利息习题解答第三章d

1、版权所有，翻版必究 第三章习题答案 1已知某投资的内部回报率为 r ， 且在该投资中 C0= 3000 元，C1= 1000 元， R2= 2000 元和 R3= 4000 元。计算 r 。 解: 令 v = 1 1+r ， 由 P(r) = 0 有 C0+ C1v R2v2 R3v3= 0 代入数据， 解得： v 0.8453 r = 18.30% 2十年期投资项目的初期投入 100,000 元， 随后每年年初需要一笔维持费用： 第 一年 3000 元， 以后各年以 6% 的速度增长。计划收入为：第一年末 30,000 元， 以后逐年递减 4% ， 计算 R6。 解: 由 i = 6%,j

2、= 4% R6= 30000(1 j)5 3000(1 + i)5 = 30000 0.965 3000 1.065 = 20446.60元 3已知以下投资方式：当前投入 7000 元，第二年底投入 1000 元；回报为：第一 年底 4000 元， 第三年底 5500 元。计算：P(0.09) 和 P(0.10) 。 解: 净现值 P(i) 为： P(i) = 7000 + 4000(1 + i)1 1000(1 + i)2+ 5500(1 + i)3 P(0.09) = 75.05元 P(0.10) = 57.85元 北京大学数学科学学院金融数学系第 1 页 版权所有，翻版必究 4计算满足以

3、下条件的两种收益率的差： 当前的 100 元加上两年后的 108.15 元， 可以在第一年底收回 208 元。 解: 设收益率为 i ， 其满足： 100 + 208v 108.15v2= 0 解得 i = 2.03% 或 6.03% 两种收益率的差为 4.00% 5每年初存款， 第 10 年底余额为 1000 元， 存款利率 4% ， 每年的利息收入以 4% 的利率进行再投资。给出每年存款金额的表达式。 解: 以第 10 年底为比较日， 有以下的方程 10R + 4%R(Is)10p3%= 1000 解得 R = 1000 10 + 4%(Is)10p3% 6现在 10000 元贷款计划在

4、20 年内分年度还清， 每年还款 1000 元。 如果贷款方 可以将每年的还款以年利率 5% 进行投资。计算贷款方的实际年收益率。 解: 设年收益率为 i ， 有 1000 a20p5%v20= 10000 解得 i 6.16% 北京大学数学科学学院金融数学系第 2 页 版权所有，翻版必究 7某投资者购买了如下的五年期金融产品： (1) 每年底得到 1000 元； (2) 每年的收入可以按年利率 4% 投资且当年收回利息。 如果该投资者将每年的利息收入以年利率 3% 再投资，实际年收益率为 4%。 计算购买价格。 解: 设购买价格为 P ， 有 P(1 + i)5= 1000 5 + 1000

5、 i (Is)4p3% P 1.045= 5000 + 40(Is)4p3% P = 4448.42 元 8某投资者连续五年每年期末向基金存款 1000 元， 年利率 5% 。同时， 利息收 入可以以年利率 4% 投资。给出第十年底的累积余额表达式。 解: 对现金流进行拆分， 第 10 年底的余额为： P = 1000 5 + 5% 1000 (Is)10p4% 5% 1000 (Is)5p4% = 5000 + 50 s11p 11 4% 50 s6p 6 4% = 5000 + 50 62.159 50 15.824 = 7316.73 元 北京大学数学科学学院金融数学系第 3 页 版权所

6、有，翻版必究 9甲将 2000 元投资 10 年，年利率 17% ，利息每年支付，利息的再投资利率为 11% ， 第 10 年底的累积利息为 5685.48 元； 乙在 20 年内， 每年底投资 150 元， 年利率 14% ，而且利息以 11% 的年利率再投资。计算乙在 20 年底的累积利 息收入。 解: PA= 2000 17% s9p11% PB= 150 14% (Is)19p11% 由 PA= 5685.48 解得(1 + 11%)10= 2.83942 带入 PB计算得 PB= 8438.71元 另解: PB= 150 14% (Is)19p11% 直接计算得 PB= 8438.7

7、1元 10某人以 100000 元购得一块土地， 每年需交资产税 1500 元。十年后以 260000 元卖出， 同时交纳8%的销售税。计算年收益率。 解：由净现值公式有 P(i) = 100000 1500a10pi+ 260000 (1 8%) (1 + i)10= 0 解得： i 8.075% 1150000 元投资， 可以在今后六年内每年得税后收入 18000 元。计算： 1) 15% 的净现值； 2)收益率。 解：由净现值公式有 P(i) = 50000 + 18000a6p15% (1)P(15%) = 18120.69元 北京大学数学科学学院金融数学系第 4 页 版权所有，翻版必

8、究 (2)P(i) = 0 解得： i 27.698% 12某人拥有 10000 元按月以 i(12)= 6% 支付利息的债券，其在得到每月的利息 后， 立即以 i(12)= 12% 存入银行， 计算其账户在第 12 次、24 次和 36 次存款 后的余额。并对以上三种情况计算其每年平均的 i(12)。 解：第 n 次存款后的余额为 P(n) = 10000 + 10000 i(12) 12 s(12) np 每年的平均 i(12)满足 10000 (1 + i(12) 12 )n= P(n) 把 n = 12,24,36 代入得到 P(12) = 10634.16 , i(12)= 6.16

9、% P(24) = 11348.67 , i(24)= 6.34% P(36) = 12153.84 , i(36)= 6.52% 13某基金的年初金额为 500000 元，年底余额为 680000 元。投资收入为 60000 元， 投资成本为 5000 元。用资本加权法计算年实际收益率。 解：由题意， A = 500000， B = 680000 所以， I = 60000 5000 = 55000 i = 2I A + B I = 9.78% 北京大学数学科学学院金融数学系第 5 页 版权所有，翻版必究 14某基金的年利率 4%，年初余额 1000 元，如果在第三个月底存入 200 元，

10、第9个月底取款 300 元。假定利率按单利计算， 计算年底的余额。 解： P = 1000 (1 + i) + 200 (1 + 3 4 i) 300 (1 + 1 4 i) = 1000 1.04 + 200 1.03 300 1.01 = 943 元 15(1)假定： i 1t t= (1 t)i，给出 i 1t 0的表达式；2）假定： i 1t 0= ti ，给出 i 1t t 的表达式。 解：在考虑福利的前提下有 (1 + i t 0)(1 + i 1t t) = 1 + i (1) 由i 1t t= (1 t)i 得 i t 0= (1 + i) 1 (1 t)i 1 + (1 t)

11、i = ti 1 + (1 t)i (2) 由 i t 0= ti 得 i 1t t= (1 + i) 1 (1 t)i 1 + ti = (1 t)i 1 + ti 16在初始时刻和第 1 年底分别向基金投入 1000 元，已知基金在第 1 年底的余 额为 1200 元，第 2 年底的余额为 2200 元。分别用资本加权法和时间加权法 计算年收益率。 解：资本加权法 1000(1 + i)2+ 1000(1 + i) = 2200 解得 i 6.52% 时间加权法 (1 + i)2= 1200 1000 2200 1200 + 1000 解得 i 9.54% 北京大学数学科学学院金融数学系第

12、 6 页 版权所有，翻版必究 17基金在元旦的余额为 A， 6月底的余额为 B， 年底的余额为 C。 (1) 若一年中没有任何资本的注入，证明：投资额加权法和资本加权法计算 的年收益率都是 CA A ； (2) 如果在 6 月底计算余额后立即投入资本 D ， 试分别给出投资额加权法和 时间加权法计算收益率的表达式。 (3) 如果 (2) 中的投资是在余额计算之前投入的， 重新计算 (2) 中的两种收益 率。 (4) 说明 (2) 和 (3) 中投资额加权法的结果相同的原因。 (5) 试说明 (2) 中时间加权法的结果大于 (3) 的结果。 解：(1) 资本加权法 A(1 + i) = C i

13、= C A A 时间加权法 1 + i = B A C B i = C A A (2) 资本加权法 A(1 + i) + D(1 + i 2) = C C = C A D A + 1 2D 时间加权法 1 + i = B A C B + D i = B C A (B + D) 1 (3) 资本加权法 A(1 + i) + D(1 + i 2) = C C = C A D A + 1 2D 时间加权法 1 + i = B D A C B i = (B D) C A B 1 北京大学数学科学学院金融数学系第 7 页 版权所有，翻版必究 (4) 资本加权法主要以资本量为衡量标准，所以在 6 月底余额

14、计算前投入还 是后投入， 对收益率没有影响。 (5) (2)中时间加权法的结果较大的原因是 D从计算余额后投入时， 认为这部 分资本在下半年产生了利息，而在计算余额前投入，相比较而言，若这部分资本 D 是在上半年投入的， 则没有产生利息， 所以收益率偏大。 18已知：当 t = 1,2,3,4,5 且 y = 1,2,10 时， 有 1 + iy t = (1.08 + 0.005t)1+0.01y 如果在 y = 5 时投资 1000 元， 持续 3 年。计算等价的均衡利率。 解：设等价的均衡利率为 i ， 利用投资年方法的计算公式有 (1 + i5 1)(1 + i 5 2)(1 + i

15、5 3) = (1 + i) 3 代入数据得到 i 9.469% 19基金 X 在 1991 年元旦的单位价值为 1.0 元， 在 1991 年 7 月 1 日的单位价值 为 0.8 元， 在 1992 年元旦的单位价值为 1.0 元， 如果某投资者在 1991 年元旦 和 7 月 1 日分别投入 10 元。分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者 在1991年的收益。 解：资本加权法， A = 10,C = 10,B = 10 + 10 1 0.8 = 22.5 得到 I = 2.5 i = 2.5 10 + 1 2 10 = 16.67% 时间加权法 i = 0.8 1 1 0.8 1 =

16、 0 20某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车： 马上付款 5000 元； 或者， 现 付 2400 元，然后每年底付款 1500 元，两年付清。若某购车者的最小可接 受的年收益率为10%， 问其选择哪个方式购买？ 解：以最小可接受的年收益率算得购车者以第二种方式购车的现值为： 2400 + 1500(1 + i)1+ 1500(1 + i)2= 5003.31 元 5000 北京大学数学科学学院金融数学系第 8 页 版权所有，翻版必究 所以应该选择第一种方式付款。 21如果投资者的可接受利率为12%， 说明第 3 题的项目是否可以接受。 解：用Excel规划求解内部收益率得 r 9.56

17、% 12% 所以可以接受这个项目。 22如果例子 3.19 的项目回报率为15%， 计算相应的项目融资利率 f 。 解：利用 r,f 之间的关系式： 1 + r = 10000 1600 (1 1 1 + f ) 把 r = 15% 代入 解得：f = 22.55% 23已知某项目前五年的现金流如表 3-13 所示。 若 r = 15%,f = 10%， 计算 B5。 表 3-13 t012345 Ct10002000-40003000-40005000 解： B0= C0= 1000 B1= B0(1 + r) + C1= 3150 B2= B1(1 + r) + C2= 377.5 B3=

18、 B2(1 + f) + C3= 2584.75 B4= B3(1 + r) + C4= 1027.54 B5= B4(1 + f) + C5= 3869.71 北京大学数学科学学院金融数学系第 9 页 版权所有，翻版必究 24现有某一种投资，若利息收入要扣除 25%的收入税。估计在今后 20 年内可 以达到年利率 8%注： 税前， 计算在20年底， 利息累积额下降的比例。 解：税后的等价利率为8% 3/4 = 6%,从而利息累积额下降比例为 1.0820 1.0620 1.0820 1 = 39.7% 25某人需要 800 元借款， 有以下两种方式偿还： (1) 只借 800 元， 然后期末

19、一次偿还900元； (2) 先借 1000 元， 期末偿还 1120 元。 如果最小可接受的利率为 10%， 分析其选择。 解：对于第一种方式， 期末的现值为： 800(1 + 10%) 900 = 20 元 对于第二种方式， 期末现值为： 1000(1 + 10%) 1100 = 20 元 所以两种方式是等价的。 此题有待讨论。 26保险公司将寿险保费的收入建立基金，年底计息。受益人可以在今后 10 年 的每年底从基金中取款，若保单的最低年利率为3%时，每年的取款金额为 1000 元。然而， 保险公司的基金投资利率为：前四年 4%， 后六年 5%。因而， 实际取款金额为： Wt= Ft a1

20、1tp3% ,t = 1,2,.,10 其中 Ft表示基金在时刻 t(t = 0 去掉,1,2,.,10) 的余额。计算 W10。 解：由递推公式 Wt= Ft a11tp3% ,Fn+1= Fn Wn 整理得 Ft+1= Ft 1.03 + + 1.0310t 1 + 1.03 + + 1.0310t ,t = 1.9 北京大学数学科学学院金融数学系第 10 页 版权所有，翻版必究 F10= F1 1.039 1 + 1.03 + + 1.039 = 1000 a10p3% 1.039 a10p3% = 1000 1.039 = 1304.77 W10= F10 a1p3% = 1304.7

21、7 元 与原答案有出入。 27某基金在 1 月 1 日的余额为 273000 元， 在 12 月 31 日的余额为 372000元。 该 基金一年的利息收入为 18000 元， 收益率 6%。计算平均的存取款日期。 解：由题意有 A = 273,000B = 372,000I = 18,000 C = B A I = 81000 i = I A + C(1 t) = 6% t = 2 3 所以平均的存取款日期是 9 月 1 日。 北京大学数学科学学院金融数学系第 11 页 版权所有，翻版必究 28某基金的投入为连续方式， 起始余额为 1， t 时刻的投入为 1+t， 利息力函数 为 (1 +

22、t)1。计算 n 年末的终值。 解： 期初的现值为： a(n) = a(0) + n 0 (1 + x)exp n 0 (1 + t)1dtdx = 1 + n 0 (1 + x) 1 1 + xdx = 1 + n n 年末的终值为 AV = a(n) exp n 0 (1 + t)1dt = (1 + n) (1 + n) = (1 + n)2 29某基金在 1991 年和 1992 年间的运作情况如表 3-14 所示。用时间加权法计 算这两年的收益率。 表 3-14 日期1/1/911/7/911/1/921/7/921/1/93 基金价值/元1000000131000012650001

23、5400001420000 投入/元250000250000 取出/元150000150000 解：根据题意， 所求收益率为： (131 25 100 126.5 + 15 131 154 25 126.5 142 + 15 154 ) 1 2 1 = 9.10247% 应注明投资和支取是在计算余额前投入的！ 北京大学数学科学学院金融数学系第 12 页 版权所有，翻版必究 30某互助基金的初始单位价值为 10000， 在随后的 5 年底的价值为：11710 元， 12694 元，14661 元，14148 元和 16836 元，有三个投资者 A、B 和 C，投资 情况如表 3-15 所示。 (1) 用时间加权法计算该基金在 5 年中的年平均收益率； (2) 用资本加权法计算每个投资者在 5 年中的年平均回报率。 表 3-15 时间第 1 年底第 2 年底第 3 年底第 4 年底第 5 年底 A10002000300040005000 B30003000300030003000 C50004000300020001000 解：(1) 有资本加权法有： (1 + i)5= 11710 10000 12694 11710 14661 12694 14148