同济第六版《高等数学》教案WORD版第02章导数与微分

1、第二章第二章导数与微分导数与微分 教学目的：教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义， 会求平面曲线的切线方程和 法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之 间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则， 熟练掌握基本初等函数的导数 公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点：教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关

2、系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点：教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 2. 12. 1导数概念导数概念 一、引例一、引例 1 1直线运动的速度直线运动的速度 设一质点在坐标轴上作非匀速运动时刻 t 质点的坐标为 ss 是 t 的函数 sf(t) 求动点在时刻 t0的速度 考虑比值 ss0f(t) f(t0) tt0tt0 这个比值可认为是动点在时间间隔tt0内的平均速度如果时间间隔选较短这个比值在实践

3、中 也可用来说明动点在时刻t0的速度但这样做是不精确的更确地应当这样令 tt00取比值 f(t) f(t0) 的极限如果这个极限存在设为 v即 tt0 vlim tt0 f(t) f(t0) tt0 这时就把这个极限值 v 称为动点在时刻 t 0的速度 2 2切线问题切线问题 设有曲线C 及 C 上的一点M在点 M 外另取 C 上一点N作割线 MN当点 N 沿曲线C 趋于点 M 时如果割线绕点旋转而趋于极限位置 MT直线就称为曲线有点处的切线 设曲线C就是函数yf(x)的图形现在要确定曲线在点M(x0,y0)(y0f(x0)处的切线只要定出切 线的斜率就行了为此在点 M 外另取 C 上一点 N

4、(x, y)于是割线 MN 的斜率为 tan yy0f(x) f(x0) xx0 xx0 其中为割线 MN 的倾角当点 N 沿曲线 C 趋于点 M 时xx0如果当 x 0时上式的极限存在 设为 k即 f(x) f(x0) k lim xx0 xx0 存在则此极限 k 是割线斜率的极限也就是切线的斜率这里 ktan 其中是切线 MT 的倾角 于是通过点 M(x0, f(x0)且以 k 为斜率的直线 MT 便是曲线 C 在点 M 处的切线 二、导数的定义二、导数的定义 1 1 函数在一点处的导数与导函数函数在一点处的导数与导函数 从上面所讨论的两个问题看出非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归结为如

5、下的极限 f(x) f(x0) lim xx0 xx0 令xxx0则yf(x0 x)f(x0) f(x)f(x0)xx0相当于x0于是lim 成为 f (x0 x) f (x0)y 或lim x0 xx0 x lim xx0 f(x) f(x0) xx0 定义定义设函数yf(x)在点 x0的某个邻域内有定义当自变量x 在 x0处取得增量x(点 x0 x 仍在该 邻域内)时相应地函数 y 取得增量yf(x0 x)f(x0)如果y 与x 之比当x0 时的极限存在 则称函数 yf(x)在点 x0处可导并称这个极限为函数yf(x)在点 x0处的导数记为y|xx 0即 f (x0) lim f (x0

6、x) f (x0)y lim x0 xx0 x 也可记为y|xx 0 dydf (x) 或 dx xx0 dx xx0 函数 f(x)在点 x0处可导有时也说成 f(x)在点 x0具有导数或导数存在 导数的定义式也可取不同的形式常见的有 f (x0)lim h0 f (x0h) f (x0) h f(x0) lim xx0 f(x) f(x0) xx0 在实际中需要讨论各种具有不同意义的变量的变化 “快慢”问题在数学上就是所谓函数的变 化率问题导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述 如果极限lim x0 f (x0 x) f (x0) 不存在就说函数 yf(x)在点 x0处不可导 x x0

7、如果不可导的原因是由于lim f (x0 x) f (x0) x 也往往说函数 yf(x)在点 x0处的导数为无穷大 如果函数 yf(x)在开区间 I 内的每点处都可导就称函数 f(x)在开区间 I 内可导这时对于任一 xI都对应着 f(x)的一个确定的导数值这样就构成了一个新的函数这个函数叫做原来函数 yf(x)的导函数记作 y f(x) 导函数的定义式导函数的定义式 y lim x0 dydf (x) 或 dxdx f (xx) f (x)f (xh) f (x) lim h0 xh f(x0)与 f(x)之间的关系 函数 f(x)在点 x0处的导数 f(x)就是导函数 f (x)在点 x

8、x0处的函数值即 f (x0) f (x) xx0 导函数 f (x)简称导数而 f(x0)是 f(x)在 x0处的导数或导数 f(x)在 x0处的值 左右导数 所列极限存在 则定义 (x 0) lim f(x)在x0的左导数f h0 f (x0h) f (x0) h f (x0h) f (x0) h (x 0) lim f(x)在x0的右导数f h0 如果极限lim 如果极限lim h0 f (x0h) f (x0) 存在 则称此极限值为函数在 x0的左导数 h f (x0h) f (x0) 存在 则称此极限值为函数在 x0的右导数 h h0 (x 0) f (x 0)A 导数与左右导数的关

9、系f (x0)Af 2 2求导数举例求导数举例 例 1求函数 f(x)C（C 为常数）的导数 解f (x)lim h0 f (xh) f (x) lim CC 0 h0 hh 即(C ) 0 1 例 2求f (x)的导数 x 1 1 f(xh) f(x) 解f(x)limlim xhx lim h lim 1 1 2 h0h0 hh h0h0 h(xh)x(xh)xx 例 3求f(x) x的导数 解f (x)lim f (xh) f (x) lim xh x h0 hh h0 lim h1 lim 1 h0h( xh x)h0 xh x2 x nn f(x) f(a) lim x a lim(

10、x n1 ax n2 a n1 )na n1 xa xaxa xa 例 2求函数 f(x)xn(n 为正整数)在 xa 处的导数 解f(a)lim xa 把以上结果中的 a 换成 x 得 f(x)nx n1 即(xn)nx n1 11 (C)0( ) 2 ( x) 1 (x)x1 xx2 x 更一般地有(x)x1其中为常数 例 3求函数 f(x)sin x 的导数 解f(x)lim h0 sin(xh)sinxf(xh) f(x) lim h0 hh lim 1hh 2cos(x )sin h0h 22 sin h limcos(x h) 2 cosx h h0 2 2 即(sin x)cos

11、 x 用类似的方法可求得(cos x )sin x 例 4求函数 f(x) ax(a0a1) 的导数 解f(x)lim h0 xhx f (xh) f (x) lim aa h0 hh hht axlim a 1令a 1t axlim h0 h t0loga(1t) ax 1 axlna logae 特别地有(ex)ex 例 5求函数 f(x)logax (a0a1) 的导数 解f (x)lim h0 loga(xh)logaxf (xh) f (x) lim h0 hh x 1xh1xh1h h )limloga(1 )limloga(1 )limloga( h0h xx h0h xx h0

12、 x 1 logae 1 xxlna 解f(x)lim loga(xh)logax lim 1 loga(1 h) h0h0h hx x 1h h limloga(1 ) 1 logae 1 x h0 xxxlna 即(log a x) 1 xlna 特殊地(lnx) (logax) 1 (lnx) 1 xlnax 1 x 3单侧导数导数 极限lim lim h0 f (xh) f (x) 存在的充分必要条件是 h h0 f (xh) f (x)f (xh) f (x) 及lim h0 hh f (xh) f (x) h f (xh) f (x) h 都存在且相等 (x 0) lim f(x)

13、在x0处的左导数f h0 (x 0) lim f(x)在x0处的右导数f h0 导数与左右导数的关系导数与左右导数的关系 函数 f(x)在点 x0处可导的充分必要条件是左导数左导数f(x0) 和右导数 f(x0)都存在且相等 如果函数 f(x)在开区间(a, b)内可导且右导数 f(a) 和左导数 f(b)都存在就说 f(x)有闭区间a, b上可导 例 6求函数 f(x)x|在 x0 处的导数 (0) lim 解f h0 f (0h) f (0)|h| lim1 h0 hh (0) limf h0 f (0h) f (0)|h| lim1 h0 hh 因为 f(0) f(0)所以函数 f(x)

14、|x|在 x0 处不可导 四、导数的几何意义四、导数的几何意义 函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)在几何上表示曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处的切线的斜率即 f(x 0)tan 其中是切线的倾角 如果 yf(x)在点 x0处的导数为无穷大这时曲线 yf(x)的割线以垂直于 x 轴的直线 xx0为极限 位置即曲线 yf(x)在点 M(x0, f(x0)处具有垂直于 x 轴的切线 xx0 由直线的点斜式方程可知曲线 yf(x)在点 M(x0, y0)处的切线方程为 yy0f(x0)(xx0) 过切点 M(x0, y0)且与切线垂直的直线叫做曲线yf(x)在点 M 处的法线

15、如果 f(x0)0法线的斜率为 yy0 1 (xx ) 0 f(x0) 11 在点( , 2)处的切线的斜率并写出在该点处的切线方程和法线方程 2x 1 从而法线方程为 f(x0) 例 8求等边双曲线y 解y 1 所求切线及法线的斜率分别为 x2 k1( 1 2 ) x1 4k2 1 1 xk14 2 1 所求切线方程为y24(x )即 4xy40 2 11 所求法线方程为y2(x )即 2x8y150 42 例 9 求曲线yx x的通过点(04)的切线方程 解设切点的横坐标为 x0 则切线的斜率为 f(x0 3 )(x2) 3 2 x2 1 3 x0 xx0 2 于是所求切线的方程可设为 y

16、x0 x0 3 x0(xx0) 2 根据题目要求点(04)在切线上因此 4x0 x0 3 2 x0(0 x0) 解之得 x04于是所求切线的方程为 y4 4 3 4(x4) 即 3xy40 2 四、函数的可导性与连续性的关系四、函数的可导性与连续性的关系 设函数 yf(x)在点 x0处可导 即lim lim y lim y f(x0)存在 则 x0 x x0 yy x lim lim x f(x0)00 x0 xx0 xx0 这就是说 函数 yf(x)在点 x0处是连续的 所以如果函数 yf(x)在点 x 处可导 则函数在该点 必连续 另一方面一个函数在某点连续却不一定在该点处可导 例 7 函

17、数f (x)3x在区间(, )内连续 但在点 x0 处不可导 这是因为函数在点 x0 处导数为无穷大 3f (0h) f (0) lim h0 lim h0h0 hh x 2 2 2 2 函数的求导法则函数的求导法则 一、函数的和、差、积、商的求导法则一、函数的和、差、积、商的求导法则 定理定理 1 1 如果函数 uu(x)及 vv(x)在点 x 具有导数那么它们的和、差、积、商(除分母为零的点 外)都在点 x 具有导数 并且 u(x) v(x)u(x) v(x) u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x) u(x)u(x)v(x)u(x)v(x) v2(x) v(x) 证明 (1)u(

18、x)v(x)lim u(xh)v(xh)u(x)v(x) h0 h u(xh)u(x)v(xh)v(x) u(x)v(x)lim h0 hh 法则(1)可简单地表示为 (uv)uv (2)u(x)v(x)lim u(xh)v(xh)u(x)v(x) h0 h lim 1 u(xh)v(xh)u(x)v(xh)u(x)v(xh)u(x)v(x) h0h lim h0 lim u(xh)u(x)v(xh)v(x) v(xh)u(x) hh u(xh)u(x)v(xh)v(x) limv(xh)u(x)lim h0h0h0 hh u(x)v(x)u(x)v(x) 其中limv(xh)v(x)是由于

19、v(x)存在故 v(x)在点 x 连续 h0 法则(2)可简单地表示为 (uv)uvuv u(xh)u(x) u(x) v(xh)v(x)u(xh)v(x)u(x)v(xh) limlim(3) h0 hv(xh)v(x)h v(x) h0 lim u(xh)u(x)v(x)u(x)v(xh)v(x) h0 v(xh)v(x)h u(xh)u(x)v(xh)v(x) v(x)u(x) hh lim h0 v(xh)v(x) u(x)v(x)u(x)v(x) v2(x) 法则(3)可简单地表示为 uv (u) uv vv2 uuvuv (uv)uv (uv)uvuv( ) vv2 定理 1 中的

20、法则(1)、 (2)可推广到任意有限个可导函数的情形 例如 设 uu(x)、 vv(x)、 ww(x) 均可导 则有 (uvw)uvw (uvw)(uv)w(uv)w(uv)w (uvuv)wuvwuvwuvwuvw 即(uvw) uvwuvwuvw 在法则(2)中 如果 vC(C 为常数)则有 (Cu)Cu 例 1y2x 35x 23x7求 y 解y(2x 35x 23x7) (2x 3)5x 2)3x)7) 2 (x 3) 5 x 2) 3 x) 23x 252x36x 210 x3 例 2f (x)x34cosxsin 求 f(x)及f ( ) 22 解f (x)(x3)(4cosx)(

21、sin )3x24sin x 2 f ( ) 3 24 24 例 3yex(sin xcos x)求 y 解yex)(sin xcos x) ex(sin xcos x) ex(sin xcos x) ex(cos xsin x) 2excos x 例 4ytan x求 y (sin x)cosxsin x(cosx) 解解y(tan x)( sin x ) cosxcos2x 22 cos x 2 sin x 1 2 sec2x cos xcos x 即(tan x)sec2x 例 5ysec x求 y (1)cosx1(cosx) sinx 解解y(secx)( 1 )sec x tan

22、x cosxcos2xcos2x 即(sec x)sec x tan x 用类似方法还可求得余切函数及余割函数的导数公式 (cot x)csc2x (csc x)csc x cot x 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理 2 如果函数 xf(y)在某区间 Iy内单调、可导且 f(y)0 那么它的反函数 yf1(x)在对应区 间 Ixx|xf(y)yIy内也可导 并且 dy1 f1(x) 1 或 dxdxf(y) dy 简要证明 由于 xf(y)在 Iy内单调、可导(从而连续) 所以 xf(y)的反函数 yf1(x)存在 且 f1(x)在 Ix内也单调、连续 任取 xIx 给 x 以

23、增量x(x0 xxIx) 由 yf1(x)的单调性可知 yf1(xx)f1(x)0 于是 y1 xx y 因为 yf1(x)连续 故 limy0 x0 从而 f1(x) lim y lim 1 1 x0 xy0 xf(y) y 上述结论可简单地说成 反函数的导数等于直接函数导数的倒数 例 6设 xsin yy , 为直接函数 则 yarcsin x 是它的反函数 函数 xsin y 在开区间 22 ( , )内单调、可导 且 22 (sin y)cos y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 Ix(11)内有 (arcsinx) 1 1 1 1 (siny)cosy 1sin2y1x2 1

24、 1x2 类似地有(arccosx) 例 7设 xtan yy( , )为直接函数 则 yarctan x 是它的反函数 函数 xtan y 在区间 22 ( , )内单调、可导 且 22 (tan y)sec2y0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 Ix()内有 (arctanx) 1 1 11 (tany)sec2y 1tan2y1x2 1 类似地有(arccotx) 1x2 例 8 设 xay(a0a1)为直接函数 则 ylogax 是它的反函数 函数 xay在区间 Iy()内单 调、可导 且 (ay)ayln a0 因此 由反函数的求导法则 在对应区间 Ix(0)内有 (logax

25、) 1 y 1 1 y (a ) a lnaxlna 到目前为止 所基本初等函数的导数我们都求出来了 那么由基本初等函数构成的较复杂的 初等函数的导数如可求呢？如函数lntan x、ex3、的导数怎样求？ 三、复合函数的求导法则三、复合函数的求导法则 定理定理3 3如果ug(x)在点x可导 函数yf(u)在点ug(x)可导 则复合函数yfg(x)在点x可导 且 其导数为 dydydy f (u)g(x)或 du dxdu dxdx 证明 当 ug(x)在 x 的某邻域内为常数时y=f(x)也是常数 此时导数为零 结论自然成立 当 ug(x)在 x 的某邻域内不等于常数时u0 此时有 yfg(x

26、x) fg(x)fg(xx) fg(x) g(xx)g(x) xxg(xx)g(x)x f (uu) f (u) g(xx)g(x) ux dyyf (uu) f (u)g(xx)g(x) lim lim lim= f(u)g(x) x0 dx x0 xu0 ux 简要证明 dyy y u y lim lim lim lim u f (u)g(x) dx x0 xx0u xu0ux0 x 例 9yex3 求 dy dx 解 函数yex3可看作是由 yeuux3复合而成的 因此 dy dy du u2e 3x 3x2ex3 dxdu dx dy 例 10ysin 2x 2 求 dx1x 解 函数

27、ysin 2x 2 是由 ysin uu 2x 2 复合而成的 1x1x 因此 dy dy du 2(1x2)(2x)22(1x2)2x cosucos dxdu dx(1x2)2(1x2)21x2 dy dx 对复合函数的导数比较熟练后 就不必再写出中间变量 例 11lnsin x 求 解 dy (lnsinx) 1 (sinx) 1 cosxcotx dxsinxsinx dy dx 例 12y312x2 求 解 12dy 4x (12x2)3 1 (12x2) 3(12x2 ) 3 2 2 dx3 3 (12x ) 复合函数的求导法则可以推广到多个中间变量的情形 例如 设 yf(u)u(

28、v)v(x) 则 dy dy du dy du dv dxdu dxdu dv dx 例 13ylncos(ex) 求 解 dy dx dy lncos(ex) 1 x cos(ex ) dxcos(e ) 1 sin(ex)(ex)extan(ex) cos(ex) sin 1 x 例 14ye 求 dy dx 111dy sinsinsin 1 xx 解(e) e(sin) e xcos 1 (1 ) dxxxx 1 sin 1 2 e xcos 1 xx 例 15 设 x0 证明幂函数的导数公式 (x)x1 解 因为 x(e ln x )e ln x 所以 (x)(e ln x ) e

29、ln x ( ln x) e ln x x1x1 四、基本求导法则与导数公式四、基本求导法则与导数公式 1基本初等函数的导数 (1)(C)0 (2)(x)x1 (3)(sin x)cos x (4)(cos x)sin x (5)(tan x)sec2x (6)(cot x)csc2x (7)(sec x)sec xtan x (8)(csc x)csc xcot x (9)(ax)ax ln a (10)(ex)ex (11)(logax) 1 xlna (12)(lnx) 1 x (13)(arcsin x) 1 1x2 1 1x2 (14)(arccosx) (15)(arctanx)

30、1 1x2 1 1x2 (16)(arccotx) 2函数的和、差、积、商的求导法则 设 uu(x)vv(x)都可导 则 (1)(uv)uv (2)(Cu)Cu (3)(uv)uvuv uv (4)(u) u v vv2 3 3反函数的求导法则反函数的求导法则 设 xf(y)在区间 Iy内单调、可导且 f(y)0 则它的反函数 yf1(x)在 Ixf(Iy)内也可导 并且 dy1 f1(x) 1 或 dxdxf(y) dy 4 4复合函数的求导法则复合函数的求导法则 设 yf(x)而 ug(x)且 f(u)及 g(x)都可导 则复合函数 yfg(x)的导数为 dy dy du 或 y(x)f(

31、u)g(x) dxdu dx 例例 1616 求双曲正弦 sh x 的导数. 解 因为sh x 1 (exex) 所以 2 (sh x) 1 (exex) 1 (exex)ch x 22 即(sh x)ch x 类似地 有 (ch x)sh x 例例 1717 求双曲正切 th x 的导数 解 因为th x sh x 所以 ch x 2sh2x 1 (th x) ch x ch2xch2x 例例 1818 求反双曲正弦 arsh x 的导数 解 因为arsh xln(x 1x2) 所以 (arsh x) 1 (1 x ) 1 x 1x21x21x2 1 x21 由arch xln(x x21)

32、 可得(arch x) 由arth x 1 ln1x 可得(arth x) 1 2 21x1x 类似地可得(arch x) 1 (arth x) 1 2 1x x21 例例 1919ysin nxsinnx (n 为常数) 求 y 解解y(sin nx) sinnx + sin nx (sinnx) ncos nxsinnx+sin nxn sin n1 x(sin x ) ncos nxsinnx+n sin n1 x cos xn sin n1 x sin(n+1)x 2. 32. 3高阶导数高阶导数 一般地 函数 yf(x)的导数 yf(x)仍然是 x 的函数 我们把 yf(x)的导数叫

33、做函数 yf(x)的二 d2y 阶导数 记作 y、f(x)或 2 dx 即y(y)f(x)f(x) d2yddy () dx2dx dx 相应地 把 yf(x)的导数 f(x)叫做函数 yf(x)的一阶导数 类似地 二阶导数的导数 叫做三阶导数 三阶导数的导数叫做四阶导数 一般地(n1)阶 导数的导数叫做 n 阶导数 分别记作 yy (4)y (n)或 d3yd4ydny n dx3dx4dx 函数f(x)具有n阶导数 也常说成函数f(x)为n阶可导 如果函数f(x)在点x 处具有n阶导数 那 么函数 f(x)在点 x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数 二阶及二阶以上的导数统称高 阶导

34、数 y称为一阶导数yyy (4)y(n)都称为高阶导数 例 1yaxb 求 y 解yay0 例 2ssint 求 s 解s costs 2sin t 例 3证明 函数y 2xx2满足关系式 y 3y10 证明 因为y 22x 1x 2 2xx22xx2 2xx2(1x) 22x 11 2 2xx2 2xx2(1x)2 y 3y32xx2 (2xx2) (2xx2) (2xx2)2 所以 y 3y10 例 4求函数 yex的 n 阶导数 解yexyexyexy( 4)ex 一般地 可得 y( n)ex 即(ex)(n)ex 例 5求正弦函数与余弦函数的n 阶导数 解ysin x ycosxsin

35、(x ) 2 ycos(x )sin(x )sin(x2 ) 2222 ycos(x2 )sin(x2 )sin(x3 ) 2222 y(4)cos(x3 )sin(x4 ) 22 一般地 可得 y(n)sin(xn ) 即(sinx)(n)sin(xn ) 22 用类似方法 可得(cosx)(n)cos(xn ) 2 例 6求对函数 ln(1x)的 n 阶导数 解yln(1x)y(1x)1y(1x)2 y(1)(2)(1x)3y(4)(1)(2)(3)(1x)4 一般地 可得 y(n)(1)(2)(n1)(1x) n (1)n1 即ln(1x)(n)(1)n1 (n1)! (1x)n (n1

36、)! (1x)n 例 6求幂函数 yx(是任意常数)的 n 阶导数公式 解yx1 y(1)x2 y(1)(2)x3 y ( 4)(1)(2)(3)x4 一般地 可得 y (n)(1)(2) (n1)x n 即(x)(n)(1)(2) (n1)x n 当n 时 得到 (xn)(n)(1)(2) 3 2 1n! 而(xn)( n1)0 如果函数uu(x)及 vv(x)都在点 x 处具有n阶导数 那么显然函数u(x)v(x)也在点 x 处具 有 n 阶导数 且 (uv)(n)u(n)v(n) (uv)uvuv (uv)uv2uvuv (uv)uv3uv3uvuv 用数学归纳法可以证明 (uv)(n)

37、ku(nk)v(k)Cn k0 n 这一公式称为莱布尼茨公式 例 8yx2e 2x 求 y(20) 解 设 ue 2x vx2 则 (u)(k)2ke 2x (k1, 2, , 20) v2xv2(v)(k)0 (k3, 4, , 20) 代入莱布尼茨公式 得 y (20)(uv)(20)u(20)vC 201u(19)vC 202u(18)v 220e 2x x220 219e 2x 2x 2019 218e 2x 2 2! 220e 2x (x220 x95) 2.42.4 隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数隐函数的导数由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率相关变化率 一、隐函数的

38、导数一、隐函数的导数 显函数 形如 yf(x)的函数称为显函数 例如 ysin xyln x+ex 隐函数 由方程F(xy)0 所确定的函数称为隐函数 例如 方程 xy310 确定的隐函数为 yy31x 如果在方程 F(xy)0 中 当 x 取某区间内的任一值时 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存 在 那么就说方程 F(xy)0 在该区间内确定了一个隐函数 把一个隐函数化成显函数 叫做隐函数的显化 隐函数的显化有时是有困难的 甚至是不可 能的 但在实际问题中 有时需要计算隐函数的导数 因此 我们希望有一种方法 不管隐函 数能否显化 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来 例例 1 1求由

39、方程 eyxye0 所确定的隐函数 y 的导数 解 把方程两边的每一项对x 求导数得 (ey)(xy)(e)(0) 即 eyyyxy0 从而y y (xey0) yxe 例例 2 2求由方程 y52yx3x70 所确定的隐函数 yf(x)在 x0 处的导数 y|x0 解解把方程两边分别对 x 求导数得 5yy2y121x 60 x 由此得y121 45y 2 6 因为当 x0 时 从原方程得 y0 所以 x6 | 1 y|x0121 5y42 x0 2 2 y2 例例 3 3 求椭圆 x 1在(2, 3 3)处的切线方程 1692 解解把椭圆方程的两边分别对x 求导 得 x 2 yy0 89

40、从而y 9x 16y 当 x2 时y 3 3 代入上式得所求切线的斜率 2 k y|x2 3 4 所求的切线方程为 y 3 3 3 (x2) 即3x4y8 30 24 解解把椭圆方程的两边分别对x 求导 得 x2 y y 0 89 将 x2y 3 3 代入上式得 2 11 y 0 4 3 3 4 所求的切线方程为 于是 ky|x2 y 33 3 (x 2) 即3x 4y 8 3 0 24 例例 4 4求由方程xy 1 sin y0所确定的隐函数 y 2 的二阶导数 解解方程两边对 x 求导 得 1 dy1dy cosy0 dx2dx 于是 dy2 dx2cosy 上式两边再对 x 求导 得 d

41、2y dy dx 4sin y dx2(2cosy)2(2cosy)3 2sin y 对数求导法对数求导法 这种方法是先在 yf(x)的两边取对数 然后再求出 y 的导数 设 yf(x) 两边取对数 得 ln y ln f(x) 两边对 x 求导 得 1 yln f(x) y yf(x)ln f(x) 对数求导法适用于求幂指函数yu(x) v(x) 的导数及多因子之 积和商的导数 例 5求 yx sin x (x0)的导数 解法一 两边取对数 得 ln ysin x ln x 上式两边对 x 求导 得 1 ycosxlnxsinx1 yx 于是y y(cosxlnxsinx 1) x xsin

42、x(cosxlnx sinx) x 解法二这种幂指函数的导数也可按下面的方法求 ln x yx sin x e sin x yesinxlnx(sinxlnx)xsinx(cosxlnx sinx) x 例例 6 6 求函数y (x1)(x2) 的导数 (x3)(x4) 解 先在两边取对数(假定 x4) 得 ln y 1 ln(x1)ln(x2)ln(x3)ln(x4) 2 上式两边对 x 求导 得 1 y 1 ( 1 1 1 1 ) y2 x1x2x3x4 y 于是y( 1 1 1 1 ) 2 x1x2x3x4 当 x1 时y (1x)(2x)(x1)(x2) 当 2x3 时y (3x)(4

43、x)(3x)(4x) 用同样方法可得与上面相同的结果 注 严格来说 本题应分 x4x1 2x3 三种情况讨论 但结果都是一样的 二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数 x(t) 设y与x的函数关系是由参数方程 y(t)确定的 则称此函数关系所表达的函数为由参数方 程所确定的函数 在实际问题中 需要计算由参数方程所确定的函数的导数 但从参数方程中消去参数t 有时会 有困难 因此 我们希望有一种方法能直接由参数方程算出它所确定的函数的导数 设 x(t)具有单调连续反函数t(x) 且此反函数能与函数y(t)构成复合函数y(x) 若 x(t)和 y(t)都可导 则 dy dy

44、 dt dy1 (t) dxdt dxdt dx (t) dt dy dydy (t) 即或 dt dxdxdx (t) dt 若 x(t)和 y(t)都可导 则 dy (t) dx (t) xacost 例例 7 7 求椭圆 ybsint 在相应于t 4 点处的切线方程 dy(bsint)bcost 解解 b cott dx(acost)asinta 所求切线的斜率为 dy dxt 4 b a 切点的坐标为x0acos a 2 y0bsin b 2 4242 切线方程为yb 2 b (xa 2 ) 2a2 即bxay 2ab0 xv1t 例例 8 8抛射体运动轨迹的参数方程为 yv2t 1

45、gt2 2 求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向yv2tgt 2 解解先求速度的大小 速度的水平分量与铅直分量分别为 x(t)v1y(t)v2gt 所以抛射体在时刻 t 的运动速度的大小为 2(v gt)2v x(t)2y(t)2 v 12 再求速度的方向 设是切线的倾角 则轨道的切线方向为 dyy(t)v2gt tan dxx(t)v 1 已知 x(t), y(t) 如何求二阶导数 y? dy (t) 由 x(t) dx (t) d2yddyd (t) dt ()() dx2dx dxdt(t) dx (t) (t) (t) (t) 1 2(t) (t) (t) (t) (t) (t)

46、 3(t) xa(tsint) 例例 9 9计算由摆线的参数方程 ya(1cost)所确定 的函数 yf(x)的二阶导数 dyy(t)a(1cost) 解解 asint dxx(t)a(tsint)a(1cost) sint cot t (t2nn 为整数) 1cost2 d2yddyd ()(cot t ) dt 2dxdx dxdt2dx 11 2 t a(1cost)a(1cost) 22sin 2 1 (t2nn 为整数) 三、相关变化率三、相关变化率 dy 设xx(t)及yy(t)都是可导函数 而变量x与y间存在某种关系 从而变化率 dx 与间也 dtdt 存在一定关系 这两个相互依

47、赖的变化率称为相关变化率 相关变化率问题就是研究这两个 变化率之间的关系 以便从其中一个变化率求出另一个变化率 例 10 一气球从离开观察员500f 处离地面铅直上升 其速度为 140m/min(分) 当气球高度 为 500m 时 观察员视线的仰角增加率是多少？ 解 设气球上升 t(秒)后 其高度为 h 观察员视线的仰角为 则 tan h 500 其中及 h 都是时间 t 的函数 上式两边对 t 求导 得 sec2 d 1 dh dt500 dt 已知 dh 140(米/秒) 又当 h500(米)时tan1sec22 代入上式得 dt 2 d 1 140 dt500 所以 d 70 0.14(

48、弧度/秒) dt500 即观察员视线的仰角增加率是每秒014 弧度 2. 52. 5函数的微分函数的微分 一、微分的定义一、微分的定义 引例引例函数增量的计算及增量的构成 一块正方形金属薄片受温度变化的影响 其边长由x0变到x0 x 问此薄片的面积改变了 多少？ 设此正方形的边长为x 面积为 A 则 A 是 x 的函数Ax2 金属薄片的面积改变量为 A(x0 x)2(x0)22x0 x(x)2 几何意义 2x0 x 表示两个长为 x0宽为x 的长方形面积(x)2表示边长为x 的正方形的面 积 数学意义 当x0 时(x)2是比x 高阶的无穷小 即(x)2o(x)2x0 x 是x 的线性函数 是

49、A 的主要部分 可以近似地代替A 定义定义设函数 yf(x)在某区间内有定义x0及 x0 x 在这区间内 如果函数的增量 yf(x0 x)f(x0) 可表示为 yAxo(x) 其中 A 是不依赖于x 的常数 那么称函数yf(x)在点x0是可微的 而 Ax 叫做函数yf(x)在点 x0相应于自变量增量x 的微分 记作 dy 即 dyAx 函数可微的条件函数可微的条件函数 f(x)在点 x0可微的充分必要条件是函数f(x)在点 x0可导 且当函数 f(x)在 点 x0可微时 其微分一定是 dyf(x0)x 证明 设函数 f(x)在点 x0可微 则按定义有 yAxo(x) 上式两边除以x 得 yo(

50、x) A xx 于是 当x0 时 由上式就得到 A lim y f(x0) x0 x 因此 如果函数 f(x)在点 x0可微 则 f(x)在点 x0也一定可导 且 Af(x0) 反之 如果 f(x)在点 x0可导 即 y f(x0) x0 x lim 存在 根据极限与无穷小的关系 上式可写成 y f(x0) x 其中0(当x0) 且 Af(x0)是常数xo(x) 由此又有 yf(x0)xx 因且 f(x0)不依赖于x 故上式相当于 yAxo(x) 所以 f(x)在点 x0也是可导的 简要证明 一方面 yAxo(x) yo(x)y A lim f (x0)A x0 x xx 别一方面 yy f

51、(x0) f (x0)y f (x0)xx x0 x x lim 以微分 dy 近似代替函数增量 y 的合理性 当 f(x0)0 时 有 yyy lim 1 lim1 x0dyx0 f(x0)xf(x0)x0dx lim ydyo(dy) 结论 在 f(x0)0 的条件下 以微分 dyf(x0)x 近似代替增量yf(x0 x)f(x0)时 其误差为 o(dy) 因此 在|x|很小时 有近似等式 ydy 函数 yf(x)在任意点 x 的微分 称为函数的微分 记作 dy 或 df(x) 即 dyf(x)x 例如 d cos x(cos x)xsin xxdex(ex)xexx 例 1求函数 yx2

52、在 x1 和 x3 处的微分 解函数 yx2在 x1 处的微分为 dy(x2)|x1x2x 函数 yx2在 x3 处的微分为 dy(x2)|x3x6x 例 2求函数 yx3当 x2x0. 02 时的微分 解 先求函数在任意点 x 的微分 dy(x3)x3x2x 再求函数当 x2x0. 02 时的微分 dy|x2 x0.023x2| x2, x0.023220.020.24 自变量的微分自变量的微分 因为当 yx 时dydx(x)xx 所以通常把自变量 x 的增量x 称为自变量的微分 记作 dx 即 dxx 于是函数 yf(x)的微分又可记作 dyf(x)dx 从而有 dy f(x) dx 这就

53、是说 函数的微分 dy 与自变量的微分 dx 之商等于该函数的导数 因此 导数也叫做“微 商” 二、微分的几何意义二、微分的几何意义 当y是曲线yf(x)上的点的纵坐标的增量时dy就是曲线的切线上点纵坐标的相应增量 当|x| 很小时|ydy|比|x|小得多 因此在点 M 的邻近 我们可以用切线段来近似代替曲线段 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分的表达式 dyf(x)dx 可以看出 要计算函数的微分 只要计算函数的导数 再乘以自变量的微分 因此 可得如果 下的微分公式和微分运算法则 1 1 基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式

54、 导数公式微分公式 (x)x1d (x)x1dx (sin x)cos xd (sin x)cos xdx (cos x)sin xd (cos x)sin xdx (tan x)sec 2xd (tan x)sec 2xdx (cot x)csc 2xd (cot x)csc 2xdx (sec x)sec x tan xd (sec x)sec x tan xdx (csc x)csc x cot xd (csc x)csc x cot xdx (ax )axln ad (ax )axln adx (ex)exd (ex)exdx (logax) 1 d(logax) 1 dx xlnax

55、lna (lnx) 1 d(lnx) 1 dx xx (arcsin x) 1 d(arcsinx) 1 dx 1x21x2 1 d(arccosx) 1 dx 1x21x2 (arccosx) (arctanx) 1 2 d(arctanx) 1 2 dx 1x1x (arccotx) 1 2 d(arccotx) 1 2 dx 1x1x 2 2函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则 求导法则微分法则 (uv)uvd(uv)dudv (Cu)Cud(Cu)Cdu (uv)uvuvd(uv)vduudv uv udv dx(v0)(u) uv (v0)d(u) vdu 22v

56、vvv 证明乘积的微分法则 根据函数微分的表达式有 d(uv)(uv)dx 再根据乘积的求导法则有 (uv)uvuv 于是 d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdx 由于 udxduvdxdv 所以 d(uv)vduudv 3 3复合函数的微分法则复合函数的微分法则 设 yf(u)及 u(x)都可导则复合函数 yf(x)的微分为 dyyxdxf(u)(x)dx 于由(x)dxdu所以复合函数 yf(x)的微分公式也可以写成 dyf(u)du 或 dyyudu 由此可见无论u是自变量还是另一个变量的可微函数微分形式dyf(u)du保持不变这一性质 称为微分形式不变性这性质表示当变换自变量时微分

57、形式 dyf(u)du 并不改变 例 3ysin(2x1)求 dy 解把 2x1 看成中间变量 u则 dyd(sin u)cos uducos(2x1)d(2x1) cos(2x1)2dx2cos(2x1)dx 在求复合函数的导数时可以不写出中间变量 例例 4 4 yln(1ex2)求 dy 解解 dydln(1ex2) 1 d(1ex2) 1ex2 1 ex2d(x2) 1 ex22xdx 2xex2 dx 1ex21ex21ex2 例 5ye 13x cos x 求 dy 解 应用积的微分法则 得 dyd(e 13x cos x)cos xd(e 13x )e 13x d(cos x) (cos x)e 13x (3dx)e 13x (sin