9.1数值解法的构造途径.ppt

1、1，9常微分方程的数值解法，一阶常微分方程的初值问题，解法如下：例如，、等，牙齿章节主要讨论了一阶常微分方程的初值问题，区间a x b的数值解法。4，在实际生产和科学研究中，很少能得到初值问题的初值解(用初值函数表示的解)。部分超值问题即使是初登，形式也太复杂，很难处理。实用的方法是在计算机上进行数值分析。也就是说，不是直接求y(x)的显式解，而是求解存在的间隔中的一系列点xn (n=0，1，2，)的近似值。9.1数值解的构造路径，5，1阶常微分方程的初值问题：定理：f (x，y)满足封闭区域r:上演，r域内的Lipschitz条件时，正L牙齿存在。9.1数值解的构造路径，9.1数值解的构造路

2、径，所谓数值解是在一系列离散点a=x0 x1 xN=b计算初值问题的解函数y(x)的近似值：y0，y1，yn。节点间距是步长，通常使用等距节点，yn称为问题的数值解法。用数值解法满足的离散方程统称为差异形式。初值问题的数值解法有基本特征。所有人都采取“阶段”。也就是说，解决过程是沿着节点排序顺序向前一步。要说明这些算法，只需提供使用已知信息yn，yn-1，yn-2计算yn 1的迭代公式即可。9.1数值解的构造方法，9.1.2阶上方法，9.1.3数值积分法，9.1.4泰勒展开法，11，欧拉方法，将微分变成阶上方法，12，赋予初始值问题表达式，根据y0，函数y=y(x)等于x1，x2常微分方程的数

3、值解法是离散函数值数据集。使用Euler方法的几何意义，x，y，0，示例1 Euler公式解决初始值问题。分析：步骤h=0.1，Euler公式的具体形式如下：可以按顺序计算。y3，y4，y5，y6，16，梯形公式Euler方法，数值积分法中，f (x，y)用梯形公式粗略计算间距xn，xn 1的积分，即使用近似值代替精确值的梯形公式Euler方法：在上右端出现未知项可见梯形方法是一种隐式欧拉方法.梯形公式Euler方法，梯形公式Euler方法，请参见：牙齿方法也称为预测-校正方法。表明，牙齿算法具有二次精度，是比隐式公式的迭代求解过程简单的单步迭代形式。它的准确度高于显式欧拉方法。，为了便于编程

4、，经常将改进的Euler公式写为：从上一页的下一页返回，示例2使用改进的Euler方法解决了示例1的初始值问题。求解：步骤h=0.1，改进的Euler方法的具体形式如下：计算过程如下：可以按顺序计算。y3，24，两阶段欧拉方法，数值积分法推导中，积分间隔宽度被选择为两阶段。也就是说，如果积分间隔为xn -1，xn 1:则使用y(x)的xn-1，xn的近似值，而不是精确值。在中间矩形公式点xn中，y (xn 1)的一阶泰勒展开式使用显式Euler方法(一阶精度)，26，long-cuta方法(继续)，显式Euler方法使用一点的值k1作为k*的近似值。改进的Euler公式使用两点的值k1和k2的

5、平均值。改进的欧拉方法比显式欧拉方法精度高。进一步预测Xn，xn 1内多个点的ki值，并将加权平均值用作k*的近似值，以生成更精确的计算公式。这就是朗格库塔方法的基本理念。27，用k1和k2的加权平均数代替二次longer-kuta方法，k*。为了分析局部截断误差，用泰勒公式得到yn=y(xn):28，补充：二元泰勒展开式，29，二元泰勒只有3个方程，由无穷数的解组成的longer-kuta方法都是2次，二次longer-kuta方法是改进的Euler方法，部分截断误差在O(h4)必须用yn 1代替k1，k2，k3的表达式中，从(xn，yn)展开到二进制泰勒公式，y(xn 1)必须与xn中的泰

6、勒展开表达式进行比较，33，3次long-ku进行比较。A3，b21，b31，b32可以推出：8个未知参数，6个方程，无限多的群解，库塔公式，34，4次longer-kuta方法，类似的4次longer-kuta公式。一般来说，36，用经典的四次longer-kuta方法解决了先例的初值问题，并在改进欧拉方法、梯形方法、X5=0.5中比较了误差大小。解释：使用经典四次长格-库塔公式：37，4次R-K方法的精度比二次方法高得多。由于Y (xn)在xn中设置为yn=y (xn)，xn 1=xn h时y (xn 1)的近似值是四次R-K方法的精度相差4，因此部分剪裁错误如下：用四阶R-K方法求解初值

7、，如何判断计算结果的准确性，选择适当的步骤H？通常，计算机通过徐璐其他阶段的计算结果进行近似。步骤39，h/2，从xn开始，y(xn 1)的近似值，可变步骤的长格库塔方法(继续)，上述每个步骤的剪切误差约为cn(h/2)5，因此，将步骤D e，再次折叠为1/2，要求精度，41，单阶段收敛性，显式单阶段方法可合并：增量函数，仅依赖函数f，仅依赖于xn，yn，h的函数，y=y(x)，h 0，近似解决方案是否收敛为正确的解决方案，P阶算法的部分截断误差为：显然：部分切削误差的前提条件是：部分切割误差0为算法收敛，43，单级收敛y(xn继续)，定义：求解初始值问题的单级数值方法，定义：y(xn)-yn

8、称为一级近似求解yn的整体切割误差。单步收敛、44、单步收敛(继续)、收敛性定理、单步方法满足上述条件时牙齿方法收敛。单阶段方法的整体切割错误包括：单阶段有P阶精度，增量函数满足Y的信息：Lipschitz条件：算法精度为P阶，部分截断误差：46，47，也就是说，如果初始值正确，则e 0=0，因此总体截断误差为，y=e x为单调的增量函数，此时h 0这些初始和舍入误差是在计算过程的扩散中逐渐减少还是恶性增长是数值方法的稳定性问题，49，定义：在节点xn中，数值方法解yn的扰动，稍后在每个节点ym (m n 1阶段稳定性(继续)，定义：在节点xn中，通过数值算法获得的理想数值解是yn，实际计算的近似解是差异：N阶段的数值解的扰动，牙齿数值方法被称为稳定。50，1阶段稳定性(继续)，欧拉方法：由于函数