文科数学选修12教案

1、第一章统计案例第一章统计案例 第一课时1.1 回归分析的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法相关指数和残差分析. 教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生吗？这两者之间是否 有关？ 2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具有相关关系的两个 变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集

2、数据作散点图求回归直线方程利用方程进行预 报. 二、讲授新课： 1. 教学例题： 例 1 从某大学中随机选取 8 名女大学生，其身高和体重数据如下表所示： 编号 身高/cm 体重/kg 1 165 48 2 165 57 3 157 50 4 170 54 5 175 64 6 165 61 7 155 43 8 170 59 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm 的女大学生的体重. （分析 思路教师演示学生整理） 70 60 50 150155160165 身高/cm 170175180 体 重 / k g 40 30 20 10 0 第一步：作散点图

3、第二步：求回归方程第三步：代值计算 提问：身高为 172cm 的女大学生的体重一定是 60.316kg 吗？ 不一定，但一般可以认为她的体重在 60.316kg 左右. 解释线性回归模型与一次函数的不同 事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重 y 和身高 x之间的关系并不能用一次函数 y bx a来严格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身高和体重的关系）. 在 数据表中身高为 165cm 的 3 名女大学生的体重分别为 48kg、57kg 和 61kg，如果能用一次函数来描述体重与 身高的关系，那么身高为 165cm 的 3 名女在学生的体重应相同. 这就说明

4、体重不仅受身高的影响还受其他因 素的影响，把这种影响的结果 e （即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型 y bx a e，其中残差变量e中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分 . 当残差变量恒等于 0 时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回归模型是 一次函数模型的一般形式. 2. 相关系数：相关系数的绝对值越接近于 1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点图越接近一条直线， 这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是有意义. 3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同. 第

5、二课时第二课时1.11.1 回归分析的基本思想及其初步应用（二）回归分析的基本思想及其初步应用（二） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和. 教学过程： 一、复习准备： 1由例 1 知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响. 2 为了刻画预报变量 （体重） 的变化在多大程度上与解释变量 （身高） 有关？在多大程度上与随机误差有关？ 我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、

6、残差平方和、回归平方和. 二、讲授新课： 1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和： （1）总偏差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即SST (yi y)2. i1 n 残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即SSE (yi y i )2 . i1 n 回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即SSR y y) ( i i1 n 2 . （2）学习要领：注意 yi、y的区别；预报变量的变化程度可以分解为由解释变量引起的变化程度yi、 n 2 nn y i )2(y i y)2 ；当总偏差平方和相对固定与残差变量的变化程度之和，即(yi y) (yi i1i1i1 时，残差平

7、方和越小，则回归平方和越大，此时模型的拟合效果越好；对于多个不同的模型，我们还可以 引入相关指数R21 (y i1 n i1 n i y i )2 来刻画回归的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率. R2的 (y 2. 教学例题： i y)2 值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合的效果越好. 例 2 关于x与Y有如下数据： x 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 y y 6.5x 17.5， $ y 7x 17，试 为了对x、Y两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型： $ 比较哪一个模型拟合的效果更好. 分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回

8、归平方和，也可分别求出两种模型下的相 关指数，然后再进行比较，从而得出结论. （答案：R 1 21 (y i1 5 i1 5 i y i )2 1 y)2 (y 155 2 0.845，R 2 1 1000 (y i1 5 i1 5 i y i )2 1 y)2 i (y 180 0.82，84.5%82%，所以甲选用的 1000 i 模型拟合效果较好.） 3. 小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如何评价两个不同模型拟合效果的好坏. 第三课时第三课时1.11.1 回归分析的基本思想及其初步应用（三）回归分析的基本思想及其初步应用（三） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步

9、了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程： 一、复习准备： 1. 给出例 3：一只红铃虫的产卵数 的回归方程. 温度x/ 产卵数 o y和温度x有关，现收集了7 组观测数据列于下表中，试建立y与x之间 23 11 25 21 27 24 29 66 32 115 35 325 C 21 7y/个 （学生描述步骤，教师演示） 2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点

10、并没有分布在某个带状区域 产 卵 数 350 300 250 200 150 100 50 0 01020 温度 3040 内，即两个变量不呈线性相关关系，所以不能直接用线性回归方程来建 立两个变量之间的关系. 二、讲授新课： 1. 探究非线性回归方程的确定： 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域， 可以选线性回归模型来建模； 如果散点图中的点分布在一 个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模. 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线 y=C1e 的参数） ，故可用指数函数模型来拟合这两个变量. 在上式两边取对数，得ln y c2x lnc1，再令z z C2x

11、的周围（其中c 1,c2 是待定 ln y，则z c 2 x lnc 1 ，而z与x间的关系如下： 7 6 5 4 3 2 1 0 01020 x 3040 X z 21 1.946 23 2.398 25 3.045 27 3.178 29 4.190 32 4.745 35 5.784 观察z与x的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合. $ 0.272x 3.843 ，因此红铃虫 利用计算器算得a 3.843,b 0.272，z与x间的线性回归方程为z y e 的产卵数对温度的非线性回归方程为 $ 0.272x3.843. 利用回归方程探究非线性回

12、归问题，可按“作散点图建模确定方程”这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题. 2. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 三、巩固练习： 为了研究某种细菌随时间 x 变化，繁殖的个数，收集数据如下： 天数 x/天 繁殖个数 y/个 1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190 （1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图； =e （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性回归方程为y 0.69x1.112 .） 第四课时第四课时1.11.1 回归分析的基本思想及其初步应用（四）回归分析的

13、基本思想及其初步应用（四） 教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用. 教学重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法，了解可用残差分析的方法，比较两种模型的拟合效果. 教学难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比较相关指数对不同的模型进行比较. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：在例3 中，观察散点图，我们选择用指数函数模型来拟合红铃虫的产卵数 可用其它函数模型来拟合吗？ 2.讨 论 ： 能 用 二 次 函 数 模 型 y和温度x间的关系，还 t y 400

14、300 200 100 0 0500 t 10001500 441 7 529 11 625 21 729 24 841 66 1024 115 1225 325 y c 3x 2c 4 来拟合上述两个变量间的关系吗？（令t x2， 则 y y c 3t c4 ，此时y与t间的关系如下： 观察y与t的散点图，可以发现样本点并不分布在一条直线的 周围，因此不宜用线性回归方程来拟合它，即不宜用二次曲线 y c 3x 2c 4 来拟合y与x之间的关系. ）小结：也就是说， 我们可以通过观察变换后的散点图来判断能否用此种模型来拟合. 事实上，除了观察散点图以外，我们也可 先求出函数模型，然后利用残差分

15、析的方法来比较模型的好坏. 二、讲授新课： 1. 教学残差分析： y y i . 残差：样本值与回归值的差叫残差，即ei i 残差分析：通过残差来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为 残差分析. 残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作出的图形称为残差图. 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型比较合适，这样的带状区域的 宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高. 2. 例 3 中的残差分析： 计算两种模型下的残差 一般情况下， 比较两个模型的残差比较困难 （某些样本点上一个模型的残差

16、的绝对值比另一个模型的小， 而另一些样本点的情况则相反） ， 故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断模型的拟合效果. 残差平 方和越小的模型，拟合的效果越好. 由于两种模型下的残差平方和分别为 1450.673 和 15448.432，故选用指数函数模型的拟合效果远远优于 选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果） 3. 小结：残差分析的步骤、作用 三、巩固练习：练习：教材 P13第 1 题 第一课时第一课时1.21.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（一）独立性检验的基本思想及其初步应用（一） 教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本

17、数据的列联表、柱形图 和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步 骤与必要性. 教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K的含义. 教学过程： 一、复习准备： 回归分析的方法、步骤，刻画模型拟合效果的方法（相关指数、残差分析） 、步骤. 二、讲授新课： 1. 教学与列联表相关的概念： 分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量 . 分类变量的取值一定是离散 的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别，如性别变量，只取男、女两个值，商品的等级变量只取一级、 二级、三级，

18、等等. 分类变量的取值有时可用数字来表示，但这 时的数字除了分类以外没有其他的含义. 如用“0”表示“男”， 用“1” 表示“女”. 列联表：分类变量的汇总统计表（频数表） . 一般我们只研究 每个分 不吸烟 吸烟 总计 不患肺癌 7775 2099 9874 患肺癌 42 49 91 总计 7817 2148 9965 2 类变量只取两个值，这样的列联表称为2 2. 如吸烟与患肺癌的列联表： 2. 教学三维柱形图和二维条形图的概念： 由列联表可以粗略估计出吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差 异.（教师在课堂上用 EXCEL 软件演示三维柱形图和二维条形图， 引导学生观察这两类图形的特征，并

19、分析由图形得出的结论） 3. 独立性检验的基本思想： 独立性检验的必要性（为什么中能只凭列联表的数据和图形下结论？） ：列联表中的数据是样本数据，它 只是总体的代表，具有随机性，故需要用列联表检验的方法确认所得结论在多大程度上适用于总体. 独立性检验的步骤（略）及原理（与反证法类似） ： 反证法假设检验 要证明结论 A 在 A 不成立的前提下进行推理 推出矛盾，意味着结论 A 成立 备择假设 H 1 在 H 1 不成立的条件下，即 H 0 成立的条件下进行推理 推出有利于 H 1 成立的小概率事件（概率不超过的事件）发生，意味 着 H 1 成立的可能性（可能性为（1） ）很大 没有找到矛盾，不

20、能对 A 下任何结 论，即反证法不成功 上例的解决步骤 推出有利于 H 1 成立的小概率事件不发生，接受原假设 第一步：提出假设检验问题H 0：吸烟与患肺癌没有关系 H 1 ：吸烟与患肺癌有关系 n(ad bc)2 第二步：选择检验的指标 K （它越小，原假设“H 0 ：吸烟与患肺癌没 (a b)(c d)(a c)(b d) 2 有关系”成立的可能性越大；它越大，备择假设“H 1 ：吸烟与患肺癌有关系”成立的可能性越大. 第三步：查表得出结论 P(k2k) k 0.50 0.455 0.40 0.708 0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 第二课时第二课时1.2

21、1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用（二）独立性检验的基本思想及其初步应用（二） 教学要求：通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、柱形图 和条形图展示在吸烟者中患肺癌的比例比不吸烟者中患肺癌的比例高，让学生亲身体验独立性检验的实施步 骤与必要性. 教学重点：理解独立性检验的基本思想及实施步骤. 教学难点：了解独立性检验的基本思想、了解随机变量K的含义. 教学过程： 一、复习准备： 独立性检验的基本步骤、思想 二、讲授新课： 1. 教学例 1： 例 1 在某医院，因为患心脏病而住院的665 名男性病人中，有214 人秃顶；而另外772 名不是因为患心

22、脏病 而住院的男性病人中有 175 名秃顶. 分别利用图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏病是否有关系？你所 得的结论在什么范围内有效？ 第一步：教师引导学生作出列联表，并分析列联表，引导学生得出“秃顶与患心脏病有关”的结论； 第二步：教师演示三维柱形图和二维条形图，进一步向学生解释所得到的统计结果； 第三步：由学生计算出K的值； 第四步：解释结果的含义. 通过第 2 个问题，向学生强调“样本只能代表相应总体”，这里的数据来自于医院的住院病人，因此题目中 的结论能够很好地适用于住院的病人群体，而把这个结论推广到其他群体则可能会出现错误，除非有其它的 证据表明可以进行这种推广. 2. 教学例 2

23、： 例 2 为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某城市的某校高中生中随机抽取 300 名学生， 2 0.05 3.84 0.025 5.024 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.83 2 得到如下列联表： 男 女 总计 2 喜欢数学课程 37 35 72 不喜欢数学课程 85 143 228 总计 122 178 300 由表中数据计算得到K的观察值k 关系？为什么？ （学生自练，教师总结） 强调：使得P(K2 4.513. 在多大程度上可以认为高中生的性别与是否数学课程之间有 3.841) 0.05成立的前提是假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有

24、关系”.如果这个 前提不成立，上面的概率估计式就不一定正确； 结论有 95%的把握认为“性别与喜欢数学课程之间有关系”的含义； 在熟练掌握了两个分类变量的独立性检验方法之后，可直接计算K的值解决实际问题，而没有必要画相 应的图形，但是图形的直观性也不可忽视. 3. 小结：独立性检验的方法、原理、步骤 三、巩固练习： 某市为调查全市高中生学习状况是否对生理健康有影响，随机进行调查并得到如下的列联表：请问有多大把 握认为“高中生学习状况与生理健康有关”？ 不优秀 优秀 总计 不健康 41 37 78 健康 626 296 922 总计 667 333 1000 第二章第二章 推理与证明推理与证明

25、第一课时2.1.1合情推理（一） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推 理在数学发现中的作用. 教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入： 1. 哥德巴赫猜想：观察 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, , 50=13+37, , 100=3+97，猜测：任一偶数（除去 2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742 年 写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数

26、学史上举世闻名的猜想. 1973 年，我国数学家陈景润，证 明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 2. 费马猜想： 法国业余数学家之王费马 （1601-1665） 在 1640 年通过对F 0 2 234 2 201 3，F 1 221 5， 1 F 2 22117，F 3 221 257，F 4 221 65 537的观察，发现其结果都是素数，于是提出 猜想：对所有的自然数n，任何形如Fn 2 5 2n1 的数都是素数 . 后来瑞士数学家欧拉，发现 F 5 2214 294 967 297641 6 700 417不是素数，推翻费马猜想. 3.

27、四色猜想：1852 年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯. 格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现 了一种有趣的现象：“ 每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想 成了世界数学界关注的问题.1976年， 美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机 上，用 1200 个小时，作了 100 亿逻辑判断，完成证明. 二、讲授新课： 1. 教学概念： 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个 别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理. 归

28、纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？ (ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和 180 度，能归纳出什么结论？ (iii )观察等式：1 342 ,13593 ,13579164 ，能得出怎样的结论？ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题： 出示例题：已知数列 a n 的第 1 项a1 2，且a n 1 222 a n(n1,2, L )，试归纳出通项公式. 1a n

29、（分析思路：试值 n=1，2，3，4 猜想an如何证明：将递推公式变形，再构造新数列） 思考：证得某命题在nn 0 时成立；又假设在 nk时命题成立，再证明 nk1 时命题也成立. 由这两 步，可以归纳出什么结论？ （目的：渗透数学归纳法原理，即基础、递推关系） 练习：已知f(1) 0,af(n) bf(n1) 1,n2,a0,b0，推测f(n)的表达式. 3. 小结：归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项 公式的归纳. 三、巩固练习： 1. 练习：教材 P381、2 题.2. 作业：教材 P44习题 A 组 1、2、3 题. 第二课时第二课时2.1

30、.12.1.1合情推理（二）合情推理（二） 教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认 识合情推理在数学发现中的作用. 教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习：已知 a i 0 (i 1,2, L ,n)，考察下列式子：(i)a 1 111 1；(ii ) (a 1 a 2 )()4； a 1 a 1 a 2 (iii ) (a 1 a 2 a 3 )( 111 )9. 我们可以归纳出，对a 1,a2 , L ,a n 也成立的类似不

31、等式为. a 1 a 2 a 3 2. 猜想数列 1111 ,L L 的通项公式是. 1335 5779 3. 导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球 有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科 学家猜测：火星上有生命存在.以上都是类比思维，即类比推理. 二、讲授新课： 1. 教学概念： 概念： 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征， 推出另一类对象也具有这些特征的 推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比练习： (i)圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心

32、的距离等于半径. 由此结论如何类比到球体？ (ii)平面内不共线的三点确定一个圆，由此结论如何类比得到空间的结论？ (iii)由圆的一些特征，类比得到球体的相应特征. （教材 P81 探究 填表） 小结：平面空间，圆球，线面. 讨论：以平面向量为基础学习空间向量，试举例其中的一些类比思维. 2. 教学例题： 出示例 1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格） 类比角度 运算结果 运算律 实数的加法 若a,bR,则abR 实数的乘法 若a,bR,则abR a b b a (a b) c a (b c) ab ba (ab)c a(bc) 加法的逆运算是减法，使得方程 逆

33、运算 乘法的逆运算是除法， 使得方程 a x 0有唯一解x a a0 a ax 1有唯一解x a11 1 a 单位元 出示例 2：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想. 思维：直角三角形中，C 90，3 条边的长度a,b,c，2 条直角边a,b和 1 条斜边c； 3 个面两两垂直的四面体中，PDF PDE EDF 90，4 个面的面积S 1,S2 ,S 3 和S 3 个“直角面”S1,S2,S3和 1 个“斜面”S. 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然 后提出猜想的推理，统称为

34、合情推理. 三、巩固练习：1. 练习：教材 P383 题. 2. 探究：教材 P35例 5 3.作业：P445、6 题. 第三课时第三课时2.1.22.1.2演绎推理演绎推理 教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并 能运用它们进行一些简单的推理。. 0 0 教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理. 教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式. 教学过程： 一、复习准备： 1. 练习： 对于任意正整数 n，猜想（2n-1）与(n+1)2的大小关系？ 在平面内， 若a c,b c， 则a/b. 类比到空间， 你会得到什

35、么结论？ （结论： 在空间中， 若a c,b c， 则a/b；或在空间中，若,则/. 2. 讨论：以上推理属于什么推理，结论正确吗？ 合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明，有什么能使结论正确的推理形式呢？ 3. 导入： 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以； 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此； 奇数都不能被 2 整除，2007 是奇数，所以. （填空讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？课题：演绎推理） 二、讲授新课： 1. 教学概念： 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。 要点：由一般到特殊的推

36、理。 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？ 合情推理 归纳推理：由特殊到一般 ；演绎推理：由一般到特殊. 类比推理：由特殊到特殊 提问：观察教材 P39引例，它们都由几部分组成，各部分有什么特点？ 所有的金属都导电铜是金属铜能导电 已知的一般原理特殊情况根据原理，对特殊情况做出的判断 大前提小前提结论 “三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提已知的一般原理；第二段：小前提所研究的特殊 情况；第三段：结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断. 举例：举出一些用“三段论”推理的例子. 2. 教学例题： 出示例 1：证明函数f (x) x 2x在,1上是增函数. 2 板演：证明方法（定义法、导数

37、法） 指出：大前题、小前题、结论. 出示例 2：在锐角三角形 ABC 中，AD BC,BE AC，D，E 是垂足. 求证：AB 的中点 M 到 D，E 的距离相等. 分析：证明思路板演：证明过程 指出：大前题、小前题、结论. x 讨论：因为指数函数y a是增函数，y ( )是指数函数，则结论是什么？ x 1 2 （结论指出：大前提、小前提 讨论：结论是否正确，为什么？） 讨论：演绎推理怎样才结论正确？（只要前提和推理形式正确，结论必定正确） 3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合 情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.） 三

38、、巩固练习：1. 练习：P42 2、3 题 2. 探究：P42阅读与思考 3.作业：P446 题，B 组 1 题. 第一课时第一课时2.2.12.2.1综合法和分析法（一）综合法和分析法（一） 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合 法的思考过程、特点. 教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 已知 “若a1,a2R，且a1 a2 1，则 11 4”，试请此结论推广猜想. a 1 a 2 111 .n2） a 1 a

39、 2 a n （答案：若a1,a2.anR，且a1 a2 . a n 1，则 2. 已知a,b,cR，abc 1，求证： 111 9. abc 先完成证明 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1. 教学例题： 出示例 1：已知 a, b, c 是不全相等的正数，求证：a(b2 + c2) + b(c2 + a2) + c(a2 + b2) 6abc. 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式）板演证明过程（注意等号的处理） 讨论：证明形式的特点 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证 明的结论成立. 框图表示： 练习：已知 a，b，c

40、 是全不相等的正实数，求证 要点：顺推证法；由因导果. bcaa cba bc 3. abc 出示例 2：在 ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 A、B、C 成等差数列，a、b、c 成等比数列. 求证：为 ABC 等边三角形. 分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ 板演证明过程 讨论：证明过程的特点. 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和） 2. 练习： o 且tan A tanB 3tan AtanB 3， 求证：A B 60 . （提示： 算tan(A B)） A,B为锐角， 已知a b c,求证：

41、 114 . abbca c ，直到最后的结论是Q.运用综合法可以3. 小结：综合法是从已知的 P 出发，得到一系列的结论Q 1,Q2, 解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习： 1. 求证：对于任意角 ，cos4sin4cos2.（教材 P52练习 1 题） （两人板演 订正 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程） 2. ABC的三个内角A,B,C成等差数列，求证： 113 . a bbca bc 3. 作业：教材 P54A 组 1 题. 第二课时第二课时2.2.12.2.1综合法和分析法（二）综合法和分析法（二） 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明

42、的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合 法的思考过程、特点. 教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：基本不等式的形式？ 2. 讨论：如何证明基本不等式 ab ab (a 0,b 0). 2 （讨论 板演 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课： 1. 教学例题： 出示例 1：求证 3 5 2 6 . 讨论：能用综合法证明吗？ 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ 板演证明过程 （注意格式） 再讨论：能用综合法证明吗？ 比较：两种证法 提出分析法：

43、从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示： 练习：设 x 0，y 0，证明不等式：(x2 1 2 2 要点：逆推证法；执果索因. y ) (x y ) . 3 1 3 3 先讨论方法 分别运用分析法、综合法证明. 出示例 4：见教材 P48.讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） 出示例 5：见教材 P49.讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求） 2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水 管比截面是正方

44、形的水管流量大. 提示：设截面周长为l，则周长为l 的圆的半径为 lll 2 ，截面积为( ) ，周长为l 的正方形边长为， 422 截面积为( l 2 ll ) ，问题只需证：( )2( )2. 442 ，直到所有的已知 P 都3. 小结：分析法由要证明的结论 Q 思考，一步步探求得到 Q 所需要的已知P 1,P2, 成立； 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法， 即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合） ，双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的 距离，找到沟通已知条件和结论的途径.（框图示意） 三、巩固练习：

45、1.设 a, b, c 是的ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：c 略证：正弦、余弦定理代入得：2abcosC 4ab 2 即证：2cosC 2 2a2b2 4ab 4 3S . 3absinC ， 3sin C ，即： 3sin C cosC 2，即证：sin(C )1（成立）. 6 第三课时第三课时2.2.22.2.2反证法反证法 2. 作业：教材 P52练习 2、3 题. 教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、 特点. 教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

46、一、复习准备： 1. 讨论：三枚正面朝上的硬币，每次翻转 2 枚，你能使三枚反面都朝上吗？（原因：偶次） 2. 提出问题： 平面几何中，我们知道这样一个命题：“过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆”. 讨论如 何证明这个命题？ 3. 给出证法：先假设可以作一个O 过 A、B、C 三点， 则 O 在 AB 的中垂线 l 上，O 又在 BC 的中垂线 m 上， 即 O 是 l 与 m 的交点。 但 A、B、C 共线，lm(矛盾) 过在同一直线上的三点 A、B、C 不能作圆. 二、讲授新课： 1. 教学反证法概念及步骤： 练习：仿照以上方法，证明：如果 ab0，那么a b 提出反证法：一般地，

47、假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证 明了原命题成立. 证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 从假设出发，经推理论证得到矛盾 矛盾的原因是假设不 成立，从而原命题的结论成立 应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛 盾等）. 方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假， 通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题： 出示例 1：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分. 分析：如何否定结论？ 如何从假设

48、出发进行推理？ 得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设 AB、CD 被 P 平分，P 不是圆心，连结 OP， 则由垂径定理：OPAB，OPCD，则过 P 有两条直线与 OP 垂直（矛盾） ，不被 P 平分. C A O D P B 出示例 2：求证 3是无理数. （ 同上分析 板演证明，提示：有理数可表示为m/n） 证：假设 3是有理数，则不妨设3 m/n（m,n 为互质正整数） ， 从而：(m/n) 3，m 3n，可见 m 是 3 的倍数. 设 m=3p（p 是正整数） ，则 3n m 9p ，可见 n 也是 3 的倍数. 这样，m, n 就不是互质的正整数（矛盾）. 3 m/n不可能，3

49、是无理数. 练习：如果a1为无理数，求证a是无理数. 提示：假设a为有理数，则a可表示为，即a p/q. p/q（p,q为整数） 222 222 由a 1 (p q)/ q，则a1也是有理数，这与已知矛盾. a是无理数. 3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步 骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题） 三、巩固练习： 1. 练习：教材 P541、2 题 2. 作业：教材 P54A 组 3 题. 第三章数系的扩充与复数的引入第三章数系的扩充与复数的引入 第一课时第一课时3.1.13.1.1

50、数系的扩充与复数的概念数系的扩充与复数的概念 教学要求: 理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。 教学重点：复数及其相关概念，能区分虚数与纯虚数，明白各数系的关系。 教学难点：复数及其相关概念的理解 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：N、Z、Q、R 分别代表什么？它们的如何发展得来的？ （让学生感受数系的发展与生活是密切相关的） 2判断下列方程在实数集中的解的个数（引导学生回顾根的个数与的关系） ： （1）x23x 4 0（2）x2 4x 5 0（3）x2 2x1 0（4）x21 0 2 3. 人类总是想使自己遇到的一切都能有合理的解释，不想得到“无解”的答案。 讨论：

51、若给方程x 1 0一个解i，则这个解i要满足什么条件？i是否在实数集中？ 实数a与i相乘、相加的结果应如何？ 二、讲授新课： 1. 教学复数的概念： 定义复数：形如abi的数叫做复数，通常记为z abi（复数的代数形式） ，其中i叫虚数单位，a叫 实部，b叫虚部，数集C a bi|a,bR叫做复数集。 出示例 1：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。 23i,8 4i,8 3i,6,i,29i,7i,0 规定：abi cdi a c且b=d，强调：两复数不能比较大小，只有等与不等。 讨论：复数的代数形式中规定a,bR，a,b取何值时，它为实数？数集与实数集有何关系？ 定义虚数：a b

52、i,(b 0)叫做虚数，bi,(b 0)叫做纯虚数。 实数 (b=0) 数集的关系：复数Z一般虚数(b 0,a 0) 虚数 (b 0)纯虚数(b 0,a 0) 上述例 1 中，根据定义判断哪些是实数、虚数、纯虚数？ 2.出示例题 2：P62 （引导学生根据实数、虚数、纯虚数的定义去分析讨论） 练习：已知复数a bi与3(4 k)i相等，且a bi的实部、虚部分别是方程x 求：a,b,k的值。 （讨论3(4 k)i中，k 取何值时是实数？） 小结：复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关系及两复数相等的充要条件。 三、巩固练习： 1指出下列复数哪些是实数、虚数、纯虚数，是虚数的找出其实部与虚部。

53、24x 3 0 的两根，试 23i 3 ,8 4i,8 0i,6,i,29i2 1 ,7i,0 2判断 两复数，若虚部都是 3，则实部大的那个复数较大。 复平面内，所有纯虚数都落在虚轴上，所有虚轴上的点都是纯虚数。 3 若(3x 2y)(5x y)i 172i，则x,y的值是？ m2(1i)m(2 3i)4(2 i)，当m取何实数时，z是： 4 已知i是虚数单位，复数Z （1）实数（2） 虚数（3）纯虚数（4）零 作业：P622、3 题。 第二课时第二课时3.1.23.1.2复数的几何意义复数的几何意义 教学要求：理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应的，能根据复数的代数形式描出其对应的点

54、及向 量。 教学重点：理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学难点: 根据复数的代数形式描出其对应的点及向量。 教学过程： 一、复习准备： 1. 说出下列复数的实部和虚部，哪些是实数，哪些是虚数。 14i,7 2i,8 3i,6,i,20i,7i,0,0 3i,3 2复数z (x 4)(y 3)i，当x,y取何值时为实数、虚数、纯虚数？ 3. 若(x 4)(y 3)i 2i，试求x,y的值， （(x 4)(y 3)i 2呢？） 二、讲授新课： 1. 复数的几何意义： 讨论：实数可以与数轴上的点一一对应，类比实数，复数能与什么一一对应呢？ （分析复数的代数形式，因为它是

55、由实部a和虚部同时确定，即有顺序的两实数，不难想到有序实数对或 点的坐标）结论：复数与平面内的点或序实数一一对应。 复平面：以x轴为实轴， y轴为虚轴建立直角坐标系，得到的平面叫复平面。 复数与复平面内的点一一对应。 例 1：在复平面内描出复数14i,7 2i,8 3i,6,i,20i,7i,0,0 3i,3分别对应的点。 （先建立直角坐标系，标注点时注意纵坐标是b而不是bi） 观察例 1 中我们所描出的点，从中我们可以得出什么结论？ 实数都落在实轴上，纯虚数落在虚轴上，除原点外，虚轴表示纯虚数。 思考：我们所学过的知识当中，与平面内的点一一对应的东西还有哪些？ 一一对应 复数Z a bi复平

56、面内的点(a,b) 一一对应 一一对应 ， 复数Z a bi uu r 平面向量OZ ， uu r 复平面内的点(a,b)平面向量OZ 注意：人们常将复数z abi说成点Z或向量OZ，规定相等的向量表示同一复数。 2应用 例 2，在我们刚才例 1 中，分别画出各复数所对应的向量。 练习：在复平面内画出23i,4 2i,13i,4i,30i所对应的向量。 小结：复数与复平面内的点及平面向量一一对应，复数的几何意义。 三、巩固与提高： 1 分别写出下列各复数所对应的点的坐标。 2 uu r 23i 3 ,8 4i,8 0i,6,i,29i2 1 ,7i,0 3 若复数Z (m23m4)(m25m6

57、)i表示的点在虚轴上，求实数a的取值。 变式：若z表示的点在复平面的左（右）半平面，试求实数a的取值。 3、作业：课本 64 题 2、3 题. 第一课时第一课时3.2.13.2.1复数的代数形式的加减运算复数的代数形式的加减运算 教学要求：掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义。 教学重点：复数的代数形式的加、减运算及其几何意义 教学难点：加、减运算的几何意义 教学过程： 一、复习准备： 1. 与复数一一对应的有？ 2. 试判断下列复数14i,7 2i,6,i,20i,7i,0,0 3i在复平面中落在哪象限？并画出其对应的向量。 uuuu ruuuu r 3. 同时用坐标和几何形式表示复数

58、z11 4i与Z2 72i所对应的向量，并计算OZ1 OZ 2。向量的加 减运算满足何种法则？ 4. 类比向量坐标形式的加减运算，复数的加减运算如何？ 二、讲授新课： 1.复数的加法运算及几何意义 .复数的加法法则：z1 a bi与Z2 c di，则Z1 Z2 (a c)(b d)i。 例 1计算（1）(1 4i)+(72i)（2）(72i)+(14i)（3）(32i)+(43i)(5i) （4）(32i)+(43i)(5i) 观察上述计算，复数的加法运算是否满足交换、结合律，试给予验证。 例 2例 1 中的（1） 、 （3）两小题，分别标出(1 4i),(7 2i)，(32i),(43i),

59、(5 i)所对应的向量， 再画出求和后所对应的向量，看有所发现。 复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行（满足平行四边形、三角形法则） 2复数的减法及几何意义：类比实数，规定复数的减法运算是加法运算的逆运算,即若Z1 Z Z2，则 Z叫做Z 2减去Z1 的差,记作Z Z 2 Z 1 。 讨论：若Z1 a b,Z2 c di，试确定Z Z1 Z2是否是一个确定的值？ （引导学生用待定系数法，结合复数的加法运算进行推导，师生一起板演） 复数的加法法则及几何意义：(a bi)(c di) (a c)(bd)i，复数的减法运算也可以按向量的 减法来进行。 例 3 计算 （1）(1 4i)-(72i)（2）(52i)+(14i)(2 3i)（3）(32i)-(43i)(5i) 练习：已知复数，试画出Z 2i，Z 3，Z (54i)2i 2