空间图形演绎证明的基本方法

1、,第四节,空间图形及演绎证明的基本方法,二、空间图形演绎证明的基本方法与技巧,一、空间图形的位置关系与度量关系,一、空间图形的位置关系与度量关系,1、位置关系,立体几何的公理体系,中学数学教育在集合概念的基础上，采用公理化方法给出平面的基本性质，进而以平面为依托，结合公共点的个数定义了直线、平面之间的相互位置关系。立体几何课程的基础就是对点、线、面的各种位置关系进行讨论与研究，得出空间图形的基本性质。,(P148149：公理与推论),空间基本元素位置关系的定义、判断、性质,P149,2、度量关系,距离的概念必须具备三条性质：,10. 非负性,30. 三角不等式,20. 对称性,空间各种度量关系

2、的共同点：,10. 存在性,20. 唯一性,两图形间距离的概念：,P150,集合+度量=空间,求空间两基本元素间距离的途径：,(3) 利用经典定义转化为求某线段长度的最小值,(2) 用面积法、体积法等间接手段;,(1) 由定义直接作出垂线段,求出其长;,(利用函数求最值的代数方法),所求距离为2d= .,例1 (2012年全国高考题) 设点P在曲线 y=ex/2上, 点Q,在曲线y=ln(2x)上,则PQ的最小值为（ ）,(A),(B),(C),(D),解法1 (切线法),两曲线互为反函数图形,关于y=x对称，,就是 y=ex/2上点到y=x距离的2倍.,设曲线上P(x0, y0)处的切线与y

3、=x平行,则,得P(ln2, 1).,P到y=x距离为 .,选(B),所求最小值,所求距离为2d= .,易见 在(0,ln2上单调减,解法2 (动点法 ),两曲线互为反函数图形,关于y=x对称，,就是 y=ex/2上点到y=x距离的2倍.,设曲线 y=ex/2上任意一点为P(x,ex/2),则P到y=x距离,选(B),所求最小值,令,则,令,得x=ln2,在 ln2, +)单调增，,又,例2 正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为a,求异面直线A1B,与B1D1的距离.,解法1 (公垂线法),解法2 (线面平行法),解法3 (体积法),解法4 (函数最值法),二、空间图形演绎证明的基本方法与技

4、巧,1、基本方法,打好基础应从以下几个方面注意：,(1)画好恰当的直观图形,注意画图规则,突出主要部分.,有立体感,(2)熟悉、熟练运用有关定义和定理,（期中考试要求立体几何解答必须在本章知识范围内进行）,(2)设M为DE的中点, 求FM与平面 所成角的余弦值.,平面BCD, F为 的中点.,例3 (2010年浙江高考(文) 在 ABCD中, AB=2BC,ABC=1200, E为AB的中点, 将ADE沿DE翻折成,使平面,(1)求证：BF平面,分析,(1),由线面平行判定定理,设法证明BFEG;,(2),由线面所成角的定义,需作出相应的角,再进入计算.,这需要对平行四边形及面面垂直,条件进行

5、研究,挖掘隐含条件：,CE面,启发,作辅助线FN,(N为 的中点),请同学给出解答过程,标准答案：,(1)证明,连GE、GF,由条件易知, GFCD, GF=CD/2, BE,CD, BE=CD/2,GFBE, GF=BE,四边形BEGF为 , BFEG.,EG 平面,平面, BF平面 .,(2) 解,连CE,设BC=a, 则AB=CD=2a, AE=,AD=BE=a.,在BCE中,可得,在ADE中,可得DE=a.,在CDE中,CE2+DE2=CD2，,CEDE.,而 与DE交于点M,(2) 解,连CE,设BC=a, 则AB=CD=2a, AE=,AD=BE=a.,在BCE中,可得,在ADE中

6、,可得DE=a.,在CDE中,CE2+DE2=CD2，,CEDE.,在正 中,M为DE的中点,FMN,平面BCD,由平面,得,平面BCD,取 中点N,连NM、NF,NFCE.,则,为FM与平面 所成的角.,在 中,评注：立体几何题解答应有规范的求解过程.,说明：本题也可以建立直角坐标系,用向量方法求 解, 把几何推理为主线转化为以代数计算 为主, 这部分内容将在第7章再讨论.,例 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,过顶点A作平面与12条棱所在直线所成的角皆相等, 则满足条件的平面个数有 ( ),(A) 1个,(B)2个,(C)3个,(D) 4个,分析,12条棱分为3组, 每组中各棱平行,故

7、不妨取从同一顶点出发的三条棱为,代表进行研究.,(3)熟悉基本图形,面AB1C、,面AB1D1、,面ACD1,易见, 面A1BD平移到过点A的位置得到的平面满,故选(D),足条件,也满足条件 .,例 (2009年北京市数学解题能力展示(五年级)如图, 长方形ABCD中被嵌入了6个相同的正方形,已知AB=22厘米,BC=20厘米,那么每一个正方形的面积为 平分厘米.,解,(分割法),画出弦图如下图,把每个大正方形,四边形BCFE为正方形,由对称性,长直角边长为,于是弦图中直角三角形较短直角边长为,22-20=2,分割成四个直角三角形和一个小正方形,可见,每个小正方形的面积都是,(6-2)2+26

8、2=40.,(20-2)3=6.,评注：本题凸显实验几何操作实验的特点,熟悉和运用 基本图形弦图及对称性是本题求解的关键.,例 (2008年海南高考题)某几何体的一条棱长为 , 在该几何体的正视图、侧视图、俯视图中,该条棱的投影分别是长为 、a、b的线段,则a+b的最大值为( ),(3)熟悉基本图形,解,以长为 的线段为对角线,构造长方体如图.,则,由柯西不等式,选(C),(4)巧作(选)平面, 降维处理,例 已知直线a平面,直线b , 直线a 直线b,求证：直线b 平面.,证明,P155,例 若直角三棱锥三个直角边长分别为a、b、c,斜面上高为h, 求证：,分析,先考虑平面情形：,直角三角形

9、两个直角边长分别为a、b,斜边上高为h, 求证：,而,显然.,例 若直角三棱锥三个直角边长分别为a、b、c,斜面上高为h, 求证：,分析,再考虑空间情形：,易知平面OCD直线AB(如图),得证.,在RtOAB中,在RtOCD中,于是,2、基本技巧,(1)反证法,例,(IMO试题)若四边形ABCD的四个内角皆为直角,求证：四边形ABCD为矩形.,(2)分解拼补法,例 (06年江西高考题) 在四面体ABCD中,截面AEF过四面体的内切球球心,且将四面体分为体积相等的两部分,设四棱锥A-BEFD与三棱锥A-EFC的表面积分别为S1、S1, 则必有(),(A) S1 S2,(D) S1、 S2大小不定

10、,(C) S1= S2,(B) S1 S2,例 在四面体ABCD中,若二面角A-BC-D的平分面交AD于点M,则必有,SABC,AM,SDBC,=,DM,.,证法1,将四面体拼补成斜三棱柱(如图),设给定平分面交侧面AD1于MM1,过A作AHBC,过H作HEBC交DD1于,点E,AE交MM1于F,则FH为AHE的,角平分线,且EH为BCD的BC边上的高.,得证.,(3)体积法,例 在四面体ABCD中,若二面角A-BC-D的平分面交AD于点M,则必有,SABC,AM,SABC,=,DM,.,证法2,由于平分面BCM上点到面ABC,与面DBC的距离相等,由得,又,得证.,例 (06年江西高考题)

11、如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, ACB=900, AC=6, BC=CC1=2,点P是BC1上一动点,则 CP+PA1的最小值为 .,(4)拓展法,解,将A1BC1与BCC1展开到一个平面上,在直三棱柱中,连A1C,又ACB=900,A1C1平面BCC1.,A1C1BC1.,(如图),则,A1C1C=A1C1B+BC1C,=900+450=1350.,在A1C1C中,由余弦定理可得,A1C1CC1，,沿侧棱将锥展开成平面图形(如图),例 现有一个棱长为a的正四棱锥, 要用一张正方形纸片将其完全包住(可折叠,但不能裁剪), 则包装纸最小边长为 .,解,则包装纸最小边长为P1P2.,在

12、AP1P2中,由余弦定理得,P1P22=a2+a22aacos1350, P1P2=,(5)代数法,例 (09年浙江高考题 ) 在长方形ABCD中, AB=2, BC=1, E是CD中点, F为线段CE上一动点(端点除外).现将ADF 沿AF折起,使面ABD面ABC,在面ABD内过D作DK AB, K为垂足,设AK=t,则t的取值范围是,分析,用函数模型,(显然t是CF=m的函数),解,作FMAB于M,设CF=m,则DF=2-m, KM=2-t-m,由条件易知DK,面ABC,在,股定理得,中,由勾,整理得,由0m1可得,例 (1999年湖南高中数学竞赛)四面体S-ABC中,三组对棱分别相等,依次为 则此四面体体积为（ ）,(A) 20,(B),(C),(D) 30,解,考虑长方体的对面对角线长相等,将四面体补成,长方体,设其长、宽、高分别为,则,解得x=3, y=4, z=5,所求体积,选(A),2、 P158 练习第21题,作业,1、P157 练习第13题,3、 P158 练习