，可以发现这个四边形是个“不良四边形” ，需要对它进行改造通常在一个四边形中画辅 助线，会想到画对角线，又注意到E、F都是三等分点，如果连接EF，因为EFBD，则可以构造一个梯形，从而应用 梯形蝴蝶定理快速求解 因为BE 2EC，DF 2FC，所以BD:EF 3:1 根据梯形蝴蝶定理可以知道，等腰梯形BDFE四部分面积比为1:3:3:9； 11114 而等腰梯形BDFE的面积为： 11， 22339 91 所以S VBDG S BDFE ， 13394 113 得S ABGD S V ADB S VBDG 11 244 【例【例 13 13】如图，正

38、方形如图，正方形ABCD面积为面积为 1，M是是AD边上的中点求图中阴影部分的面积边上的中点求图中阴影部分的面积 B C G AD M 【分析】【分析】因为M是AD边上的中点，所以AM 13 ，可得S 梯形AMCB ， 24 由于AM :BC 1: 2，根据梯形蝴蝶定理可以知道 S V AMG :S V ABG :S VMCG :S VBCG 12（: 12） （: 12） :221: 2:2:4， 所以阴影部分面积占梯形面积的 【例【例 14 14】 2 24341 ，所以S 阴影 1 2 2 49493 如图，在长方形如图，在长方形ABCD中，中，AB 6，AD 2，AE EF FB，求阴

39、影部分的面积，求阴影部分的面积 A E O F BA E O F B 【分析】【分析】如图，连接DE，DE将阴影部分的面积分为两个部分，其中三角形AED的面积为2632 2 3 由 于EF :DC 1:3， 根 据 梯 形 蝴 蝶 定 理 ， S VDEO :S VEFO 3:1 ， 所 以 S VDEO S VDEF ， 而 S VDEF S V ADE 2 ， 所 以 4 3 S VDEO 2 1.5，阴影部分的面积为21.53.5 4 D C D C 相似三角形性质 【例【例 7 7】在在图中的正方形中，图中的正方形中，A，B，C分别是所在边的中点，分别是所在边的中点，VCDO的面积是的

40、面积是VABO面积的几倍？面积的几倍？ C F C B O A D B O A D 【分析】【分析】连接BC，易知OAEF，根据相似三角形性质，可知OB:OD AE: AD，且OA:BE DA:DE 1: 2，所以VCDO的面 E 积等于VCBO的面积；由OA 3 倍 11 CDO的面积是VABO面积的 BE AC可得CO 3OA，所以S VCDO S VCBO 3S V ABO ，即V 24 【例【例 8 8】如图，线段如图，线段AB与与BC垂直，已知垂直，已知AD EC 4，BD BE 6，那么图中阴影部分面积是多少？，那么图中阴影部分面积是多少？ A D A D A D OO B 【分析

41、】【分析】解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的对称轴看看 作辅助线BO，则图形关于BO对称，有S V ADO S VCEO ，S VDBO S VEBO ，且S V ADO :S VDBO 4:62:3 设VADO的面积为 2 份，则VDBO的面积为 3 份，直角三角形ABE的面积为 8 份 因为S V ABE 610230，而阴影部分的面积为 4 份，所以阴影部分的面积为3084 15 解法二：连接DE、AC由于AD EC 4，BD BE 6，所以DEAC，根 据相似三角形性质，可知 E C B E C B E C DE: AC BD:BA 6:10 3:5，

42、根据梯形蝴蝶定理， S VDOE :S VDOA :S VCOE :S VCOA 32:35:35:52 9:15 :15 :25 ，所以 S 阴影 :S 梯形ADEC 1515:91515 2515: 32，即S 阴影 15 ； S 32 梯形ADEC 1115 又S 梯形ADEC 101066=32，所以S 阴影 S 梯形ADEC 15 2232 1 【例【例 9 9】右右图中正方形的面积为图中正方形的面积为 1，E、F分别为分别为AB、BD的中点，的中点，GC FC求阴影部分的面积求阴影部分的面积 3 A D A D E F G E F G 【分析】【分析】题中条件给出的都是比例关系，由

43、此可以初步推断阴影部分的面积要通过比例求解， 而图中出现最多的就是三角形，那么 首先想到的就是利用相似三角形的性质 阴影部分为三角形， 已知底边为正方形边长的一半， 只要求出高， 便可求出面积 可以作FH垂直BC于H，GI垂直BC 于I 根据相似三角形性质，CI :CH CG:CF 1:3，又因为CH HB，所以CI :CB 1: 6，即BI :BC 61:6 5: 6，所以 BC B HI C 1155 S VBGE 22624 【例【例1010】如如图，图， 长方形长方形ABCD中，中，交交AF于于O， 已知已知AH 5cm，OE垂直垂直AD于于E，E为为AD的中点，的中点，AF与与BE、BD分别交于分别交于G、H， HF 3cm，求，求AG A G E D O H F CB 【分析】【分析】由于ABDF，利用相似三角形性质可以得到AB:DF AH :HF 5:3， 又因为E为AD中点，那么有OE:FD 1: 2， 所以AB:OE 5: 而 AO 【例【例1111】ABCD是平行四边形，面积为是平行四边形，面积为 72 平方厘米，平方厘米，E、F分别为分别为AB、BC的中点，则图中阴影部分的面积为平方厘的中点，