复旦附中自招数学题目

1、 1 2010 年复旦附中自主招生真题卷 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题 4 分，共 32 分） 1计算tan602sin452cos30的结果是（ ） .A2 .B 2 .C1 .D 3 2如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30到正方形AB C D，图中阴影部 分的面积为（ ） .A 3 1 3 .B 3 3 .C 3 1 4 .D 1 2 3 已知, a b为实数， 且1ab ， 设 11 ab M ab ， 11 11 N ab ， 则,M N的大小关系是（ ） .AMN .BMN .CMN .D无法确定 4. 一名考生步行前往考场，10分钟走了总路程的 1 4

2、 ， 估计步行不能准时到达， 于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程 为1） ，则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) .A20分钟 .B22分钟 .C24分钟 .D26分钟 5.二次函数 2 241yxx的图象如何移动就得到 2 2yx的图象（ ） .A向左移动1个单位，向上移动3个单位 .B向右移动1个单位，向上移动3个单位 .C向左移动1个单位，向下移动3个单位 .D向右移动1个单位，向下移动3个单位 A B C D 2 6 下列名人中： 比尔盖茨 高斯 刘翔 诺贝尔 陈景润 陈省身 高尔基 爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） .A .B .C .D 7张阿

3、姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 一件衣服 420 每付现金200元，返购物券200元，且付款时可以使用购物券 一双鞋 280 每付现金200元，返购物券200元，但付款时不可以使用购物券 一套化妆品 300 付款时可以使用购物券，但不返购物券 请帮张阿姨分析一下，选择一个最省钱的购买方案. 此时，张阿姨购买这三件物品实际 所付出的钱的总数为（ ） .A500元 .B600元 .C700元 .D800元 8向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如上图所 示，那么水瓶的形状

4、是（ ） 3 二、填空题：（每题 6 分，共 30 分） 9. 若关于的分式方程 1 1 33 a xx 在实数范围内无解，则实数a . 10三角形的两边长为4cm和7cm，则这个三角形面积的最大值为 2 cm. 11对正实数, a b作定义a b abab ，若444x，则x的值是 12已知方程 2 330 xax在实数范围内恒有解，并且恰有一个解大于1小于2，则a 的取值范围是 13如果有2007名学生排成一列，按1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1的规律报数，那么第 2007名学生所报的数是 三、解答题：（本题有 4 个小题，共 38 分）解答应写出文字说明

5、, 证明过程或推演步骤 14 （本小题满分 8 分） 【田忌赛马】 齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各 出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢已知田忌的马较齐王的马 略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌 的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马； 田忌的下马不敌齐王的 下马. 田忌在按图 1 的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图 2 的 方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情 况下： （1）请按如图的形式，列出所有其他可能的情况； （2）田忌能赢得比赛的概率是_. x 田忌上马 齐王中马 田忌中马 齐王下马 田忌下马

6、齐王上马 田忌上马 齐王上马 田忌中马 齐王中马 田忌下马 齐王下马 图 1 图 2 4 15（本题满分 10 分） 把几个数用大括号围起来， 中间用逗号断开， 如：1,2,3、2,7,8,19， 我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素如果一个集合满足：当实数a是集合的元素 时，实数8a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为好的集合 (1)请你判断集合1,2，1,4,7是不是好的集合？ (2)请你写出满足条件的两个好的集合的例子 16 （本小题满分 10 分）如图，在ABC中，ACBC，CD是AB边上的高线，且有 23CDAB，又E，F为CD的三等分点， 求证：180ACBAEBAFB 5

7、 17 （本小题满分 10 分） 已知点M，N的坐标分别为0,1，0, 1， 点P是抛物线 2 1 4 yx 上的一个动点 （1）求证：以点P为圆心，PM为半径的圆与直线1y 的相切； （2）设直线PM与抛物线 2 1 4 yx的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证： PNMQNM 四、附加题：（本题满分为 3 分，但即使记入总分也不能使本次考试超出 100 分） 18有人认为数学没有多少使用价值，我们只要能数得清钞票，到菜场算得出价钱这点数 学知识就够了根据你学习数学的体会，谈谈你对数学这门学科的看法 6 2011 年复旦附中自主招生真题卷（数理） 1. 空格处填上1,2,3,4,5,6六

8、个数字， 要求每行、 每列， 以及两条主对角线上的数字不重复 2. P是ABC 上任意一点，过P点作一条直线，使得分成的两部分面积相等 3. 游泳会用到许多物理学的知识， 请举出几个例子， 并提出几个能提高游泳成绩的方式和 方法 6 2 5 3 1 4 12 P C B A 7 2012 年复旦附中自主招生真题卷 4. 若xab， 22 yab，则 22 xyxy 5. x，y满足 2 2yxpx，若x y 最大值为2，则复实数p 6. k y x 上一点C，以C为圆心，1为半径画圆，圆上有2点到O点距为2，则k取值范围 为 7. 直径为MN的半圆与MA，NB相切，P为MN 上一点，PFAB，

9、 若AB与半圆相切， 则 PAPB AB 最大值为 PN B F M A 8 8. 已知BAC 与内部一点M， 因纸太小A点画不下， 求作一直线经过M，A（尺规作图） 9. 矩形ABCD中， 3ABBC，将矩形折叠，B落在AD上点M处，C落在N处，求 ECFB AM F B C E A M D N 9 10. 设 1 x， 2 x为 2 20 xpxp的两根，P为实数 求证 2 12 230pxxp 当 12 23xxp时，求P的最大值 11. 实数 12 , n a aa满足： 12 0 n aaa 12 1 n aaa 求证k个数1,2,3,kn， 12 1 2 k aaa 10 12.

10、锐角ABC中，AD，BE，CF分别为BC，AC，AB边上的高， 设BC a，ACb， ABc，BDx，EC y，AF z 用a，b，c表示x 当a，b，c满足什么关系时，有2 xyzabc？ 2013 年复旦附中自主招生真题卷（部分） 13. 已知：,abc bca cab，求a bc的值 14. 已知 22 17 66 xyxy x yxy ，求 432234 xx yx yxyy的值 11 15. 若abc、 、为正有理数，证明：若 ab 为有理数，则 ab、 为有理数， 若 abc 为有理数，则 abc、 、 为有理数 2014 年复旦附中自主招生真题卷（一） 一、选择题 1. 若 22

11、 3894613Mxxyyxy（, x y是实数） ，则M的值一定是（ ） .A零 .B负数 .C正数 .D整数 2. 已知sincos，那么锐角的取值范围是（ ） .A3045 .B045 .C4560 .D090 3. 已知实数a满足20082009aaa，那么 2 2008a 值是（ ） .A2009 .B2008 .C2007 .D2006 12 4. 如图是一个正方体的表面展开图， 已知正方体的每一个面都有一个实数， 且相对面上的 两个数互为倒数，那么代数式 a b c 的值等于（ ） .A 3 4 .B6 .C 3 4 .D6 5. 二次函数 2 yaxbxc的图像如图所示，,2Q

12、 n是图像上的一点，且AQBQ，则a 的值为（ ） .A 1 3 .B 1 2 .C1 .D2 6. 矩形纸片ABCD中，3ABcm，4BCcm，现将纸片折叠压平，使A与C重合，设折 线为EF，则重叠部分AEF的面积等于（ ） .A 73 8 .B 75 8 .C 73 16 .D 75 16 a cb 2 4-1 y x Q OBA F E D C B A 13 7. 若 abc t bccaab ，则一次函数 2 ytxt的图像必定经过的象限是（ ） .A第一、二象限 .B第一、二、三象限 .C第二、三、四象限 .D第三、四象限 8. 如图， 以RtABC的斜边BC为一边在ABC的同侧作正

13、方形BCEF， 设正方形的中心 为O，连接AO，如果4AB ，6 2AO ，那么AC的长等于（ ） .A12 .B16 .C4 3 .D8 2 二、填空题 9. 已知 2 10 xx ，那么代数式 3 21xx的值是 10. 已知, ,x y z为实数，且5xyz，3xyyzzx，则z的取值范围 为 11. 已知点1,3A，5, 2B在x轴上找一点P，使APBP最大，则满足条件的点P的 坐标是 F E O C B A 14 12. 设 1232007 , ,x x xx为实数，且满足 12320071232007123200712320062007 1x x xxxx xxx xxxx x x

14、xx，则 2000 x的值 是 13. 对于整数x，规定 1 x f x x ，计算 11111 1239899100 100999832 ffffffffff 14. 如果关于x的方程 2 21210 xaxa 有一个小于1的正数根，那么实数a的取值 范围是 15. 在RtABC中，90C，3AC ，4BC ，若以C点为圆心，r为半径所作的圆与 斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是 三、解答题 16. 某超市去年12月份的销售额为100万元，今年 2月份的销售额比今年1月份的销售额多 24万元，若去年12月份到今年2月份每个月销售额增长的百分数相同 求：这个相同的百分数；2月份的销售额

15、C BA 15 17. 如图，ABCD、ADCF，FG、分别是AC和FD的中点，过G的直线依次交 ADCDCE、于点MNPQ、 、 、，求证：2MNPQPN M Q G N P F E DC BA 16 18. 如图，已知点P是抛物线 2 1 1 4 yx上的任意一点，记点P到x轴距离为 1 d，点P与 点0,2F的距离为 2 d 证明 12 dd ； 若直线PF交此抛物线于另一点Q（异于P点） ，试判断以PQ为直径的圆与x轴的 位置关系，并说明理由 y x F P Q O 17 19. 如图， 已知在ABC中，ABa， 点D在AB边上移动 （点D不与A B、重合） ，DEBC， 交AC于E，

16、连接CD设 ABC SS ， 1DEC SS 当D为AB中点时，求 1: SS的值； 若ADx， 1 S y S ，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围； 是否存在点D，使得 1 1 4 SS成立？若存在，求出D点位置；若不存在，请说明理 由 E D CB A 18 20. 已知 2 4ymm，若m为整数，在使得y为完全平方数的所有m的值中，设m的最 大值为a，最小值为b，次小值为c （注：一个数如果是另一个整数的完全平方，那 么我们就称这个数为完全平方数 ） 求abc、 、的值； 对abc、 、进行如下操作：任取两个求其和再除以2，同时求其差再除以2，剩 下的另一个数不变，这样就仍得到

17、三个数再对所得三个数进行如下操作，问能否 经过若干次上述操作，所得三个数的平方和等于2008？证明你的结论 2015 年复旦附中自主招生真题卷（3.20） 填空A 1. 若xab， 22 yab，则 22 xyxy 2. 12 3xx，求 1 x， 2 x的方差 3. 从1，4，7295，298（隔3的自然数） 中任选两个数相加， 和的不同值有 个 4. 方程： 2 1 22 x xx 的解为： 19 5. 2 815 2 31 xx x x 的解有 个 6. 375 31128 mxmx mxxm x 有正数解，求m的取值范围 7. 2 104yxxm与x轴两个交点在x的正半轴，求m的取值范

18、围是 8. 495 235 xyx zz 时，求 x y 的值 9. 矩形ABCD中，3ABBC，将矩形折叠，点B落在边AD上的点M处，C落在N处， 求 ECFB AM A FB C E N M D 20 填空B 1. 扫雷游戏 2. 已知不等式： 2 1yxpx，求能使xy最大值为2的负实数p的取值范围 3. 如图所示，直线l经过点P，且垂直于AB，当长方形AOBP的周长为20时，请求出无 论图形如何变化，l始终经过的定点坐标 4. 在反比例函数 k y x 上存在点C，以点C为圆心，1为半径画圆，圆上存在两点到O点 距离为2，则k的取值范围是 1 1 3 15 l y x OB P A 2

19、1 5. 已知直线MA MB、均与线段MN为直径的半圆相切，直线AB与半圆相切于点F，P在 线段MN上且PFMN，当直线AB变化时，求 PAPB AB 的最大值 6. 在1,2,3,39,40数列中能找出 对数字使它们的差的绝对值为质数 解答题： 1. 已知在BAC的内部存在一点M，在不画出A点的情况下过M点作一条直线， 使它经 过A点 2. 设 12 xx、为 2 20 xpxp的两根，p为实数： 求证： 2 12 230pxxp； 当 12 23xxp时，求p的最大值 M 22 3. 实数 1 a、 2 a n a满足： 12 0 n aaa 12 1 n aaa 求证：k个数1,2,3,

20、kn， 12 1 2 k aaa 4. 锐角ABC中，AD、BE、CF分别为BC、AC、AB边上的高， 设BCa，ACb， ABc，BDx，ECy，AFz 用a、b、c表示x； 当a、b、c满足什么关系时，有2 xyzabc F E D C B A 23 2016 年复旦附中自主招生真题卷 一填空题 1. 已知 abc x bcacab ，则x 2. 已知函数 2 253 23yxaxbxb 图像关于y轴对称，则ab 3. 已知函数 2 221ykxkxk的图像与x轴只有一个交点，则k 4. 在同一个直角坐标系中，已知直线ykx与函数 28,3 2,33 24,3 xx yx xx 图像恰好

21、有三个公共点，则k的取值范围是 5. 如图， 在梯形ABCD中，ABCD，CDAB， 设E、F分别是AC、BD的中点， AC与BD交于点O， 已知OEF是边长为1的正三角形，BOC的面积为153 4 ， 则梯形ABCD的面积为 E F DC O BA 24 6. 已知矩形ABCD中，1AB ，BCa，若在边BC上存在点Q，满足AQQD， 则a的取值范围是 7. 已知锐角ABC的三边长恰为三个连续正整数，ABBCCA，若BC边上的高 为AD，则BDDC 8. 已知实数m，n（其中1m n） 分别满足： 2 199910mm ， 2 99190nn， 则 41mnm n 9. 若关于x的方程 2

22、240 xxxm有三个根， 且这三个根恰好可以作为一个三 角形的三边长，则m的取值范围是 10. 如图，矩形ABCD中，3AB ，4BC ，点E是BC边上一点，连接AE，把B 沿AE折叠， 使点B落在点 B 处， 当CEB为直角三角形时，BE的长为 C D B A B E BC DA 25 11. 如图，OA，OD是O的半径， 延长OA至B， 使OAAB，C是OA的中点，AOD 为锐角，联结CD，BD，且CD，则BD 12. 已知直角三角形的三边长都是整数， 且其面积与周长在数值上相等， 若将全等的三 角形都作为同一个，那么这样的直角三角形的个数是 个 13. 设10n n个机场，每一机场起飞

23、一架飞机，飞到离起飞机场最近的机场降落， 且任何两机场之间的距离都不相等，则任意一个机场降落的飞机架数的最大值为 二解答题 14. 关于x的方程 22 2120 xmxmm的两个根分别为 1 x， 2 x 1若 12 5xx，求m的值； 2若 1 x， 2 x均为整数，求m的值 C A B D O 26 15. 如图，ABC中，5ABBC，6AC ，过点A作ADBC，点P，Q分别是 射线AD、 线段BA上的动点， 且APBQ， 过点P作PEAC交线段AQ于点O， 联结PQ，记APx，POQ面积为y 1求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围； 2联结QE，若PQE与POQ相似，求AP的长 Q

24、 B E C O A P D 27 16. 一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第 2层到第33层中的某一层停一次，对于每个人来说，他往下走一层楼感到1分不满 意，往上走一层楼感到3分不满意现在有32个人在第一层，并且他们分别住在 第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分 达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼） 28 17. 设x是实数，不大于x的最大整数叫做x的整数部分，记作 x， 如1.21， 33，1.32 1 222 111 10 11 111 121201620171 10 1111 122

25、0162017 S ，求90S； 2解关于x的方程： 2 1 2312 2 x xx 2017 年复旦附中自主招生真题卷 1. 已知a，b，c是一个三角形的三边， 则 444222222 222abca bb cc a的值是 （ ） .A恒正 .B恒负 .C可正可负 .D非负 2. 设m，n是正整数， 满足mnmn， 给出以下四个结论： m，n都不等于1； m， n都不等于2； m，n都大于1； m，n至少有一个等于1， 其中正确的结论是 （ ） .A .B .C .D 29 3. 已知关于x的方程2xaxa有一个根为1，则实数a的值为（ ） .A 15 2 .B 15 2 .C 15 2 .

26、D以上答案都不正确 4. 已知a，b，c是不完全相等的任意实数， 若2xabc，2yabc，2zabc ， 则关于x，y，z的值，下列说法正确的是（ ） .A都大于0 .B至少有一个大于0 .C都小于0 .D至多有一个大于0 5. 已知a，b，c不全为无理数，则关于三个数ab，bc，ca，下列说法错误的是 （ ） .A可能均为有理数 .B可能均为无理数 .C可能恰有一个为有理数 .D可能恰有两个为有理数 6. 关于x，y的方程组 22 ()(2 )0 (2)(21)0 xy xy xyxy 的实数解有（ ） .A1组 .B2组 .C3组 .D4组 7. 为了得到函数 2 3yx的图像，可以将函

27、数 2 361yxx的图像（ ） .A先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位 .B先关于x轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位 .C先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位 .D先关于y轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位 30 8. 若关于x的方程2xba有四个实数解，则化简 a ababb ababab 的结果是 （ ） .A2 .B0 .C2 .D4 9. 如果方程 2 (1)(2)0 xxxm的三根可以作为一个三角形的三边之长， 那么实数m的 取值范围是（ ） .A01m .B 3 4 m .C 3 1 4 m .D 3 1 4

28、 m 10. 用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠） ，有几种正多边形可以铺满整个 平面而不留缝隙？（ ） .A2种 .B3种 .C4种 .D5种 11. 已知对于满足：3ab，4bc的实数, ,a b c，均有2abck恒成立，则实数 k的最小值为（ ） .A7 .B8 .C9 .D10 12. 设 432 ( )1f xxxxx，则关于( )f x的性质，正确的一项为（ ） .A对任意实数x，( )f x总是大于0 .B对任意实数x，( )f x总是小于0 .C当0 x 时，( )0f x .D以上均不对 13. 已知实数, ,a b c满足0ab，且0abc，抛物线 2 0ya

29、xbxc在x轴上截得 线段长度为l，则l的取值范围为（ ） .A01l .B02l .C23l .D34l 14. 已知实数, x y满足：30 xy， 3 260yy则 2 x y y 的值为（ ） .A0 .B 1 2 .C1 .D 3 2 31 15. 已知二次函数 2 22yxax当自变量x的取值范围为11x ，y的取值既有正值 又有负值则实数a的取值范围为（ ） .A 1 2 a .B 1 2 a .C 1 2 a 或 1 2 a .D以上答案都不正确 16. 已知abc、 、是互不相等的实数，三个方程 2 0 xaxb； 2 0 xbxc； 2 0 xcxa， 有公共根p， 有公共根q， 有公共根r， 则a b c（ ） .A1 .B3 .C1 .D2 17. 甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖在比赛结果揭晓之前，四个人做 了如下猜测 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中 乙：我没有获