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1、1,第三节 定积分的换元法 和分部积分法,定积分的换元法,小结 作业,定积分的分部积分法,definite integral by parts,definite integral by substitution,第五章 定积分,2,上一节的牛莱公式将定积分的计算,的形式,而不定积分可用换元法,和分部积分法求积 ,这样定积分的计算问题,已经比较完满地解决了.,归结为求不定积分,如果将换元法和分部积分法写成定积分,常可使得计算更简单.,3,定理1,则有,定积分换元公式,假设函数,一、定积分的换元法,函数,满足条件:,(1),(2),具有连续导数,且其值域,definite integral by

2、substitution,4,由于积分限做了相应的,故积出来的原函数不必回代;,(1),换元公式仍成立;,(2),在定积分换元公式中,改变,5,例,解,原式,这是半径为a的四分之一的圆的面积.,例,解,6,在用“凑”微分的方法时,不明显地写出,下限就不要变.,定积分的上、,新的变量 t ,或,7,例,解,原式,8,几个关于奇、偶函数及周期函数的定积分的例子.,换元积分,由被积函数的变化和积分区间变化来确定变换.,通常,还可以证明一些定积分等式,例,证明:,9,证,由于,作变换,则,10,且有,则,则,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,11,例,12,练习,奇,奇,偶,13,证,(1),三角函

3、数的定积分公式,例,由此计算,设,证毕.,14,设,证,由此计算,15,说明:,尽管,但由于它没有,初等原函数,故此积分无法直接用N-L公式求得.,16,周期函数的定积分公式,这个公式就是说：,周期函数在任何长为一周期的,区间上的定积分都相等.,(留给同学证),17,例,解,18,练习,解,被积函数中除积分变量t外还含有变量x,故不能直接应用对积分上限函数的导数的公式,应先作换元变换,则,分析,19,定积分的分部积分公式,二、定积分的分部积分法,设,有连续的导数,则,definite integral by parts,定理2,20,例,解,原式=,?,21,例,解,1990年考研数学(一)计

4、算5分,原式=,22,例,解,无法直接求出,所以,因为,没有初等原函数,分析,被积函数中含有“积分上限的函数”,用分部积分法做.,选择积分上限的函数为,23,今后也可将原积分化为二重积分计算.,24,例 证明定积分公式,证,设,n为正偶数,n为大于1的正奇数,25,积分 关于下标的递推公式,直到下标减到0或1为止,因为,26,所以,当n为正偶数时,当n为大于1的正奇数时,27,例,上公式在计算其它积分时可以直接引用.,28,例,解,用公式,n为正偶数,29,练习,解,用定积分的分部积分公式,30,定积分的分部积分公式,三、小结,定积分的换元公式,奇、偶函数在对称区间上的定积分性质,三角函数的定积分公式,周期

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