弹性力学2.ppt

1、Chap.2 应力分析 Analysis of stresses,2.1 物体内一点的应力状态,一、 任意斜截面上的应力状况,四面体应力MABC0时即M点的斜截面应力 设ABC面积为A 则MAC、MBC、MAB的面积分别为,应力状态分析,讨论一点各截面的应力变化规律，由应力分量确定一点应力状态,M,其中l，m，n表示斜面法向在坐标系Oxyz中的夹角方向余弦。,lA, mA, nA,则,1. 斜面应力分量,z,y,x,xz,xy,yz,yx,zy,zx,由平衡，知,同除A并略去小量V/A，知,同理，知,斜面应力投影公式,则,全应力,正应力,切应力,切应力互等定理,y,同理，知,由此证明了 1)9

2、个应力分量6个独立 2)应力分量可完全确定一点的应力状态,二、 应力分量的坐标变换,设已知坐标系Oxyz中弹性体中某点的应力分量为,应力状态分析中，往往已知一坐标系下应力分量，而另一坐标系下应力状态表达更简单或意义更明确或讨论更方便，这时就需要坐标变换。应注意的是，一点应力状态与坐标选取没关系，只是应力分量表达不同而已。,li，mi，ni表示两坐标系轴间的夹角方向余弦。,求新坐标系Oxyz下该点的应力分量,设两坐标 系间关系:,实际可将x是为任意斜截面法向，参照任意斜截面应力公式写出,参考n写出,同理,应力分量的坐标变换公式,2.2 主应力,材料力学已介绍过，但从三维一般开始,一、主应力和主方

3、向,1.概念,物体内一点的应力分量是随坐标系的旋转而改变的，那么，可否找到一个该点无切应力分量的坐标系。即物内某点处原始单元体上只有正应力而没有切应力。事实上，任何应力状态至少有三个相互垂直平面的切应力为零。,主平面,切应力为零的微分面称为主微分平面，简称。,应力主方向,主平面的外法向称为应力主轴或者称为。,主应力,主平面上的正应力称为 。,Xn=s l, Yn=s m, Zn =s n,2.主应力的确定,主应力为s=微分面上应力矢量 pn,其三个分量为Xn, Yn, Zn,根据主平面的定义，应力矢量 pn的方向应与法线方向n一致，则应力矢量的三个分量与主应力的关系为,(1),同时，根据应力矢

4、量与应力分量表达式，有,(2),两式联立求解，得到,(3),一个关于主平面方向余弦 l，m，n 的齐次线性方程组,设过点O主微分面ABC外法向即 应力主向,条件为系数行列式等于零。即,由于,(4),方程组具有非零解,展开上述行列式,可得,(5),是确定弹性体中任意一点主应力的方程。称为,主应力特征方程,其中,(6),所谓不变量是指同一点的应力张量而言的，与坐标轴选取无关。不同点，应力状态不同，这些量是不同的,应力张量的第一不变量 第二不变量 第三不变量,并与关系式(4)联立求解l, m, n，即求得对应应力主方向方向余弦(l,m,n)。,主应力,可以证明，特征方程有三个实数根s 1， s 2，

5、s 3 ，即某点的三个主应力。,有三个实数根s 1 s 2 s 3 即某点的三个主应力,3. 应力主方向的确定,将计算所得的s 1 ，s 2 ，s 3分别代入齐次方程组的任意两式,(3),解特征方程(5),二、应力不变量,具有以下性质：,1.不变性：,由于一点的正应力和应力主轴方向取决于弹性体所受的外力和约束条件，而与坐标系的选取无关。因此对于任意一个确定点，特征方程的三个根是确定的，因此I1，I2，I3的值均与坐标轴的选取无关。坐标系的改变导致应力张量的各个分量变化，但该点的应力状态不变。应力不变量正是对应力状态性质的描述。,2.实数性：,特征方程的三个根，就是一点的三个主应力，根据三次方程

6、根的性质，容易证明三个根均为实根，所以一点的三个主应力均为实数。,3.正交性：,任一点的应力主方向，即三个应力主轴是正交的。包括,a.若s 1s 2s 3，特征方程无重根，因此，应力主轴必然相互垂直,b. 若s 1=s 2s 3 ，特征方程有两重根， s 1和s 2的方向必然垂直于 s 3的方向。而s 1和s 2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；,c. 若s 1s 2s 3，特征方程有三重根，三个应力主轴可以垂直， 也可以不垂直。即任何方向都是应力主轴。,下面证明主应力的正交性：,证明应力不变量的正交性。,设s 1，s 2和s 3 的方向余弦分别为（l1，m1，n1）,（l2，m2，n2）,（

7、l3，m3，n3）,应满足齐次方程组(3),有,将前三式分别乘 l2，m2和n2,中间三式分别乘-l1，-m1，-n1 然后将六式相加，可得,同理,则若s 1s 2s 3，有,l1l2+m1m2+n1n20 l2l3+m2m3+n2n3 0 l1l3+m1m3+n1n3 0,即三个主应力均不相等时，三应力主方向是相互垂直的。,若s 1s 2s 3，有,l2l3+m2m3+n2n3 0 l1l3+m1m3+n1n3 0 l1l2+m1m2+n1n2可以等于零，也可以不等于零,即 s 3 的方向同时与s1和s2 的方向垂直，而的s1和s2的方向可以垂直，也可以不垂直。因此所有与s3 垂直的方向都是

8、s1和s2 的应力主方向,若s 1s 2s 3,有,l1l2+m1m2+n1n2， l2l3+m2m3+n2n3 和 l1l3+m1m3+n1n3均 可以等于零，也可 以不等于零。,即任何方向都是应 力主方向。,应力不变量的正交性得证。,三、主应力极值性,弹性体中任意一点主应力是该点各斜截面上正应力的极值,证明,对于弹性体中任意一点，以其主应力方向为坐标轴向建坐标系,设该点任意斜截面外法向,根据斜面应力与应力分量关系式，有,同理，由上第二、三式知,(1),(2),(3),由(1)(3)分别消去l、m、n，得,(1),(2),主应力极值性得证,2.3 最大切应力,由上主应力极值性证明中第(2)

9、、(3)式,消去n (或l、m) ，得,(a),(b),设s 1s 2s 3，有,l、m不同时为零(否则n =0无意义)得,m0, l=0时，解得,l0, m=0时，解得,同理，消去l (或m)有,分别 代入 以上n表 达式，得,称为主切应力分别在与相关主方向成45的平面上,三式比较知一点处最大切应力,2.4 平衡微分方程,一、单元体,物体在外力作用下产生变形，最后达到平衡位置。不仅整个物体是平衡的，而且弹性体的任何部分也都是平衡的。,为考察弹性体内平衡，围绕物内任意点M，截取 一微小正六面体单元，单元的棱边分别与x，y，z 轴平行，棱边分别长dx，dy，dz。,z,y,x,体积dV=dxdy

10、dz,体力分量X，Y，Z,Z,X,Y,应力分量是坐标的函数如图例x向两截面上,负面外法向与坐标轴反向的面,s xf(x,y,z),xf(x+dx,y,z) = f(x,y,z)+,Taylor级数展开,略去高阶无穷小,余类推,即负面s x x y xz图中未注,正面,六面体微小，视体力均布，合力在形心；应力在各面均布，合力在面心,二、平衡微分方程,下面讨论微分平行六面体单元的平衡。 X=0,/dxdydz，略去高阶无穷小,同理 Y=0,Z=0,Navier方程 （外力内力关系）,同理 由力矩方程同样可以证明切应力互等定理,张量表示,张量表示,sij = sji,正面,2.5 应力边界条件,物体

11、在外力作用下处于平衡状态，整体和任意部分都是平衡的。弹性体内部应力分量必须与体力满足平衡微分方程；弹性体表面，应力分量须与面力满足弹性体表面的平衡，即满足应(面)力边界条件,取物体表面任一微分四面体，设面力分量为,x,y,z,n,物体外表面法线n的方向余弦为l，m，n,将表面模拟成四面体的斜截面， 由斜面应力与应力分量的关系，可得,应力边界条件 或静力边界条件 或面力边界条件 或应力与面力关系,上述公式是弹性体表面微分单元体保持平衡的必要条件，公式左边表示物体表面的外力，右边是弹性体内部趋近于边界的应力分量。称为,Chap.2 小结 sum,2.1 物体内一点的应力状态,1. 概念,2. 斜面

12、应力确定,投影,全应力,正应力,切应力,切应力互等定理,应力分量可完全确定一点的应力状态,一点应力状态,应力矢量,应力分量,应力张量,3.应力分量的坐标变换公式,2.2 主应力,1. 概念,1)确定应力分量,主平面,应力主方向,主应力,应力张量的不变量及其性质(不变性、实数性、正交性),主应力极值性,最大切应力,2.主应力的确定,2)确定应力不变量,3)建立并求解应力状态特征方程,得主应力s 1 s 2 s 3,3. 应力主方向的确定,联立求解l, m, n，即求得对应应力主方向方向余弦。,将计算所得的s 1 ，s 2 ，s 3分别代入齐次方程组的任意两式,并与关系式,2.3 最大切应力,最大切应力,与s 1 、 s 3成45的平面上,2.4 平衡微分方程,Navier方程 （外力内力关系）,2.5 应力边界条件,应力边界条件 或静力边界条件