数字信号处理_吴镇扬_第一章_课件

1、第一章 离散时间信号与系统,离散时间信号 采样 离散信号的傅氏变换与Z变换 离散时间系统 系统函数,1.1 离散时间信号,（）单位脉冲序列,（）单位阶跃序列,（）矩形序列,1 N-1 n,（）实指数序列,（）正弦序列,x(n) = sin（n0）,sin(n0),-1,(5)正弦型序列,（6）复指数序列,当,时x(n)的实部和虚部,分别是余弦和正弦序列。,序列的运算,1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n,2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n) 注：以上均为序列对应点相加、相乘,3、序列的移位 y(n)=x(n-n0),4、序列的能量,平方可和序列,绝对可和序列,有界序列,6、序列的

2、单位脉冲序列表示,5、实序列的偶部和奇部,1.2 采样,对信号进行时间上的离散化，这是对信号作数字化处理的第一个环节。 研究内容： 信号经采样后发生的变化（如频谱的变化） 信号内容是否丢失（采样序列能否代表原始 信号、如何不失真地还原信号） 由离散信号恢复连续信号的条件 采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重要，要了解这些性质，首先分析采样过程。,1.采样过程,采样器一般由电子开关组成，开关每隔秒短暂地闭合一次，将连续信号接通，实现一次采样。,连续时间信号的采样,采样器,P(t),T,如开关每次闭合秒，则采样器的输出是一串重复周期为T，宽度为的脉冲，(如图)脉冲的幅度是这段时间内信号的幅度

3、(如图)，这一采样过程可看作是一个脉冲调幅过程，脉冲载波是一串周期为T、宽度为的矩形脉冲，以P(t)表示,调制信号是输入的连续信号xa(t),则采样输出为 一般很小, 越小，采样输出脉冲的幅度越接近输入信号在离散时间点上的瞬时值。,2. 理想采样,开关闭合时间0时，为理想采样。 特点：采样序列表示为冲激函数的序列，这些冲激函数准确地出现在采样瞬间，其积分幅度准确地等于输入信号在采样瞬间的幅度。 即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程。我们用M(t)表示这个冲激载波，,则有,实际情况下，0达不到，但T时，实际采样接近理想采样，理想采样可看作是实际采样物理过程的抽象，便于数学描述，可集中反映

4、采样过程的所有本质特性，理想采样对Z变换分析相当重要。,3、采样信号的频谱,所以,所以，理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为s(采样频率)。,因此有，,如果信号最高频谱超过s/2,那么在理想采样频谱中,各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的“混淆”现象（图1.4）,为简明起见,图中将 作为标量处理,一般为 复数,交叠也是复数相加。当出现频谱混淆后,一般就不可能无失真地滤出基带频谱,用基带滤波恢复出来的信号就要失真。,奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率必须大于信号最高频率的两倍。 s2max 实际工作中，考虑到有噪声，为避免频谱混淆，采样频率总是选得比两倍

5、信号最高频率 max更大些， 如s (35)max。 同时，为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成频谱混淆，采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器（抗混叠滤波），阻止高于S/2频率分量进入。,3）归一化数字角频率 =T=/fs s=sT=2,4采样的恢复（恢复模拟信号）,如果理想采样满足奈奎斯特定理，即信号最高频率谱不超过折迭频率 则理想采样的频谱就不会产生混叠，因此有 S/2 将采样信号 通过一个理想低通滤波器（只让基带频谱通过），其带宽等于折迭频率S/2，特性如图,采样信号通过此滤波器后，就可滤出原信号的频谱： 也就恢复了模拟信号： y(t)=xa(t) 实际上，理想低通滤波器是不可

6、能实现的，但在满足一定精度的情况下，总可用一个可实现网络去逼近。,G(j) g(t),G(j),T xa(t) y(t)=xa(t),0 S/2 ,讨论采样信号 通过理想低通滤波器G（j）的响应过程。 理想低通G（j）的冲激响应为,频域相乘对应时域卷积，利用卷积公式，则采样信号经理想低通后的输出为,这里，g(t-nT) 称为内插函数,特点：在采样点nT上，函数值为1，其余采样点上，值为零。,内插公式表明，连续函数xa（t）可以由它的采样值xa（nT）来表示，它等于 xa（nT）乘上对应的内插函数的总和，如图1.7所示。,在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数不为零，所以保证了各采样点

7、上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波形延伸迭加而成。 内插公式的意义: 证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱，整个连续信号就可以用它的采样值完全代表，而不损失任何信息奈奎斯特定律。,1.3 离散信号的DTFT与z变换,一、 离散信号的DTFT变换 离散信号（数字序列）的DTFT定义 数字序列的IDTFT变换定义 DTFT中的级数求和不一定总是收敛的，若x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛(充分条件)。 另外,平方可和序列的DTFT也存在,要强调的是平方可和序列不一定满足绝对可和的条件。,值得指出： （1）由于 ，所以 是以2为周期的周期函数。 （2）DTFT 正是周期函数

8、 的付氏级数展开，而x(n)是付氏级数的系数。这一概念在以后滤波器设计中有用。 DTFT的一些主要性质见表1.2。(补充！),二 、 z变换定义 利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解，为了分析系统的另外一些重要特性，如稳定性和频率响应等，需要研究离散时间系统的z变换（类似于模拟系统的拉氏变换），它是分析离散系统和离散信号的重要工具。 一个离散序列 x（n）的Z变换定义为 其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为 z 平面。,常用Zx(n)表示对序列x(n)的 z 变换，即,这种变换也称为双边 z 变换，与此相应还有单边 z 变换，单边 z 变换只是对单边序列（n=0部分）进

9、行变换的z变换，其定义为 单边z变换只在少数情况下与双边z变换有所区别，即序列的起始条件不同，可以把单边z变换看成是双边z变换的一种特例，即因果序列情况下的双边z变换。,三、 z变换的收敛域 一般，序列的Z变换 并不一定对任何z值都收敛，z平面上使上述级数收敛的区域称为“收敛域”。我们知道，级数一致收敛的条件是绝对值可和，因此z平面的收敛域应满足 因为对于实数序列， 因此，|z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件，这个范围一般表示为,Rx-|z|Rx+ 这就是收敛域，一个以Rx-和Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域，Rx-和Rx+称为收敛半径，Rx-和Rx+的大小，即收敛域的位置与具体序列

10、有关，特殊情况为Rx-等于0，Rx+为无穷大，这时圆环变成圆或空心圆。,jImz,Rx+,Rx-,Rez,0,这里主要讨论以下四种序列： a 有限长序列 序列 (序列x(n)只在有限长度n1n2 内有值，其余为零) 其Z变换 X（z）是有限项的级数和，只要级数每一项有界，有限项和也有界，所以有限长序列z变换的收敛域取决于|z|-n，n1nn2。 显然 |z| 在整个开域（0，）都能满足以上条件，因此有限长序列的收敛域是除 0 及,两个点（对应n0不收敛）以外的整个 z 平面：,0|z| 如果对n1，n2加以一定的限制，如n10或n20，则根据条件|z|-n（n1nn2），收敛域可进一步扩大为包

11、括0点或点的半开域：,例1 序列x（n）=（n） 由于n1=n2=0，其收敛域为整个闭域 z 平面，0|Z|， 例2 矩形序列x（n）=RN（n） 等比级数求和,b 右边序列 指 x（n）只在nn1，有值，而nRx- 为收敛半径Rx-以外的z平面，,右边序列中最重要的一种序列是 “因果序列” ，即n1 0的右边序列，因果序列只在n0有值，n0时，x（n）=0，其z变换为： 收敛域： Z 变换的收敛域包括 点是因果序列的特征。,c 左边序列 序列 x（n）只在nn2有值，nn2时，x（n）=0 收敛域： |Z|Rx+ 在收敛半径为Rx+的圆内,d 双边序列 可看作一个左边序列和一个右边序列之和，

12、因此双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域的公共部分。,如果Rx+Rx-，则存在公共的收敛区间，X（z）有收敛域: Rx-|z|Rx- 如Rx+Rx-，无公共收敛区间，X（z）无收敛域，不收敛.,Z变换小结,Z 变换收敛域的特点： 1） 收敛域是一个圆环，有时可向内收缩到原点，有时可向外扩展到，只有x（n）=（n）的收敛域是整个 z 平面。 2） 在收敛域内没有极点，X（z）在收敛域内每一点上都是解析函数。 Z 变换表示法： 级数形式 解析表达式（注意:只表示收敛域上的函数，要同时注明收敛域）,已知函数X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为逆z变换，常用Z-1x(z

13、)表示。 若 则逆z变换为： 逆z变换是一个对X(z)zn-1进行的围线积分，积分路径C是一条在X（z）收敛环域（Rx-，Rx+）以内反时针方向绕原点一周的单围线。,四、逆z变换,围线积分路径,证： 设积分路径C在半径为R的圆上，即 z=Rej ， Rx-RRx+，则,这个公式称为柯西积分定理。 因此 或,直接计算围线积分比较麻烦，一般不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有： l 幂级数 l 留数定律法 l 部分分式法,常用序列z变换（可直接使用）,五、z变换的性质 z变换的许多重要性质在数字信号处理中常常要用到,、 六、DTFT与z变换,七、Parseval定理z变换的重要性质之一 若有两序列 x（n），y（n），且 X（z）=Z x（n） Rx-1 则 其中，C 所在收敛域为 X(v) 和 Y*(1/V*) 两者收敛区域的重迭部分 Max Rx- , 1/Ry+ |v| min Rx+ , 1/Ry -,证：令 w（n）=x（n）y*（n） 利用复共轭和复卷积特性(p21表1.3，第7和第10)： 则 由于假设条件中已规定收敛域满足