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第八节 含参变量的有限积分,一.含参变量的有限积分,1.定义,设二元函数 在矩形域,有定义，,积分存在，则积分,是定义在区间 的函数，记为,称为含参变量的有限积分，称为参变量,2.函数的分析性质,定理若函数 在矩形域,连续，则函数,在区间也连续,注：若函数 满足定理的条件时，则,积分和极限可以交换次序,证明,取 ，使,有,由连续函数的性质， 在闭矩形域R,上一致连续，即,有,特别是，,有,当 时,有,即函数 在区间 连续。,定理 若函数与 在矩形域,连续，则函数,在区间 可导，且,，有,或,积分号下可微分,证明,取 ，使,有,已知 在R存在，根据微分中值定理，有,将它代入上式，等号两端除以 ，有,上面的等式可化为,函数 在闭矩形域R上一致连续，即,有,从而有,即,或,定理若函数 在矩形域,连续，则函数,在区间 可积，且,积分号下可积分,(1),证明,根据定理1,函数 在 连续,则函数 在区间 可积.,下面证明等式()成立.,根据8.4定理1,有,设,已知 与 都在R,连续，根据定理，有,于是,有,则,可得,(其中C是常数),特别地，当时，有,即,则,当 时,练:1 计算,例1,求函数 的导

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