3第三章 4稳定性及其判据

1、,自动控制理论,电 子 教 研 室,第六节 线性系统的稳定性,稳定是控制系统的重要性能指标，也是系统能 够工作的充要条件。 实际控制系统在运行时，总会 受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源 的波动。系统参数的变化，环境条件的改变等。如 果系统不稳定，就会在任何微小的扰动作用下，偏 离原来的平衡状态，并随时间的推移而发散。因此 如何分析系统的稳定性并提出保证系统稳定的措施， 是自动控制理论的基本任务之一。,1、大范围稳定：,如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统。,一、稳定性的分类,2、小

2、范围稳定：,如果系统受到有界干扰后，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则这样的系统称为小范围稳定的系统。,一、稳定性的分类,3、线性系统的稳定性,设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。,一、稳定性的分类,对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定。,注意：,线形系统的稳定性取决于系统的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。,闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面,系统稳定

3、,充要条件,二、稳定性的条件,二、稳定性的条件,设闭环系统的传递函数为,二、稳定性的条件,二、稳定性的条件,则：闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面,闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面,系统稳定,充要条件,一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？,？,单位阶跃函数,分析,二、稳定性的条件,瞬态分量,瞬态分量,系统的结构和参数确定,参考输入,一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定 。,衰减,稳态分量,衰减振荡,1、劳斯判据,令系统的闭环特征方程为,闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面,系统稳定,充要条件,三、稳定性判据,将各项

4、系数，按下面的格式排成劳斯表,这样可求得n+1行系数,1、劳斯表,如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，相应的系统是稳定的。,如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，相应的系统为不稳定。,2、劳斯稳定判据,劳斯判据（充要条件）：,1 3 5,2 4 0,5,解：,故该系统不稳定。,例2：设系统特征方程为：,试用劳斯稳定判据判别该系统的稳定性。,为了简化计算，可用一正整数去乘或除劳斯表中某一行的各项，不改变稳定性的结论。,解：列劳斯表,该表第一列系数符号不全为正，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中

5、有二个根在S的右半平面。,劳斯判据特殊情况,劳斯表某一行中的第一项等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项。,1,2、劳斯稳定判据,如果第一列上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统也属不稳定,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定,是以一个很小的正数来代替为零的这项据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列,解决的办法,2、劳斯稳定判据,由于表中第一列中的各项数值的符号改变了两次，则系统是不稳定，且有两个正实部根。,解：列劳斯表,2、劳斯稳定判据,例4、已知系统的特征方程式为,试判别相应系统的稳定

6、性。,由于表中第一列上面的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在，相应的系统为（临界）不稳定。,解：列劳斯表,2、劳斯稳定判据,劳斯表中出现全零行,用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助方程，并以这个辅助方程导数的系数来代替表中系数为全零的行。完成劳斯表的排列。,2,解决的办法,劳斯表中某行各项为零，说明特征方程有关于原点对称的根（即大小相等符号相反的实根或共轭虚根），系统为不稳定。相应的根可通过求解辅助方程得到。,例5 判断稳定性，一个控制系统的特征方程为,列劳斯表,系统不稳定,3、赫尔维茨判据,设线性系统的特征方程：,三、稳定性判据,行列式,这是一个nn的行列式，特征方

7、程中不存在的系数，以零来代替。,系统稳定的充分必要条件是在a00的情况下，上述行列式的各阶主子式均大于零。,3、赫尔维茨判据,例6 系统的特征方程为 试判别系统是否稳定。,解：,系统是不稳定的。,3、赫尔维茨判据,四、稳定判据的应用,2、分析系统参数变化对稳定性的影响,1、判别系统的稳定性,3、检验稳定裕量,不用解方程，用胡尔维茨、劳斯阵列表可判断线性系统的稳定性，这是胡尔维茨和劳斯判据的优点。但是，它不能给出系统的品质指标，这是代数判据的不足。,例7、已知某调速系统的特征方程式为,求该系统稳定的K值范围。,解：列劳斯表,2 系统参数变化对稳定性影响,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一

8、列的系数必须全为正值。可得：,2 系统参数变化对稳定性影响,实际系统希望S左半平面上的根距离虚轴有一定的距离。,为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线s=-a右侧,设s=s1-a=z-a代入原方程式中，得到以s1,稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体数据。,1,2,解决的办法,3 检验稳定裕量,例8、用劳斯判据检验下列特征方程,是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线s=1的右方。,解：列劳斯表,第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。,3 检验稳定裕量,令s=z-1代入特征方程：,列劳斯表,第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线s=-1的右边。,3 检验稳定裕量,排劳斯表,第一列均为正值，S全部位于左半平面，故系统稳定, Gc(s)=1时，闭环系统的特征方程为,解：