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文档简介

1、2 无穷积分的性质与收敛判别,教学内容： 1. 无穷积分的性质 2. 无穷积分收敛的判别,教学重点：无穷积分的比较判别法与柯西判别法。,教学难点：应用狄利克雷判别法与阿贝尔判别法判别反常积分。,一. 无穷积分的性质,1. 无穷积分收敛的柯西准则,定理11.1：,2. 无穷积分的性质,性质1：,性质2：,3. 无穷积分收敛的充要条件,4. 无穷积分的绝对收敛与条件收敛,绝对收敛；,条件收敛。,性质3：,说明：性质3指出：绝对收敛的无穷积分必收敛，但反之未必。 （今后举例说明）,二. 无穷积分敛散性的判别,1. 无穷积分收敛的充要条件,2. 无穷积分收敛的比较判别法,（1）不等式形式,定理11.2

2、：,定理指出：大收敛则小收敛；小发散则大发散。（与级数类似）,例1：,解：,（2）极限形式,推论1：,注意：1.推论中，当c=0时只能判别收敛；当c为正无穷大时,只能判别发散；,2.用此推论时要找分母的g(x)且,3.找g(x)的时候最好使极限是一个非0的常数。,3. 无穷积分收敛的柯西判别法,推论2：,推论3：,注意：1.实际应用中，常用推论3；,2.用推论3时要找p,使同时满足p及,3.找p的时候最好使极限是一个非0的常数。,例2：,讨论下列无穷积分的收敛性,解：例子中被积函数都是非负函数，所以可用推论3,三. 无穷积分敛散性的狄利克雷判别法和阿贝耳判别法,1. 无穷积分收敛的狄利克雷判别法,定理11.3：(狄利克雷判别法）,定理11.4：(阿贝耳判别法）,3. 无穷积分收敛的阿贝耳判别法,注意：1.实际中，这两个判别法常用于判别条件收敛的无穷积分；,2.用这两个判别法关键是选择适当的f(x)及g(x)；,3.在狄利克雷判别法中，一般令f(x)为sinx或cosx；,例3：,说明：只讨论前者，后者类似可得。,解题思路：由于被积函数不是非负函数，故不能直接用比较判别 法或柯西判别法，结合例1，我们可以先考虑判别它 是否绝对收敛，若不是再考虑用上述的狄利克雷判别 法或阿贝耳判别法。,解：,综1.(2)及2.知：,利

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