关注解题教学中“数学问题”的表征

1、本文发表于教育部主管，中国教育学会主办的中小学数学高中版本文发表于教育部主管，中国教育学会主办的中小学数学高中版 2014 年第年第 6 期期 关注解题教学中“数学问题”的表征关注解题教学中“数学问题”的表征 浙江省上虞市春晖中学 林国夫（邮编：312353） 所谓表征，即指两个世界的特征或元素之间的一种对应，即用一种形式（物理或心理的） 将另一种事、物、想法或知识重新表现出来，其本质即为指代对象的一个替代（如符号或符 号集）. 数学表征是主体在理解某个数学结构时将该结构与一个更易理解的数学结构之间建 立一个对应的心理过程.在数学的学习过程中，数学表征是无处不在的，例如在学习新的数 学知识时，

2、 主体往往对知识信息进行合理加工编码形成其独特的内部心理符号； 在解决数学 问题时， 根据问题信息及自身的知识结构将问题用一种适合自身理解的方式表现出来以便寻 找恰当的解决问题的方式等等，这些常见的数学过程本质即为数学表征. 问题是数学的心脏，数学教育常通过数学问题的解决来推动学生数学认知的发展.而研究 表明， 正确的数学问题的表征是解决数学问题的必要前提， 在错误的或者不完整的表征下形 成的问题空间中进行搜索，不可能求得问题的正确解.因此问题表征能力和问题表征质量是 影响数学问题解决的重要因素.在教学中，尤其在例题或解题教学中，教师应该关注学生的 “数学问题”的表征能力. 1 数学问题的表征

3、及其方式数学问题的表征及其方式 数学问题的表征是指根据数学问题所提供的信息和自身已有的知识经验，发现问题的结 构，构建自己的问题空间的过程，也即将外部的物理刺激转变为内部心理符号的过程.其既 可以理解为一种过程，也可理解为一种结果，前者即为对问题的理解和内化，后者即为问题 在头脑中的呈现方式. 数学问题的表征方式根据不同的研究需要可以进行不同的分类，例如根据数学思维的载 体可分为具体化表征 （即数学问题用具体形象的数学概念表征， 数学思维则基于具体对象的 直观感知而产生，如研究函数问题时的函数的图像） 、符号化表征（即数学问题用具有过程 性和结构性的符号来表征，如解决计数问题时的CA） 、形式

4、化表征 （数学问题用数学概念的形式定义和证明表征）等.在初等数学教学中，我们根据表征方式 在数学学习中的交流和认知等作用将数学问题表征方式简单地分为五种表征系统：实物情 景、模型或图式（即关于某类问题的识别模式及求解程式的总和） 、图形或图表、文字语言、 数学抽象符号. * ,(, mm nn )nm nmN、 例例 1 以表征方式在认知中的作用分类下的各种数学问题表征方式举例以表征方式在认知中的作用分类下的各种数学问题表征方式举例 证明：( )()()() 2222 012 2 () nn nnnnn CCCCCnN+=? * 分析分析 利用情景表征问题，即有甲、乙两个袋中各装有个不同的球，

5、从两个袋中分别取 出 n , x y( ,)x yN个球，使得xyn+=，则不同的取球种数为 () 2 2 00 nn xn xin nnn xi CCCC = = n CDACBD= . 在四面体中，AB,求四面体的 外接球的半径. ABCD6,4,5ABCDADBC 分析分析 利用模型或图式表征问题，如图 1，将四面体 ABCD 内置于长方体内，则四面体 1111 AABBC DDCABCD 的外接球的半径长为长方体的体对角线的一半,即 1 AD 154 4 . 已知函数 2 2 |log|,04 ( ) 1234,4 xx f x xxx ，若方程 ( ),f xt tR=有四个不同的实

6、数根 1234 ,x xx x，求 1234 xxxx的取值范围. 分析分析 利用函数的图像表征问题， 如图 2， 绘制函数( )yf x=的图像， 该图像与直线 的交点横坐标从左到右依次为 yt= 1234 ,x xx x， 从而， 从而. 1234 2 ,2 ,34,(0,2) tt xxxxt t = 1234 34(32,34)xxxxt= 若, ,x y zR+，且1xyz+=，求证： 149 6 xyz +. 分析分析 利用文字语言表征上述代数结构，某离散型 随机变量X的取值可为 1 2 3 , x y z ，对应的概率为, ,x y z， 则借助即得不等式. 22 ()(E XE

7、X) 设有红、黑、白三种颜色的球各 10 个.现将它们全部放入甲、乙两个袋子中，要求每 个袋子里三种颜色球都有， 且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等， 问共有多少种放法？ 分析分析 利用数学符号表征问题，设甲袋中的红、黑、白三种颜色的球数为, ,x y z，则有 ，且1, ,x y z 9(10)(10)(10)xyzxyz=，即50050()5(xyzxyzxyyz=+ )zx+，有 5 xyz.因此, ,x y z中必有一个取 5，不妨设5x =，此时共 9 种方法，从而共 9 32 = 25 种放法. 对于给定的数学问题，问题表征方式受到多种因素的制约，既受制于问题解决者自身独 特的内

8、部知识结构和解决问题时的心理状态， 也受制于问题呈现的方式， 同时解题者对问题 的表征方式并不是静止的， 随着对问题情景理解的不断深入会逐渐修正其表征方式， 促使表 征方式向适宜自身理解的方向前进. 问题表征的方式的合理性将严重影响后续问题的解决. 一般地，一个合宜的数学问题表征应该满足三个条件： （1）表征与问题的真实结构相对应； （2）表征中的各个问题成分被合理地结合在一起； （3）表征结合了问题解决者的其他知识. 2 数学问题表征的作用数学问题表征的作用 数学问题的解决的前提是对问题进行合理表征.解题者在对问题的理解时首先必须建立 问题中所含的数学结构与某个更易理解的相应数学结构间的一个

9、映射， 并努力在自身已有知 识结构中寻找相应的知识模块，逐步形成适合自身理解的问题表征.而解题者一旦采取了合 理的方式表征问题， 也就形成了一个良好的问题思考空间， 有助于调动自身已掌握的数学知 识和方法，激发解题的思维.因此数学问题的表征方式对成功解决问题具有非常重要的影响. 2.1 数学问题表征方式影响解题思维的激发数学问题表征方式影响解题思维的激发 表征问题的根本目的在于架构适合思考的问题空间，因此对问题进行表征时要全面理解 问题情景，理清问题中各量间的相互关系，特别是问题中的关键性条件，最大限度地揭示题 设条件的本质，从而来组建合理的问题表征.在实际的教学中，笔者发现学生解决问题时遇

10、到障碍往往在于把握不住问题的关键信息， 也即缺乏对关键信息的合理表征， 导致无法构建 问题相对应的思维场，最终诱发对问题解决的信心. 例例 2 ,AD BC是四面体中互相垂直的棱，ABCD2,4,BCAD= ABBD+=且2 14ACCD+=，求四面体的体积的最大值. ABCD 分析分析 关注条件ABBD+=2 14ACCD+=，联想到椭圆的定义， 我们即知点,B C在以,A D为焦点的椭球上，考虑到ADBC，则 BC在垂直于AD的椭圆的截面内，如图 3.设椭球的长轴为MN， BC 所在的截面圆的圆心为O，取的中点，则VVBCP2 ABCDB ADP = 1 2 () 3 ADP SBP =

11、1 2 () 32 AD OP BP = 2 141 2 (1) 32 OB 2 41 3 OB = .显然的最大值为椭球的短半轴长OB14410=，故 四面体体积的最大值为ABCD 410 1 4 3 = . 本问题中学生解题思维受阻的最大原因在于无法从题设给定的复杂位置和数量关系中理 解核心条件ABBD+=2 14ACCD+=的本质， 对该条件的表征仅停留在四面体 中，缺乏对此条件的合理表征，因此无法想象四面体中各元素的相对位置关系，也 就无力建构思考求解四面体体积的思维空间，最终导致问题求解失败.由此可知数学 问题的表征对于解决问题是何等重要. ABCD ABCD ABCD 2.2 数学

12、问题表征方式影响解决问题的思维长度和难易程度数学问题表征方式影响解决问题的思维长度和难易程度 数学问题的表征方式不仅影响问题解决的思维的激发， 而且也影响问题解决的策略.事实 上， 当解题者面对问题情景时首先对外界信息进行选择和加工， 由于问题的表征方式在很大 程度上取决于解题者的知识和已有经验，因此解题者组建的问题表征方式会产生一定的差 异， 这种差异会激发解题者内在的不同的知识模块， 从而影响其解决问题的策略和方法的选 择.当解决问题的方法贴近问题的本原时，解决问题就相对比较顺畅，否则会节外生枝，拖 长思维的长度，造成不必要的麻烦. 例例 3 在平面直角坐标系xOy中，已知直线: l36x

13、y0+=与圆C : 2 (3)x+ 2 (1)y = 2交于,A B两点，求直线OA的倾斜角之和. ,OB 分析分析 表征一 利用解析几何的基本思想将问题表征为,A B的坐标关系.设 11 ( ,),A x y 22 (,)B xy，直线OA的倾斜角为,OB, ，则 12 122112 12 1212 12 tan() 1 yy xxx yx y yy x xy y xx + + += = 1212 1212 6()2 3 6 3()2 xxx x xxx x + + .联立方程 22 (3)(1) 360 xy xy 2+= += 得 2 26 3130 xx+=，则 0 ， 12 3 3x

14、x+=， 12 13 2 x x =，从而tan()+= 6 3 313 3 3 6 3 3 313 = ，考虑到 A,B 在第一象限，从而,(0, 2 ) ，从而(0, )+，故 . 3 += OB 表征二 通过图形直观表征问题，研究图形间的位置关系来探 寻直线OA的倾斜角, 的关系.如图 4，观察到直线OC 与直线AB垂直，则为线段OCAB的中垂线，故OAOB=. 设2AOB=，从而22()+=+=+，即为 直线OC的倾斜角的 2 倍，而直线OC的斜率为 3 3 ，故其倾 斜角为 6 ，故直线OA的倾斜角为,OB 3 . 在教学中学生对上述问题的表征出现两种形式，表征一在解析 几何的坐标法

15、思想引导下努力将问题表征为点 A,B 的坐标代数形式，从而采取解析几何基 本的处理方式来求解问题， 求解过程包含一定的思维量和运算量； 表征二利用图形表征问题， 通过仔细地观察后发现特殊的位置关系，从而比较简洁地解决了问题.由此可见问题表征的 方式对问题解决的难易程度和思维走向的影响. 2.3 数学问题表征方式影响思维的发散度和灵活性数学问题表征方式影响思维的发散度和灵活性 数学问题的表征影响问题的解决， 表征的形式影响解决问题的策略选择.而表征的形式的 选择则取决于主体即解题者解决问题的综合知识和以往运用表征的经验， 反映出主体对问题 的不同理解和思考.主体对问题的表征是动态的，当某个表征下

16、思考并执行解决问题的策略 时出现障碍时， 随着对信息的不断积累加工而加深对问题本质的理解， 主体就会不断修改表 征方式， 促使表征方式朝着体现问题本质的方向发展， 在此过程中即体现出主体思维的灵活 性.另外由于表征方式因人而异，而不同的表征方式会产生不同的解决问题的策略和方法， 因此数学问题的表征从根本上能引起主体对问题的多方位的思考，从而引发主体的发散思 维. 例例 4 设yx,为实数，若，求14 22 =+xyyxyx+2的最大值. 分析分析 表征一表征一 利用函数模式求解最大值，但yx,直接的关系比较复杂，我们思考引入中 间变量，利用中间变量这条纽带来改善这种复杂关系，故有如下解法：，

17、则 14 22 =+xyyx 1 16 15 16 4 22 2 =+ yy xyx ，即+ 2 ) 4 2( y x 16 15 2 y 1=.令sin 4 15 ,cos 4 2=+y y x， 则sin 15 1 cos2 ,sin 15 4 =xy.故 =+ yx2 14 cossinsin 1515 += 15cos3sin2415324 (cossin )sin() 1515242415 + =+=+ 242 10 515 = .(其中设 4 10 24 15 sin), 2 , 0(= 且).故yx+2的最大值是 5 102 . 表征二表征二 将代数结构表征为图形，并猜想14 2

18、2 =+xyyxyx+2取最大值时，直线 2xyt+=与上述图形“相切” ，故有如下解法：将2yxt= +代入得 14 22 =+xyyx 22 631xtxt+ =0，故，故 222 924(1)24 150ttt = 5 102 5 102 t，即 yx+2的最大值是 5 102 . 表征三表征三 多元函数的最值求解可以利用均值不等式或柯西不等式求解，即采用图式表征 问 题 . 由 于， 则14 22 =+xyyx 1 16 15 16 4 22 2 =+ yy xyx ， 即 + 2 ) 4 2( y x 16 15 2 y 1=， 即 1 5 48 )3( 16 )8( 22 =+ +

19、yyx .由柯西不等式我们可以得 22 48(8)(3 ) (16)(8 48 516 5 xyy x + + 2 3 )yy+ 从而得 5 816 )48( 2 +yx ，故 5 8 )2( 2 + yx .故yx+2的最大值为 5 102 . 或引入两正参数，使得 vu,+=+= 22222 )4(41xuxyvyuxxyyx 222 )1 ()4() 12()1 (yvxuxyuvyv+，为了使+ 2 )4() 12(xuxyuv 2 )1 (yv能表示成，令 2 )2(yx +4:1:4) 12( : )1 ( : )4(=+uvvu，解得, 2 3 =u 8 3 =v，则代入上式可得

20、 2 2 8 5 2 5 2 5 1y x xy+ ，即 5 8 )2( 2 + yx ， 故yx+2的最大值为 5 102 . 上述问题中对问题的不同表征引发不同的思维和解题策略， 表征方式的多样性将直接影 响个体的思维发散度和灵活性. 3 学生数学问题表征能力的培养学生数学问题表征能力的培养 3.1 运用多元表征理论提升学生表征问题的多样性运用多元表征理论提升学生表征问题的多样性 问题的合理表征是问题的成功解决的决定性因素，而问题的表征又因个体的认知结构的 差异而有所不同， 也即同问题的表征具有多样性， 而多元表征的每种表征都有自己的优势和 不足，多元表征的恰当运用在一定程度上能降低数学理

21、解的难度，更使数学趣意盎然.因此 在教学中教师应该创设不同的情景让学生体验同类问题的不同表征方式， 让学生在体验中细 细体会各种表征方式的优劣性，以便日后在独立解决问题中合理选择表征方式.例如在函数 单调性教学或复习中， 可以通过不同的问题来进行以下表征.函数( )f x在区间I上单调递增 121212 ,( )()x xI xxf xf x 1212 ,x xI xx12 12 ()() 0 f xf x xx 12 ,x xI 121212 ,() ()()0 xxxxf xf x 121 , 2 x xI xx 112212 ()()()x f xx f xx f x+ 21 ()( )

22、( )0,( )x f xf xfxfx若可导，则且不恒为 0.再如在处理向量的数量积问题时 在b| | cos,a baba ba= ? ? ? 方向上的投影与|b ? 的乘积 1212, a bx xy y=+ ? ? 1122 =( ,), =( ,)ax ybxy ? 其中.上述每种问题表征方式在解决具体问题时都各有千秋， 合理采用 将会使得问题的求解更趋于灵活和有趣. 例例 5 平面向量满足| |，, ,a b e ? ? ? 1e = ? 1,2,| 2a eb eab = = ? ? ? .求a b ? ? 的最小值. 分析分析 对于向量问题我们常利用基底、坐标或几何 图形来表征

23、，三种表征方式各有优劣，在问题处理时 要合理选择.鉴于题表特征，我们采取几何图形表征问 题会比较合理.由于1,2a eb e = = ? ? ? ，则由向量数量积 的几何意义得在方向上的投影为 1,2，由此用 , a b ? ? e ? 图 5 来表征问题.由此思考问题的空间豁然开朗，后续问题的求解 既可利用几何方式求解， 也可利用向量的坐标运算， 而后者更加简洁， 不妨设(1, ),(2, )AtBs， 则问题等价于在的条件下求 22 |1 ()ABst= += 42a bs t=+ ? ? 的最小值为 5 4 . 3.2 强化利用图形图表表征数学结构的能力强化利用图形图表表征数学结构的能力

24、 问题表征的目的在于创造适合思维展开活动的所谓 “思维场” ， 思维场布置得是否合理则 取决于表征方式，而问题表征的方式又有赖于个体的知识结构，具有后天的习得性.另外鉴 于数学具有很强的抽象性，将数学问题表征为形象直观的图形或图表将有助于发挥个人机 智，为发挥思维的作用设置良好的问题空间.由此教师在教学中应努力总结利用图形图表表 征问题的常见数学结构或问题， 创设不同的问题情景来强化表征问题的方式.例如 12 12 yy xx 表 征为斜率；()2 1212 2 ()xyy+|表征为点点距离平方；| AxByC+表征为点线距离等等. x 例例 6 已知实数满足，求, a b0a 2 ( , )

25、()f a bab=+ 2 (ln22)aba+的最小值. 分析分析 鉴于( , )f a b的结构特点，考虑用点点距离进行表征，则可理解为点( ,ln)A aaa+ 与点的距离平方，而点( ,22)B bb+A在曲线lnyxx=+上，点B在直线上， 2yx=+2 借助如图 6，即可知当时(1,1)A( , )f a b有最小值 9 5 . 例例 7 对于任意的R，函数 2 2 cos2 ( ) sin2 xx f x xx + = + 的最大值和最小值为,M N，求MN+的值. 分析分析 鉴于( )f x的结构及cos ,sin的特殊性，考虑用 斜率表征代数结构( )f x，则 2 cos

26、( ),0 2 sin x x f xx x x + = + ，则可理解为 22 (,A xx) xx +与点 (cos ,sin )B连线的斜率，由此问题即可进行激发相应的知识块（若直线的斜率和倾斜角 问题）形成良好的思维场. 3.3 增强利用模型或图式表征问题的能力增强利用模型或图式表征问题的能力 数学问题的表征离不开个体已有的知识和经验，知识和经验的作用在于将新的问题与 相类似的已经解决的问题Q建立起某种联系， 并尝试利用解决问题Q的程式去解决问题， 从而来逐步表征问题.这种表征问题的方式即为模型或图式表征.用图式表征问题是数学 解题教学中最常用的教学模式， 其包括两部分信息： 其一是图

27、式表征所对应的某类问题的一 般情景描述；其二是该类问题解决的相关知识、方法和程序.数学问题的图式表征具有很强 的灵活性、适应性和迁移性.个体在获得某类问题的图式表征后，一旦该图式表征被激活则 能自动形成解决问题的思路和策略并执行相应的解题程序.因此主体习得的问题图式的数量 和质量是影响问题解决能力非常重要的指标， 图式数量越多对问题的正确识别与表征的可能 性越高；图式质量越高（即某类问题的一般特征和求解思路的概括程度越高）则表征问题更 准确，更易解决问题.教师在解题教学中应该增强学生的常见问题的图式表征，合理组建图 式表征中的知识模块和问题解决的方法和策略.例如解决有关最值和范围问题所对应的函

28、数 法、不等式法和数形结合思想下的图形法，解决向量问题时对应的基底转化法、代数坐标法 和几何直观法，迭代数列问题对应图像法和不动点法等等. P P P 例例 8 （1）已知函数 1 ( ), ( )ln 22 x x f xeg x=+，对任意,aR存在使 (0,)b+ ( )( )f ag b=，求b的最小值. a 分析分析 最值问题利用函数图式表征，即令 1 ln0 22 a b et=+= ，则 1 2 ln ,2 t at be = ， 从而 1 2 ( )2ln ,0 t h tbaet t = ，分析函数单调性得b ( )h ta 的最小值为2 l . n2+ （2）已知实数, ,x y z满足，求 222 1xyz+=xyyz+的最大值. 分析分析 利用不等式图式表征问题，由于 22 22 12 22 yy 2xzxy=+yz，从而 12 22 xyyz+=，当且仅当22xy=z取等号，从而xyyz+的最大值为 2 2 . （3）已知实数 满足，求, , ,a b c d 22 1abcd=+= 2 ()ac+ 2 (bd )的最小值. 分析分析 利用数学结合法表征问题，设点( , ),( , )M a b N c d，则点 M 在双曲线 1 y