13.5.3角平分线.ppt

1、13.5.3 角平分线,创设情境、导入新课,在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,P在何处？,学习目标 1掌握角平分线性质定理和逆定理，并能运用这两 个定理证明线段相等和角相等 2提高学生对角平分线性质和判定在实际生活中的 应用能力 3从对角平分线上的点的“纯粹性”与“完备性”两方面 的考察中，产生几何图形美的情感体验,学习重难点 重点：角平分线性质定理和逆定理的内容。 难点：角平分线性质定理和逆定理的运用。,不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法？,再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？,（对

2、折）,创设情境、导入新课,探究角平分线的性质,(1)实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？,(2)猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.,证明：OC平分 AOB （已知） 1= 2（角平分线的定义） PD OA，PE OB PDO= PEO=900 在PDO和PEO中, PDO= PEO（已证） 1= 2 （已证） OP=OP （公共边） PDO PEO（A.A.S.） PD=PE（全等三角形的对应边相等）,已知：如图，OC平分AOB，点P在OC上，PDOA于点D，PEOB于点E 求证: PD=PE,(3)

3、验证猜想,符号语言, 1= 2, PD OA， PE OB（已知） PD=PE（角平分线上的点到角两边的距离相等）,(4)角平分线的性质定理：,角平分线上的点到角两边的距离相等。,判断题（ ） 如图，AD平分BAC（已知）,BD = DC ( ),角的平分线上的点到角的两边的距离相等。,如图，在RtABC 中，,角平分线的性质，为我们证明两条线段相等 又提供了新的方法与途径。,A,B,C,BD是角平分线 ，,DEAB，垂足为E，,E,DE与DC 相等吗？,答：,DE=DC。, BD是ABC的平分线,且DEBA，, DE=DC。,为什么？,DCBC，,已知：如图,PDOA，PEOB， 点D、E为

4、垂足，PDPE 求证：点P在AOB的平分线上,证明： PDOA，PEOB，,在Rt PDO 与Rt PEO中,PDO= PEO=900,PD=PE（已知）,OP=OP（公共边）,RtPDO Rt PDO(H.L.),1=2 即点P在AOB的平分线上,角平分线上的点到角两边的距离相等。,逆命题,角的内部到角两边的距离相等的点在角的平分线上.,A,C,B,E,D,P,M,H,K,如图，在ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与 顶点 C的外角的平分线CE相交于点P 求证：点到三边AB、BC、AC的距离相等,证明：过点P作PMAB、PKBC、PHAC，垂足分别为M、K、H。 BD平分CBM PMAB、

5、PKBC PKPM 同理PKPH PKPMPH 即点P到三边AB、BC、AC的距离相等,若求证点P在BAC的平分线上，又该如何证明呢？,例2、如图，ABC中，C=90，AC=CB，AD为BAC的平分线，DEAB于点E。 求证：DBE的周长等于AB。,A,B,C,D,E,1 如图，在直线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等,提示：作AOB的平分线，交直线l 于P就是所求的点,练习1,练习2： 如图,求作一点P,使PC=PD,并且点P到AOB的两边的距离相等.,P,如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,证明：作FGAE于G.F

6、HAD于H FPCB于P,作射线AF CF平分ECB FG=FP(角平分线上的点到角 两边距离相等) 同理可证:FH=FP FG=FH 点F在EAD的平分线上 (到角两边距离相等的点在这个角的平分线上),练习3,利用结论，解决问题,练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?,想一想,在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?,拓展与延伸,2、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处,分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。,P1,P2,P3,P4,l1,l2,l3,证明：过点F作FGAE于G，FHAD 于H，FMBC于M，,G,H,M,点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBC，,FG=FM.,又点F在CBD平分线上， FHAD， FMBC.,FM=FH.,FG=FH，,点F在DAE的平分线上.,3、如图，已知ABC的外角CBD和BCE的平分线相交于点F， 求证：点F在DAE的平分线上,4、如图，O是三条角平分线的交点，