无穷级数习题与答案

1、第十一章 无穷级数 A 1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性 1）() = + 1 1 n nn 2） . 12)(12( 1 . 75 1 53 1 31 1 + + + + + nn 3）). 6 sin(.) 6 2 sin() 6 sin( n + 2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。 1）) 2 sin() 2 sin() 2 sin( 32n + 2） = + 11 1 n n a ()1a 3） = + 1 )4)(1( 1 n nn 4） . 1 1 . 31 31 21 21 1 222 n n + + + + + + + + + 3、用比值审敛法判定级

2、数收敛性 1） = + 1 1 2 tan n n n 2） =1 2 3 n n n 3） =1 3 2 n n n n 4、用根值法判定级数收敛性 1） n n n n = + 1 ) 13 ( 2） =+1) 1ln( 1 n n n 5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛 1）. 4 1 3 1 2 1 1+ 2） = 1 1 3 ) 1( n n n n 3） = 1 23 1 ) 1( n n n 6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。 1) .) 1(. 2 1 22 2 n xx x n n + 2) = 1 22 2 12 n n n x n 3) = 1 !2

3、 1 ) 1( n n n n x n 7、利用逐项求导或积分求级数的和函数. 1) = + + 1 14 14 n n n x 2) = 1 1 n n nx 8、将函数展开成 x 的 幂级数并求收敛区间. 1） 2 xx ee shx = 2） x a 3）x 2 sin B 1、判断积数收敛性 1) =1 !.2 n n n n n 2) = 1 ! 2 ) 1( 2 n n n n 2、利用逐项求导或积分求级数 = + 0 2 12 n n n x 的和函数. 3、求幂级数 = 1 )5( ) 1( n n n n x 的收敛域. 4、将xcos展开成 3 +x的幂级数. 5、将函数

4、23 1 )( 2 + = xx xf展开成4+x的幂级数. C 1、求 = 1n nx ne的收敛域. 2、求 = + 0 2 2 ! 1 n n n x n n 的和函数. 第十一章 无穷级数答案 1=R 习 题 答 案 A 1、1）发散 2) 收敛 3) 发散 2、1) 收敛 2) 收敛 3）收敛 4)发散 3、1) 收敛 2）收敛 3）收敛 4、1) 收敛 2）收敛 5、1） 条件收敛 2） 绝对收敛 3） 绝对收敛 6、1) 收敛半径，收敛区间:1 , 1 2) 收敛半径2=R ，收敛区间为：()2,2 3) 收敛半径=R , 收敛区间为：(), 7、1) = + + 1 14 14

5、 n n n x x x x x + += 1 1 ln 4 1 arctan 2 1 ) 1(x 2) 2 1 1 )1 ( 1 x nx n n = = ) 1(x 8、1） = = = 1 12 )!12(2 n nxx n xee shx ()+,x 2） n n n axx x n a ea = = 0 ln ! ln ()+,x 3） x 2 sin = )!2( 4) 1( 2 1 2 1 2cos 2 1 2 1 2 0 n x x n n n n = = ()+,x B 1、1) 解： 1 1 1 1 ) 1 (2lim ) 1( )!1(2 !.2 limlim = = n

6、 n n n n n n n n nn n n n n n u u 1 2 ) 1 1 (lim2 1 . = = n n n u u n n n n n n n n 由比值法，级数 = 1 ! 2 ) 1( 2 n n n n 发散 2、解：dxx xn x xn x x n n n n n n = = + = = + = + 0 0 2 0 12 0 2 1 12 1 12 dx x x x = 0 2 1 11 x x x + = 1 1 ln 2 1 ) 1(x 3、解:1 1 limlim 1 = = n n a a n n n n ，收敛半径1 1 = r 6=x时级数() = 1

7、 1 1 n n n 为交错级数收敛 4=x 时级数为 =1 1 nn发散，所以:收敛域为:( 6 , 4 4、) 3 sin( 3 sin) 3 cos( 3 cos) 33 (coscos +=+=xxxx = + = + + + + = 0 12 0 2 )!12( ) 3 ( ) 1( 2 3 )!2( ) 3 ( ) 1( 2 1 n n n n n n n x n x 或者直接展开为： n n x n n ) 3 ( ! ) 23 cos( 0 = + + 5、将函数 23 1 )( 2 + = xx xf展开成4+x的幂级数 解：设4+= xt则 4= tx 1 1 2 1 34

8、 1 )24( 1 )( = + + = tttt xf t t + = 1 1 2 1 2 1 = = += 00 2 ) 2 ( 2 1 n n n t t )2(x 时 1 x e ； 0 x e ； 0=x 时 = = = 11nn nx nne发散 所以:收敛域:(), 0 x 2、解：令t x = 2 = = = += + 0 2 00 2 ! 2 ! 1 n n n n n n n t n n n t x n n n n t t n n e = + += 1 )!1( 11n n n n t t n t n e = = + += 211 )2( 1 )!1( 1 ttt ette

9、e 2 +=) 42 1 ( 2 2xx e x += 3、解 2 1 2 1 )( 0 0 2 1 0 2 0 0 = xxdxdxxfa = 2 0 1 0 coscos)(xdxnxxdxnxfan xdxn n xnx n xdxnxd n = 1 0 1 0 1 0 sin 1 sin 1 sin 1 1) 1( )( 1 cos )( 1 2 1 0 2 = n n xn n xdxnxxdxnxfbnsinsin)( 1 0 2 0 = xdxn n xnx n xdxnxd n += 1 0 1 0 1 0 cos 1 cos 1 cos 1 1 1 0 2 ) 1( 1 sin )( 1 ) 1( 1+ =+= nn n xn n n 所以： xn n xn n xf n nn sin) 1( 1 ) 12cos( ) 12( 1 2 4 1 )( 1 11 2 + = = + = 当1=x时：收敛于 2 1 4、由 = 21 , 0 1 0 , )( x xx xf xn n xn n xf n nn sin) 1( 1 ) 12cos( ) 12( 1 2 4 1 )( 1 11 2 + =