教案1初二复习三角形的证明章节复习

1、三角形的证明章节复习三角形的证明章节复习 【知识梳理】【知识梳理】 1 1全等三角形的判定和性质全等三角形的判定和性质 找夹角（SAS） 已知两边找直角（HL） 找第三边（SSS） 若边为角的对边，则找任意角（AAS） 找已知角的另一边（SAS） 证三角形全等的思路已知一边一角 边为角的邻边找已知边的对角（AAS） 找夹已知边的另一角（ASA） 找两角的夹边（ASA） 已知两角 找任意一边（AAS） 对应边相等，对应角相等 性质 对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等 2 2等腰三角形的判定与性质等腰三角形的判定与性质 等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）有两个

2、角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边） 等腰三角形的性质： 等腰三角形的两底角相等（等边对等角）；等腰三角形的两底角相等（等边对等角）； 等腰三角形“ “三线合一三线合一” ”的性质：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； 等腰三角形两底角的平分线相等，两腰上的高、中线也相等 3 3等边三角形的判定与性质等边三角形的判定与性质 判定：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形； 三条边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都是 60的三角形是等边三角形； 有两个叫是 60的三角形是等边三角形 性质：等边三角形的三边相等，三个角都是60 4 4反证法反证法 反证法：先假设命题的结论不成立

3、，然后推导出与定义、公理、已证定理或已知条件相矛盾的 结果，从而证明命题的结论一定成立这种证明方法称为反证法反证法 5 5直角三角形直角三角形 勾股定理勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理： 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形； 在直角三角形中，如果一个锐角等于在直角三角形中，如果一个锐角等于 3030，那么它所对的直角边等于斜边的一半，那么它所对的直角边等于斜边的一半 6 6互逆命题、互逆定理互逆命题、互逆定理 在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题 称为互逆命题

4、互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理互逆定理， 其中一个定理称为另一个定理的逆定理逆定理. 7 7线段的垂直平分线线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。线段垂直平分线上的点到这一条线段两个端点距离相等。 线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。线段垂直平分线逆定理：到一条线段两端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形的三边的垂直平分线交于一点，并且这个点到三个顶点的距离相等。 8 8角平分线角平分线 角平分线上的点到角

5、两边的距离相等。角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。角平分线逆定理：在角内部，如果一点到角两边的距离相等，则它在该角的平分线上。 三角形三条角平分线交于一点，并且交点到三边距离相等，交点即为三角形的内心。 【典型例题】【典型例题】 【题型一：全等三角形判定定理和性质定理的应用】【题型一：全等三角形判定定理和性质定理的应用】 【例题【例题 1 1】用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOC =BOC 的依据是（） ASSSBASA CAASD角平分线上的点到角两边距离相等 【例题【例题 2 2】如图，A

6、BCADE，若B80，C30，DAC35， 则EAC 的度数为（） A40B35C30D25 【例题【例题 3 3】如图，已知 ABCABC，AD、AD分别是 ABC 和 ABC的角平分线 （1）请证明 ADAD； （2）把上述结论用文字叙述出来； （3）你还能得出其他类似的结论吗? 【变式【变式 1 1】如图，已知ABC 的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和ABC 全等的图形 是 （） A甲和乙B乙和丙C只有乙D只有丙 【变式【变式 2 2】如图，在ABC 中，D、E 分别是边 AC、BC 上的点，若 ADB EDB EDC ，则C 的度数为（） A15B20C25D30 【变式【变

7、式 3 3】如图 410，在ABC 中，ACB90，ACBC，直线 l 经过顶点 C，过 A、B 两点分 别作 l 的垂线 AE、BF，E、F 为垂足 （1）当直线 l 不与底边 AB 相交时，求证：EFAEBF 图 410 （2） 如图 411，将直线 l 绕点 C 顺时针旋转，使 l 与底边 AB 交于点 D，请你探究直线 l 在如下 位置时，EF、AE、BF 之间的关系 ADBD；ADBD；ADBD 图 411 【题型二：等腰三角形判定定理和性质定理的应用】【题型二：等腰三角形判定定理和性质定理的应用】 【例题【例题 1 1】（1）等腰三角形的两边长分别为 3 和 6，则这个等腰三角形的

8、周长为（） A12B15C12 或 15D18 （2）等腰三角形的一个角是 80，则它顶角的度数是（） A80B80或 20C80或 50D20 【例题【例题 2 2】如图，在ABC 中，BO 平分ABC ，CO 平分ACB ，DE 过 O 且平行于 BC， 已知ADE 的周长为 10cm，BC 的长为 5cm，求ABC 的周长 【例题【例题 3 3】如图，MON =43 ，点 A 在射线 OM 上，动点 P 在射线 ON 上滑动， 要使AOP 为等腰三角形，那么满足条件的点 P 共有（） A1 个B2 个C3 个D4 个 【例题【例题 4 4】如图：E 在ABC 的 AC 边的延长线上，D

9、点在 AB 边上，DE 交 BC 于点 F， DF=EF，BD=CE，过 D 作 DGAC 交 BC 于 G求证： （1）GDF CEF ；（2）ABC 是等腰三角形 【变式【变式 1 1】已知ABC 中，AB=AC=x，BC=6，则腰长 x 的取值范围是（） A0 x3Bx3C3x6Dx6 【变式【变式 2 2】如图，在ABC 中，ABC 和ACB 的平分线交于点 E，过 点 E 作 MNBC 交 AB 于 M，交 AC 于 N，若 BM+CN=9，则线段 MN 的长为（） A6B7C8D9 【变式【变式 3 3】如图，是一个 55 的正方形网格，网格中的每个小正方形的边 长均为 1点 A

10、和点 B 在小正方形的顶点上点 C 也在小正方形的顶点 上若ABC 为等腰三角形，满足条件的 C 点的个数为（） A6B7C8D9 【变式【变式 4 4】如下图，在ABC 中，B=90，M 是 AC 上任意一点（M 与 A 不重合）MDBC，交 ABC 的平分线于点 D，求证：MD=MA. 【题型三：等边三角形判定定理和性质定理的应用】【题型三：等边三角形判定定理和性质定理的应用】 【例题【例题 1 1】如图，AC=CD=DA=BC=DE则BAE 是BAC 的（） A4 倍B3 倍 C2 倍D1 倍 【例题【例题 2 2】如图，等边ABC 的周长是 9，D 是 AC 边上的中点，E 在 BC

11、的延长线上若 DE=DB，则 CE 的长为 【例题【例题 3 3】如图，M、N 点分别在等边三角形的 BC、CA 边上，且 BM=CN，AM、BN 交于点 Q （1）求证：BQM =60 ； （2）如 图，如 果点 M、N 分别移动到 BC、CA 的延长线上，其 它条件不变，（ 1）中 的结论是否仍然成立? 若成立，给予证明；若不成立，说明理由 【变式【变式 1 1】如图，等边ABC 中，点 D、E 分别为 BC、CA 上的两点，且 BD=CE，连接 AD、BE 交于 F 点，则FAE+AEF 的度数是（） A60B110C120D135 【变式【变式 2 2】如图，C 为线段 BD 上一点（

12、不与点 B，D 重合），在 BD 同侧分别作正三角 形 ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交于一点 F，AD 与 CE 交于点 H，BE 与 AC 交于点 G（1）求证：BE=AD；（2）求AFG 的度数；（3）求证：CG=CH 【题型四：有关直角三角形定理的应用】【题型四：有关直角三角形定理的应用】 【例题【例题 1 1】如图，矩形纸片 ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使 AD 边与对角线 BD 重合，折痕为 DG，则 AG 的长为（） A1B 4 3 C 3 2 D2 【例题【例题 2 2】6如 图，在 55 的方格纸中，每 一个小正方形的边长都为 1， BCD 是不是

13、 直角? 请说明理由 【例题【例题 3 3】如图，在ABC 中，C=90 ，B=30 ，AD 是BAC 的 平分线，若 CD=2，那么 BD 等于（） A6B4C3D2 【变式【变式 1 1】如图矩形纸片 ABCD 中，已知 AD=8，折叠纸片使 AB 边与 对角线 AC 重合，点 B 落在点 F 处，折痕为 AE，且 EF=3则 AB 的长 为（） A3B4C5D6 【变式【变式 2 2】正方形网格中的每个小正方形边长都是 1每个小格的顶点叫做格点，以格点 为顶点分别按下列要求画三角形： （1）在图 1 中，画ABC ，使ABC 的三边长分别为 3、2 2、 （2）在图 2 中，画DEF ，

14、使DEF 为钝角三角形且面积为 2 5； 【变式【变式 3 3】如图，AC=BC=10 cm，B=15 ，ADBC 于点 D， 则 AD 的长为（） A3cmB4cmC5cmD6cm 【题型五：线段的垂直平分线定理的应用】【题型五：线段的垂直平分线定理的应用】 【例题【例题 1 1】如图，在ABC 中，C=90 ，B=15 ，AB 的垂直 平分线交 AB 于 E，交 BC 于 D，BD=8，则 AC= 【例题【例题 2 2】如图，在ABC 中，分别以点 A 和点 B 为圆心， 大于 1 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 2 MN，交 BC 于点 D，连接 AD若ADC 的周长

15、为 10， AB=7，则ABC 的周长为（） A7B14C17D20 【例题【例题 3 3】如图，在 RtABC 中，B=90 ，ED 是 AC 的垂直平 分线，交 AC 于点 D，交 BC 于点 E已知BAE =10 ，则C 的度数为（） A30B40C50D60 【例题【例题 4 4】如图所示， 在 RtABC 中， ACB =90 ， AC=BC， D 为 BC 边上的中点， CEAD 于点 E，BFAC 交 CE 的延长线于点 F，求证：AB 垂直平分 DF 【变式【变式 1 1】如图，在ABC 中，已知 AC=29 ，AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交 AC 于点 EBCE 的

16、周长等于 50，则 BC 的长为（） A2l C23 B22 D24 【变式【变式 2 2】如图，A、B 表示两个仓库，要在 A、B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到 两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置? 你能画图说明吗? 【变式【变式 3 3】如图，AD 为BAC 的角平分，线段 AD 的垂直平分线交 AB 于 M，交 AC 于 N， 试说明 MDAC 【变式【变式 4 4】如图，在 ABC 中，AB=AC，D 是 AB 的中点，且 DEAB， BCE 的周长为 8cm，且 ACBC=2cm，求 AB、BC 的长 【题型六：角平分线定理的应用】【题型六：角平分线定理的应用】 【例题【例题

17、 1 1】如图，RtABC 中，C=90 ，ABC 的平分线 BD 交 AC 于 D， 若 CD=3cm，则点 D 到 AB 的距离 DE 是（） A5cmB4cm C3cmD2cm 【例题【例题 2 2】如图，直线 a、b、c，表示三条相互交叉的公路，现 拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可 以供选择的地址有（） A一处B四处C七处D无数处 【例题【例题 3 3】求作一点 P，使 PC=PD，且点 P 到 AC，AB 的距离相等（要求保留作图痕 迹，不必写出作法） 【例题【例题 4 4】（1）班 同学上数学活动课，利 用角尺平分一个角（ 如图所示）设 计了如下 方案： （）

18、AOB 是一个任意角，将角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动 角尺使角尺两边相同的刻度与 M、 N 重合， 即 PM=PN， 过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AOB 的平分线 （） AOB 是一个任意角，在 边 OA、OB 上分别取 OM=ON，将 角尺的直角顶点 P 介于射线 OA、OB 之间，移动角尺使角尺两边相同的刻度与 M、N 重合，即 PM=PN， 过角尺顶点 P 的射线 OP 就是AOB 的平分线 （1）方案（）、方案（）是否可行? 若可行，请证明；若不可行，请说明理由； （2）在方案（）PM=PN 的情况下，继续移动角尺，同时使 PMOA，PNOB此 方案是否可

19、行? 请说明理由 【变式【变式 1 1】如图，OP 平分MON ，PAON 于点 A，点 Q 是射线 OM 上的一个动点，若 PA=2，则 PQ 的最小值为（） A1B2 C3D4 【变式【变式 2 2】如图，利 用尺规求作所有点 P，使 点 P 同时满足下列两个条件： 点 P 到 A， B 两点的距离相等；点 P 到直线 l1，l2的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出 作法） 【变式【变式 3 3】已知：如图所示，ABC 中，C=90 ，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E， F 在 AC 上，BD=DF求证：CF=EB 【题型七：反证法、互逆命题、互逆定理】【题型七：反证法、互逆命

20、题、互逆定理】 【例题【例题 1 1】否定“自然数 a、b、c 中恰有一个偶数”时的正确反正假设为（） Aa、b、c 都是奇数Ba、b、c 或都是奇数或至少有两个偶数 Ca、b、c 都是偶数Da、b、c 中至少有两个偶数 【例题【例题 2 2】说出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假： （1）四边形是多边形；（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）如果 ab=0，那么 a=0，b=0； （4）在一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边相等 【变式【变式 1 1】用反证法证明命题 “三角形的内角中至少有一个不大于60”时，反证假设正确的是 （） A假设三内角都不大于60B假设三内角都大于

21、60 C假设三内角至多有一个大于60D假设三内角至多有两个大于60 【变式【变式 2 2】证明：在一个三角形中至少有两个角是锐角 【巩固练习】【巩固练习】 1使两个直角三角形全等的条件是（） A一个锐角对应相等 C一条边对应相等 B两个锐角对应相等 D两条边对应相等 2在 RtABC 中，C=90 ，AC=9，BC=12，则点 C 到 AB 的距离是（） A 36129 BC 5254 D 3 3 4 3三角形内有一点到三角形三顶点的距离相等，则这点一定是三角形的（） A三条中线的交点 C三条高的交点 B三边垂直平分线的交点 D三条角平分线的交点 4如图，在ABC 中，DE 垂直平分 AB，F

22、G 垂直平分 AC， BC=13 cm，则AEG 的周长为（） A6.5 cm C26cm B13cm D15 5如图，点 D 为线段 AB 与线段 BC 的垂直平分线的交点，A=35 ， 则D 等于（） A50B65C55D70 6如图，ABC =50 ，AD 垂直平分线段 BC 于点 D，ABC 的 平分线交 AD 于 E，连接 EC；则AEC 等于（） A100B105C115D120 7如图，POA =POB ，PDOA 于点 D，PEOB 于点 E，OP=13， OD=12 ，PD=5，则 PE=（） A13B12C5D1 8如下图左，在矩形 ABCD 中，点 P 在 AB 上，且

23、PC 平分ACB若 PB=3，AC=10 ， 则PAC 的面积为 9已 知：如 上图右，ABCD，O 为BAC 、 ACD 的平分线的交点，OEAC 于点 E， 若两平行线间的距离为 6，则 OE= 10如图，ACB 和ECD 都是等腰直角三角形，A，C，D 三点在同一直线上，连接 BD，AE，并延长 AE 交 BD 于 F （1）求证：ACE BCD ； （2）直线 AE 与 BD 互相垂直吗? 请证明你的结论 11已知：如图，B=C=90 ，M 是 BC 的中点，DM 平分ADC （1）若连接 AM，则 AM 是否平分BAD ? 请你证明你的结论； （2）线段 DM 与 AM 有怎样的位置

24、关系? 请说明理由 12如 图，AD 为ABC 的角平分线，DEAB，DFAC，垂 足分别为 E，F，连 接 EF， EF 交 AD 于点 G、试判断线段 AD 与 EF 的位置关系，并证明你的结论 13如图，在ABC 中，DE 垂直平分 AB，分别交 AB、BC 于 D、E 点MN 垂直平分 AC，分别交 AC、BC 于 M、N 点 （1）若BAC =100 ，求EAN 的度数； （2）若BAC =70 ，求EAN 的度数； （3）若BAC =（90 ），直接写出用 表示EAN 大小的代数式 【课后练习】【课后练习】 1利用基本尺规作图，下列条件中，不能作出唯一直角三角形的是（） A已知斜边和一锐角 C已知斜边和一直角边 B已知一直角边和一锐角 D已知两个锐角 2如图，直线 l 上有三个正方形 a，b，c，若 a，c 的面积分别