例谈中考试题中的辅助圆_孙卫荣

1、例谈中考试题中的辅助圆 孙卫荣 ( 江苏省江阴初级中学， 214431) 从圆中基本的知识点出发， 构造辅助圆 来解决问题， 成为中考数学命题中的一个亮 点 它应用的知识点相对比较简单， 但将它放 置在运动的背景下， 就显得对能力的要求比 较高， 需要我们深层理解基础知识， 才能较好 地解决问题 现采撷部分中考试题进行分析， 以期抛砖引玉 一、 借助辅助圆构造特殊角 这类试题的主要特点是在平面中构造特 殊角 利用在圆中， 同弧所对的圆周角是圆心 角度数的一半， 先由特殊角得到圆心角的度 数， 然后依据一些定点构造出辅助圆解决问 题 【基本知识点】在圆中， 同弧所对的圆周 角是圆心角度数的一半

2、例 1 ( 2014 淄博)如图1， 点 A 与点 B 的 坐标分别是( 1， 0) ， ( 5， 0) ， 点 P 是该直角坐标 系内的一个动点 ( 1)使 APB = 30 的点 P 有个; ( 2)若点 P 在 y 轴上， 且 APB = 30， 求 满足条件的点 P 的坐标; ( 3)当点 P 在 y 轴上移动时， APB 是否 有最大值? 若有， 求点 P 的坐标， 并说明此时 APB 最大的理由; 若没有， 请说明理由 51432 5 1 4 3 2 -1-5-3 -2 -4 A O y x B 图1 % 櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷櫷

3、櫷 解得 a = 25 16， c = 1 2 即抛物线的解析式为 y = 16 25t 2 + 5t + 1 2 所以当 t = 125 32 时， y最大= 219 28 ( 2)把 x = 28 代入 x = 10t， 得 t = 2. 8 所以当 t = 2. 8 时， y = 16 25 2 82+ 5 2 8 + 1 2 = 2 25 2 44， 所以他能将球直接射入球门 点评本题考查待定系数法求二次函数 的解析式， 以及二次函数性质的应用 正确求 得解析式， 然后利用配方法或顶点坐标公式 求出最高点的坐标是解题的关键 随着人们生活水平的提高， 足球已成为 人们生活中少不了的话题，

4、 足球的结构、 足球 场、 射门的角度、 足球比赛的积分、 出线等足 球知识所蕴含的数学问题是值得我们研究 的 我们应从不同的角度引导学生分析问题， 从不同的角度考查学生阅读理解能力和解决 问题的能力， 培养学生对数学知识的应用能 力以及数学建模能力 13 第 1 期初中数学教与学 分析( 1)已知点 A、 B 是定点，要使 APB = 30， 只需点P在过点A、 B的圆上， 且 弧 AB 所对的圆心角为 60 即可， 显然符合条 件的点 P 有无数个 ( 2)结合( 1)中的分析可知: 当点 P 在 y 轴的正半轴上时， 点 P 是( 1)中的圆与 y 轴的 交点， 借助于垂径定理、 等边三

5、角形的性质、 勾股定理等知识即可求出符合条件的点 P 的 坐标; 当点 P 在 y 轴的负半轴上时， 同理可求 出符合条件的点 P 的坐标 当然， 也可以利用 对称性解决问题 ( 3)由三角形外角的性质可证得: 在同圆 或等圆中， 同弧所对的圆周角大于同弧所对 的圆外角 要 APB 最大， 只需构造过点 A、 B 且与 y轴相切的圆， 切点就是使得 APB 最大 的点 P， 然后结合切线的性质、 三角形外角的 性质、 矩形的判定与性质、 勾股定理等知识即 可解决问题 点评本题考查了垂径定理、 圆周角定 理、 勾股定理、 等边三角形的性质、 矩形的判 定与性质， 切线的性质、 三角形外角性质等知

6、 识， 综合性强; 同时也考查了创造性思维， 有 一定的难度 构造辅助圆是解决本题的关键 例 2 ( 2014 年陕西)问题探究 ( 1)如图 2， 在矩形 ABCD 中， AB = 3， BC = 4， 如果 BC 边上存在点 P， 使 APD 为等腰 三角形， 那么请画出满足条件的一个等腰三 角形 APD， 并求出此时 BP 的长 B C D A 图2 % ( 2)如图 3， 在 ABC 中， ABC = 60， BC = 12， AD 是 BC 边上的高， E、 F 分别为边 AB、 AC 的中点 当 AD = 6 时， BC 边上存在一 点 Q， 使 EQF = 90， 求此时 BQ

7、的长 A BC D F E 图3 % 问题解决: ( 3)有一山庄， 它的平面图为 如图 4 的五边形 ABCDE， 山庄保卫人员想在 线段 CD 上选一点 M 安装监控装置， 用来监视 边 AB， 现只要使 AMB 大约为60， 就可以让 监控装置的效果达到最佳 已知 A = E = D = 90， AB = 270m， AE = 400m， ED = 285m， CD = 340m， 问在线段CD上是否存在点 M， 使 AMB = 60? 若存在， 请求出符合条件 的 DM 的长; 若不存在， 请说明理由 A B CD E 图4 % 分析( 1)略 ( 2)以 EF 为直径作 O， 易证

8、O 与 BC 相切， 从而得到符合条件的点 Q 唯一， 然后通 过添加辅助线， 借助于正方形、 特殊角的三角 函数值等知识即可求出 BQ 长 ( 3)要满足 AMB = 60， 可构造以 AB 为边的等边三角形的外接圆， 该圆与线段 CD 的交点就是满足条件的点， 然后借助于等边 三角形的性质、 特殊角的三角函数值等知识， 就可算出符合条件的 DM 长 点评本题考查了垂直平分线的性质、 矩形的性质、 等边三角形的性质、 正方形的判 定与性质、 直线与圆的位置关系、 圆周角定 理、 三角形的中位线定理、 全等三角形的判定 与性质、 勾股定理、 特殊角的三角函数值等知 识; 考查了操作、 探究等能

9、力， 综合性非常强 而构造等边三角形及其外接圆是解决本题的 关键 二、 借助辅助圆求最值 【基本知识点1】如图5， 点 P 为 O 外一 23 初中数学教与学2016 年 点， 直线 OP 与 O 相交于 A、 B 两点， 则 PA 的 长为点 P 到圆上所有点中的最短距离， PB 的 长为点 P 到圆上所有点中的最长距离 A P O B 图5 % 例3 ( 2013 年武汉)如图 6， E， F 是正方 形 ABCD 的边 AD 上两个动点， 满足 AE = DF， 连结 CF 交 BD 于点 G， 连结 BE 交 AG 于点 H 若正方形的边长为 2， 则线段 DH 长度的最小 值是 %

10、A C D FE H G B 图6 分析在正方形ABCD中， 先证明ABE DCF，得到 ABE = DCF，再证明 ADG DCG， 得到 DAG = DCF， 从而 得到 AHB 为直角， 故点 H 必定在以 AB 为直 径的圆上 不妨设 AB 中点为 O，DH 的最小值 即为 DO 的长减去 O 的半径， 则 O 的半径 为 1， DO =槡5， 所以 DH 长度的最小值为槡5 1 点评本题运用到正方形的性质， 全等 三角形的判定和性质， 勾股定理等知识点， 得 到 AHB 为直角， 从而得到点 H 必定在以 AB 的中点为圆心， AB 长的一半为半径的圆上， 这 是一个难点 DH 的最

11、小值即为 DO 的长减去 O 的半径， 用到了前面的基本知识点 【基本知识点2】点 A 在 O 上运动， 点 P 为 O 外一点， 则当 PA 与 O 相切时， OPA 最大 例 4 ( 2014 年天津)在平面直角坐标系 中， O为原点， 点A( 2， 0) ， 点B( 0， 2) ， 点E、 F 分别为OA， OB的中点 若正方形OEDF绕点O 顺时针旋转， 得正方形 OEDF， 记旋转角为 ( 1)如图7， 当 = 90 时， 求 AE， BF 的 长; O F（E） y x B D EA D F 图7 % ( 2)如图 8， 当 = 135 时， 求证 AE = BF， 且 AE BF; O F y x B D EAD F 图8 E % ( 3)若直线 AE 与直线 BF 相交于点 P， 求点 P 的纵坐标的最大值( 直接写出结果即 可) 分析( 1) ( 2)略 ( 3)由旋转不变性易知， 正方形 OEDF 在 旋转过程中， 点 E 始终在以点 O 为圆心， OE 为半径的圆上， 所以当直线 AE 与 O 相切 时， OAE 最大， 即点 P 的纵坐标最大， 此时 点 P 与点 D 重合 进而确定点 P 的纵坐标的 最大值 点评本题是在图形旋转过程中， 考查 了全等三角形的判定与性质、 勾股定理、 三角