2.1随机变量及其概率分布

1、1,随机变量及其概率分布,2,定义3：在一定条件下可能发生也可能不发生 的事件叫随机事件。,定义1：在一定条件下必然要发生的事件叫 必然事件。,定义2：在一定条件下不可能发生的事件叫 不可能事件。,按事件结果发生与否来进行分类 :,P=1,P=0,0P1,3,求一个事件概率的基本方法是通过大量的重复试验。,事件A的概率： 一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率 m/n 总是接近于某个常数，在它附近摆动。这个常数叫做事件 A 的概率，记作 P(A)。,当频率在某个常数附近摆动时，这个常数叫做事件A的概率,概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值。,概率反映了随机事件发生的可能性的大小

2、。,随机事件A在n次试验中发生m次，则0m n 因此 0P（A）1 。,必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0,4,1、古典概率,2、几何概型,3、互 斥 事 件,如果事件A、B互斥，那么,P(A+B)=P(A)+P(B),5,问题情景：,1、在一块地里种下10棵树苗，成活的树苗数X是0,1，2，10;,X=0,表示成活棵；,X=,表示成活棵；,X=,表示成活棵； ,X,表示什么意思？,随机事件,变量,随机事件,随机事件,随机事件,变量,变量,变量,6,2、 在掷骰子试验中,结果可用1,2,3,4,5,6来表示；,7,3、新生婴儿的性别，抽查的结果可能是男，也可能是女，如果用0表示男婴，用1

3、表示女婴，那么抽查的结果Z是0与1中的某个数.,，表示新生婴儿是男婴；,，表示新生婴儿是女婴,8,一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量,每个 随机试验的基本事件都对应一个确定的实数，即在试验结果（样本点）与实数之间建立了一个映射。,建构数学,如：上面新生婴儿的性别z是一个随机变量，z=0， 表示新生婴儿是男婴；z=1，表示新生婴儿是女婴,9,例1（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X表示掷得正面的次数，则随机变量X的可能取值有哪些？,数学应用：,随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可用随机变量简单表示为X=0。其概率为: P(X=0)=P掷一枚硬币，反面向上=

4、0.5 简记为P(X=0)=0.5 X=1的概率可以表示为: P(X=1)=P掷一枚硬币，正面向上=0.5 简记为P(X=1)=0.5 故随机变量X的取值构成集合0，1,10,（2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到白鼠的标号为Y，则随机变量Y的可能取值有哪些？,解：随机变量Y可能值有4种，它的取值集合 为1，2，3，4,11,(3) 在例1（2）中，也可用y=1，y=2，y=3，y=4 分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件 另一方面，在例1（2）中，可以用y3这样的记号表 示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂 的事件也可以

5、用随机变量的取值来表示,说明：,(1)引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示,(2) 在例1（1）中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以 用随机变量表示为x=1，随机事件“掷一枚硬币，反面向上” 可以用随机变量表示为x=0,12,例1的结果用表格描述：,例1（1）,例1（2）,13,概率分布列,一般地，假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是x1,x2, ,xn且P(X=xi)=pi, （i=1,2, ,n） 则称为随机变量X 的分布列，简称为X的分布列.,此表叫概率分布表，它和分布列都叫做概率分布。,可以一一列出，也可写出通项,表格表示,14,Pi的性质,（1）Pi0(i=1,

6、2,n) （2）P1+p2+ +pn=1,15,例2: 从装有6只白球和4 只红球的口袋中任取一只白球，用X表示“取到的白球个数”，即,求随机变量X的概率分布.,P（X=0）= P（X=1）=,解：由题意得：,16,概率分布表如下:,说明：,1本题中，随机变量X只取两个可能值0和1像这样的 例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对 产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等我们把这一 类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为X0-1分布或 X两点分布此处“”表示“服从”,2求随机变量X的分布列的步骤：,（2）求出相应的概率,（3）列成表格的形式。,17,例3、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子出现的最大点数X的概率分布，并求X大于2小于5的概率P(2X5).,18,解： 由古典概型可知X的概率分布如表所示,19,上式中求“两颗骰子出现的最小点 数X的概率分布”,变式：,20,解：通过列表可知：,21,例3 若随机变量X的分布列为：试求出常数c,解：,由随机变量分布列的性质可知：,解得,变式：,22,P(0X