《8.2 余弦定理》课件.ppt

1、【课标要求】 1理解用向量方法推导余弦定理的过程，进一步巩固向 量知识，体会向量的工具性 2掌握余弦定理，能用余弦定理解三角形,8.2余弦定理,三角形余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其他两边的_减去这两边与它们的夹角的余弦的积的_倍，即a2b2c2_，b2_a22cacos B，c2_ 答案平方的和两2bccos Ac2a2b22abcos C,自学导引,1,2,已知ABC的三边a、b、c，ABC能否唯一确定？如何确定角A？ 在解三角形的过程中，求某一个角时既可用余弦定理，也可用正弦定理，两种方法有什么利弊呢？ 提示在区间(0，)上，ycos x是单调函数，由余弦定理可唯一确定相应角的值(

2、但计算复杂)利用正弦定理时，由于ysin x在(0，)不单调根据正弦值求所对应的角时，有时可确定两角，因此应结合题设条件判定解的个数,自主探究,2,1,在ABC中，已知a1，b2，C60，则c () 答案A,预习测评,1,答案C,2,在ABC中，sin A2cos Bsin C，则三角形为_ 解析利用正弦定理和余弦定理化边为角，即sin(BC)2cos Bsin C， sin Bcos Ccos Bsin C2cos Bsin C， sin Bcos Ccos Bsin C0，sin(BC)0， BC. b2c2，bc. 答案等腰三角形,3,在ABC中，若a20.所以A为锐角 答案锐角,4,坐

3、标法证明余弦定理 教材中用向量法给出余弦定理的证明，下面我们给出坐标法证明,名师点睛,1,证明如图所示，以ABC的顶点A为原点，射线AC为x轴的正半轴，建立直角坐标系，这时顶点B可作角A终边的一个点，它到原点的距离rc，设点B的坐标,为(x，y)，由三角函数的定义可得：xccos A，ycsin A，即点B为(ccos A，csin A)，又点C的坐标是(b，0),两边平方得： a2(bccos A)2(csin A)2b2c22bccos A. 以ABC的顶点B或顶点C为原点，建立直角坐标系，同样可证b2a2c22accos B，c2a2b22abcos C. 余弦定理：三角形任何一边的平方

4、等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍,注意(1)利用余弦定理及推论，可以解决以下两类三角形的问题： 已知三边，求三个角 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角 这两种类型问题在有解时都只有一个解 (2)余弦定理及其推论把用“边、角、边”和“边、边、边”判定三角形全等的定理从数量化的角度进行刻画，使其变成了可计算的公式,2,题型一已知两边及夹角解三角形,【例1】,典例剖析,方法点评已知三角形的两边和夹角解三角形，基本思路是先用余弦定理求出第三边，再用正弦定理或余弦定理求其他各角,1已知三角形ABC中，a1，b1，C120，求c.,题型二已知三边解三角形,【例2】,在AB

5、C中，已知(abc)(abc)3ab， 且2cos Asin Bsin C，试确定ABC的形状,题型三判断三角形的形状,【例3】,所以ab.又因为(abc)(abc)3ab， 所以(ab)2c23ab，所以4b2c23b2， 所以bc.所以abc，因此ABC为等边三角形 法二利用角的关系来判定 因为ABC180，所以sin Csin(AB) 又因为2cos Asin Bsin C， 所以2cos Asin Bsin Acos Bcos Asin B， 所以sin(AB)0. 因为A、B均为三角形的内角，所以AB. 又由(abc)(abc)3ab，得(ab)2c23ab， 即a2b2c2ab.,

6、方法点评本题型是用正余弦定理判定三角形的形状，常有两种思路，一是通过三角形的边的关系，二是通过三角形的角的关系，这都可以用正弦定理和余弦定理来实现转化,在ABC中，若b2sin2Cc2sin2B2bccos Bcos C，试判断三角形的形状 解将已知等式变形为 b2(1cos 2C)c2(1cos 2B) 2bccos Bcos C，,3,已知锐角三角形的边长分别为1，3，x，则x的取值范围是多少？ 错解由三角形中三边的关系知31x31，即2x4. 错因分析错误的根源在于审题不清，漏掉“锐角三角形”的限制条件,误区警示 审题不清，导致错误,【例4】,纠错心得在ABC 中，若A为锐角，则有a2b2c2.解决此类问题时要仔细审题，加强训练，培养思维的严密性,余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角形有着密切的联系 正弦定理可解决已知三角形的两边及其中一边的对角或两角及一边，求三角形的其他元素的问题，余弦定理可解决已知三角形