相似矩阵及二次型.ppt

1、1，第5章，类似矩阵及二次型，5.4对称矩阵的对角化，5.3类似矩阵，5.2正方矩阵的特征值和特征向量，5.1向量的内积，长度及正交性，5.5二次型及其标准型，5.6二次型通过分配方法成为标准型，5.7正定二次型的3维度空间有向量的夹角和长度的概念它构成了3个维度空间的丰富内容. 5.1向量的内积、长度和正交性，引言，我们希望将这些个的两个概念展开为n维向量空间.在解析几何学中，定义向量的内积(数量积)，建立标准的正交坐标系后，可利用向量的坐标的性质，萩名Cauchy-schy 即，将5、2、向量的长度和性质、定义、性质、(三角不等式容易由Cauchy-Schwarz不等式证明，参照P114

2、)、6、单位矢量向量组称为正交向量组，如果这些个的向量全部是单位矢量，则将该向量组称为正规正交向量组， 如果该矢量组是向量空间v的矢量，则分别称为向量空间v的正交向量和正规正交向量，作为其中的一个正交向量组，证明一定能够找到一个矢量构成的正交化学基，记住一定有非零解。 其中任一非零解求，11，5，施密特正交化过程，寻找等价的正交向量组，以12，3个矢量为例，从几何直观求再次求构造，、(1)式的两边和内积，注意，得到，和(1)式的两边和内积类似得到与线性无关，如果命令的话，两者正交解与容易理解的线性无关，用施密特正交化的方法，进一步简化，生成该规范正交化学基下的坐标. 17、规范正交化学基(相当

3、于标准正交坐标系)后，求一个矢量的坐标特别方便，两边各内积(这里(2)如果a、b都是正交矩阵、AB也是正交矩阵、(3) A是正交矩阵、(4) P是正交矩阵，即，正交变换保持向量的长度。第21、5章、类似矩阵和二次型、5.4对称矩阵的对角化、5.3类似矩阵、5.2正方矩阵的特征值和特征向量、5.1向量的内积、长度和正交性、5.5二次型及其标准型、5.6分配方法中使二次型为标准型、5.7正定二次型的可逆矩阵p存在时，(1)式成立， 此时，方阵a被称为可对角化，根据24、(注：) 代数的基本定理，特征方程式在复数的范围中正好存在n个(重根用重数来修正)满足上式的被称为a的特征值、与被称为a的特征值对

4、应的特征向量、23、(1)。 因此，n阶正方阵在复范围内具有恰好n个特征值。 另外，在本章中，假定与特征值、特征向量相关的讨论总是在多个范围内进行。 求25，性质，还有26，矩阵的特征值。 2个特征值求：特征向量是实还是复，27，a的特征值。 因此，n个特征值表示对角阵、下三角矩阵的特征值是？ 获得矩阵a、b的特征值和特征向量。解(对矩阵a )、29、a的特征值对于解方程组，该解方程组获得命令、基础解系数；与特征值对应的所有特征向量对于30，对于解方程组，该解方程组获得命令、基础解系数同解方程组获得指令、基础解系数，因此，与特征值对应的所有特征向量都为330，(2)实矩阵的特征值(特征向量)是

5、否一定是实的？ (3)矩阵a的可逆充分条件是所有特征值_ _ _ _ _ _ . a有_这样的特征值。 (4)、a有“_这样的特征值。 可逆，a的特征值不一定等于_。 (35 )、(6)一个特征值对应多少个特征向量？ 一个特征向量对应几个特征值？ (后面证明)，(7)如果a的各行的要素之和全部等于2，则a具有特征值，_ _ _，与其相对应的特征量是_ _ _ _。 与(5) A的特征值的特征值有什么关系？ 特征向量的个数=_ . 是的特征值，证明对应的最大无关，36，一个特征向量只能对应一个特征值。 如果证明假设a的特征值和所对应的特征向量是一起的，则37，方阵a的特征值为，所对应的特征向量证

6、明(1)为kA的特征值，并且对应的特征向量仍为x。 (2)是一个特征值，对应的特征向量仍旧为x。 当(3)a为可逆时，为的特征值，与此相对应，特征向量保持为x。 设为证、38、推进：正方矩阵a的特征值时，为下式的特征值。 的双曲馀弦值。 是的，以39，3次矩阵a的3个特征值为例，因为解a的特征值都不是零，所以a是可逆的。的三个特征值已经被校正，因此，假设、40、证明a的特征值仅取1或2 .而被设为a的特征值，则下一个特征值是零矩阵，因为其特征值全部为0，故按照证明、41、5章、类似矩阵及5.5二次型及其标准形式、5.6布置方法5.3相似矩阵，a、b都是n次矩阵，如果有可逆矩阵p，则b是a的相似

7、矩阵，或者矩阵a与b相似。 运算a称为相似变换a并将可逆矩阵p变换成b的相似变换矩阵。定义，特别是如果a类似于对角阵，则称为a可对角化。 (43 )性质，(1)类似关系是等价关系，(2)如果a和b相似，则r(A)=r(B )； (3)因为a和b类似，所以a和b具有相同特征值的(4)如果a和b类似，则(5)如果a和b类似，则(6)如果a和b类似，则类似； 求出44、x、y和a的特征值。 求a和b。解(1)和a的特征值等于b的特征值： 45、(2)、46，且对角化的问题将在下文讨论。 这表示如果a能够对角化，则n个与线性无关的特征向量，即p的n个列是必需的。 相反，可知如果a具有n个不依赖于线性的

8、特征向量，则将它编成矩阵p (可逆)，如果将上述过程颠倒则a能够对角化。 n阶矩阵a能够对角化的满足条件是a具有不依赖于n个线性的特征向量。47、即使聚合了对应于不同特征值的线性非依赖性特征向量，也是线性非依赖性的。 即，如果设置矩阵a的不同特征值，所对应的无关性特征向量被设置为优势，所对应的无关性特征向量被设置为优势，并且所对应的无关性特征向量被设置为优势，则所述向量彼此不线性相关。可从方程式的两侧的左方a、进一步从线性获得、或从类似性获得、49、50、(继续第2节例3，首先看矩阵a )，第1步求特征值，第2步求不从线性获得、52、 (其为对于b的任何特征向量是属于，还是因为当时相关所以属于

9、，此时相关。 因此，b不能被对角化。 (再次看矩阵b )，53是所有不同特征值，则注意：是和的加权数，称为(代数)加权数，是相对应的最大无关特征向量的数量，并且称为和的几何加权数。 此外，该定理表示对应于任意一个特征值的无关特征向量的个数至少存在一个并不超过其重量。 对于单个特征量，只有一个独立的特征向量。 54、证明(参考)、对应的最大无关特征向量被假定为以上特征向量被扩展为n个线性无关向量。 的双曲馀弦值。 55，n阶矩阵a的可对角化充分条件是a的每个特征值的代数权重等于其几何权重。 即，假设彼此不同，此时a能够对角化的满足条件是即的权重恰好等于与其对应的最大无关特征量、向量的个数。多重特

10、征值有若干个特征向量，56，证(一盏茶)设定，个，它们因为还不是线性的而可以角化。合并每个对应的最大无关特征向量后，共享，(必要)假设可以对角化a，向，57，58，x询问什么样的值，a可以对角化，是单根，正好有特征向量(不需要讨论)。 双根，a可对角化，59，提示： a可对角化，60，5章，类似矩阵和二次型，5.4对称矩阵的对角化，5.3类似矩阵，5.2正方矩阵的特征值和特征向量，5.1向量的内积，长度和正交性，5的顺序喀呖声，在步骤：中求出特征值。(特征值都必须是实数)、64、第二步骤：确定特征向量，所述特征向量不取决于线性。 是，求解方程组求解基础解系数(即无关特征向量，多少个向量)，65

11、，是，求解方程组求解基础解系数(即无关特征向量，多少个向量)，前面的66，第三步骤： 将67、第4步骤：求出的规范正交特征向量作为正交矩阵。单位化：指令、68、呈现：由于以对应的无关特征向量为两个无关解(基础解系数)，因此上述方程的任意两个无关解是对应的特征向量。 解(1)能够求出再正交化单位化构成正交矩阵q、69、5章、类似矩阵及二次型、5.4对称矩阵的对角化、5.3类似矩阵、5.2正方矩阵的特征值和特征向量、5.1向量的内积、长度及正交性、5.5二次型及其标准形，并进行旋转变换，得到(1)的左边参照72，被称为n维(或n维)的二次型、定义、包含n个变量的二次函数、三次元的二次型是改写：73

12、、74，通常，对于n维的二次型，上述式是被称为二次型的矩阵表示。75、给出对称矩阵a后，常写为xTAx=xTBx (A，b均为对称矩阵)，即(以三维为例)，可唯一确定二次型为类似、指令、类似、76，f称为对称矩阵a的二次型，对称矩阵a的秩称为二次型f的秩二次型和对称矩阵之间存在一对一的对应关系，表示写出、77、下一次的二次型f的矩阵表现，求f的秩r(f )。 解，问：在二次型中，如果不限制a对称，a是唯一的吗？ 只包含、78、定义、平方项的二次型称为二次型的标准型(或法式)。平方项的系数仅在中央取值的标准形、79、对给定的二次型代入可逆的线性变换(坐标变换):(1)式作为标准形，以上的过程称为

13、二次型。 80、(其中，d是对角阵)、d都是对称矩阵，“二次型是标准型”能够对给定的对称矩阵a查找可逆矩阵c，因为二次型和对称矩阵是一对一的对应关系。 学过在先吗？ 81、82；在正交变换中将二次型变换成标准型； 求a的特征值，求二次型的矩阵，求84，a的规范正交的特征向量，求单位化，85，正交的基础解系数，求单位化，正交变换矩阵，86，写二次型的标准形，使用正交变换，将二次型f设为标准形，88分别与、等对将重新单位化后排列矩阵求出的正交变换矩阵、89、定义、a和b设为n次矩阵，如果有可逆矩阵c，则合同a和b，性质，如果(1)、(2) a和b合同，则r(A)=r(B )； (3) A与b签约，a是对称的，b是对称的，二次型化标准形式相当于把一个对称矩阵合同转换成对角阵。 n次对称矩阵集合中，矩阵的契约等价相当于二次型可以相互化(也称为二次型等价)。90、定理、二次型必须成为规范形。 证明二次型