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文档简介
1、装箱问题和排序问题,本讲主要内容,装箱问题(Bin Packing) 最小完工时间安排(排序问题)(Minimum Makespan Scheduling),Bin Packing,装箱问题:给定n个物件,大小为 用单位体积的箱子来装这些物件,找一个装箱方案使得所用的箱子数目最少? 通俗地说,把 分成最少的组数, 使得每组数的和不超过1。 在工业中有许多应用,譬如在下料问题中,箱子代表标准木料的长度,而 表示实际问题中需要裁截成的木料长度。当然,需要的标准料越少越好。,一个2倍近似算法,证明,一个不可逼近性结果,NP-难问题按照其可逼近性分类,多项式时间近似方案(Polynomial Time
2、 Approximation Scheme ,PTAS), 渐近多项式时间近似方案,一个渐进的PTAS,限制装箱问题,限制装箱问题,定理2的证明,算法总结,排序问题,排序问题( Minimum Makespan Scheduling) 给定n个工件 的加工时间 以及一个整数m, 给工件安排一个在m个相同机器上的加工顺序,使得最后的完工时间 ( makespan)最小。 该问题是排序问题中最简单的问题。在生产调度中有广泛的应用。,Graham 的2-近似算法,算法描述(List Scheduling) Step 1.将工件任意排序; Step 2.将工件按照上述顺序分配给机器,将下一 个工件安排
3、给当前负荷最轻(剩余加工时 间最少)的机器。直到所有工件加工完毕.,算法分析,上述算法的要点是, 让机器不要闲着,只要有机器加工完,就把排在最前面尚待加工的工件让该机器去做。 算法分析的要点是:最小makespan取决于最后一个工件的完工时间,在最后一个活开始加工之前,没有机器是空闲的。,一个紧的例子,Lowest Fit Decreasing(LFD),算法描述(LFD) Step 1.将工件按工时从高到低排列; Step 2.将工件按照上述顺序分配给机器,将下一 个工件安排给当前负荷最轻(剩余加工时 间最少)的机器。直到所有工件加工完毕.,排序问题的PTAS,排序问题与装箱问题有如下紧密联
4、系: 排序问题存在最优解t,当且仅当n个大小分别为 的物件可以装入m个容量为t的箱子。 因此,可将排序问题自转化为装箱问题: 令I表示n个物件大小 ;令 表示能装下n个物件的容量为t的箱子的最少数目; 则最小排序问题转化为:,基本思想,不同物件型号数目固定的装箱问题,动态规划,动态规划(续),动态规划(续),把排序问题划归为限制装箱问题,基本思想: 如果我们能容忍在计算最小makespan问题的一点小的误差,则我们可把该问题在多项式时间内划归为限制装箱问题。 主要有两种类型的误差: 把物件的尺寸做一些调整,使得不同尺寸的数目有界。 终止二分搜索,保证多项式时间算法。 每种误差都可以做到任意小,但代价是计算时间的增加。 但对固定的误差, 我们可以得到多项式时间近似算法。,
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