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1、第 卷第期 年月 高 等 数 学 研 究 ， ， 利用 函数求积分的几种形式 耿彦如 （ 邢台学院 数学系，河北 邢台 ） 收稿日期： ； 修改日期： 作者简介： 耿彦如（ ） ， 男， 河北宁晋人， 硕士， 副教授， 从事函数 论及教学法研究 ： 摘要借助幂函数与对数函数的变量替换对 函数从形式上加以推广， 使 函数中指数函数部 分为指数函数与幂函数或对数函数与幂函数的复合函数时仍可求值， 以扩大 函数的使用范围 关键词 积分； 函数；积分计算 中图分类号 文献标识码文章编号 （ ） 函数是 积分的一种形式， 是以含 参量非正常积分表示的一种非初等函数 ， 记为 （） （） 函数（）连续、

2、可导， 且满足 （） （ ） ， （），（ ） 槡 一些非正常积分通过变量变换可转化为 函 数， 且当 （ 瓔）时， 其值一定可求出 （）形式单一使用范围较窄本文计划通过变量代 换对（）在形式上加以推广， 以扩大其应用范围 定理若， 瓔， 则有 （ ） 证明不妨令 ， ， ， 那么 （） ， 所以 （ ） （ ） 若令 ， ， 那么 （ ） ， （ ） ， 所以 （） ， （ ） （ ） 当 （ 瓔） 时， 根据 函数的性 质， 一定可解 （ ） 例 （ ） 槡 （ ） 槡 分别取， 则由定 理可得以下推论 推论 当 ， 瓔时， 有 （ ） ， （ ） ， （ ） ， （ ） ， 例 （ ）

3、（） ， （ ） 槡 令 ， 即取 ， 则由定理可得以 下推论 推论当， 瓔时， 有 （ ） 例 槡 （ ） 定理当 ， 瓕且 时， 有 （ ） （ ） （ ） 证明不妨令 （） ， 那么 （） （ ） （ ） （ ） （ ） 再令（ ） ， （ ） ， 即 得定理成立 例 （ ） （ ） 槡 （ ） 槡 推论当 ， 瓔时， 有 （ ） （ ） （ ） 证明令 ， 则有 （） ， （ ） ， 所以 （） （ ） （ ） （ ） （ ） （ ） （） （ ） （ 瓔） 再令（），（ 瓔） ， 由上式可 得推论成立 例 （ ） （ ） （ ） 由推论及对数的换底公式易得以下推论 推论 当， 瓔，时， 有 （ ） （ ） （ ） （ ） 利用对数的换底公式及定理可得以下推论 推论当 ， 瓕且 ， 时， 有 （ ） （ ） （ ） （ ） 例 （ ） ） （ ） （ ） （ ） 在定理中取（ 瓔） ， ， 并利用对 数的换底公式， 可得如下推论 推论 当 ， 瓔， 时， 有 （ ） （ ） （ ） （ ） 根据推论 ， 例 可直接求解如下 例 （ ） （ ） （ ） （ ） 参考文献 华东师范大学数学系数学分析： 下册 版北京

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