基础篇-第7章-科学计算.pptx

1、第7章 MATLAB科学计算,7.1 方程求解,本节将分别讨论线性方程组、非线性方程组和常微分方程三种常见方程的解法。,7.1.1 线性方程组,线性方程组是线性代数中的主要内容之一，也是理论发展最为完整的部分。在MATLAB中也包含多种处理线性方程组的命令，下面详细进行介绍。,1.问题描述 在实际应用中，经常需要求解如下所示的两类线性方程组，其中第一种更常见。 AX=B XA=B 按照数学的严格定义，并没有矩阵除法的概念，而MATLAB为了书写简便提供了用除号求解线性方程组解的方式，其具体用法如下： X=AB：左除，计算方程组AX=B的解。 X=B/A：右除，计算方程组XA=B的解。 下面针对

2、AX=B的形式进行说明。系数矩阵A是mn的矩阵，根据其维数可以分为如下3种情况： m=n为恰定方程组，即方程数等于未知量数。 mn为超定方程组，即方程数大于未知量数。 mn为欠定方程组，即方程数小于未知量数。,线性方程组解的类型也可以分为3种情况： rank(A)= rank(A, B)且对应齐次方程组AX=0不存在非0解，则方程组有唯一解，如矩阵A可逆。 rank(A)= rank(A, B)且对应齐次方程组AX=0存在非0解，则方程组有无穷解，如rank(A)= rank(A, B)且为欠定方程组。 rank(A)= rank(A, B)，则方程组无解。 不难看出，线性方程组解的类型是由对

3、应齐次方程组的解，对应系数矩阵和增广矩阵间的关系决定的。,2.解的形式 线性方程组AX=B解的形式可以如下描述： 首先可以使用null函数求解对应齐次方程组AX=0的基础解系，也可以称为通解，则AX=B的解都可以通过通解的线性组合表示。 其次求解非齐次线性方程组AX=B的特解。 最后非齐次线性方程组AX=B解的形式为通解的线性组合加上特解。 3.除法及求逆的解法 (1)除法解法 若线性方程组AX=B的系数矩阵可逆，则AB给出方程组的唯一解。,【例7-2】使用除法求解系数矩阵不可逆的恰定线性方程组。 在命令窗口中输入如下语句： A=1 3 7;-1 4 4;1 10 18; det_A=det(

4、A) B=6;4;15 X=AB det_A = 0 B = 6 4 15 Warning: Matrix is singular to working precision. X = NaN Inf -Inf 从以上的结果可以看出，MATLAB会显示提示信息，表示该矩阵是奇异矩阵，因此无法得到精确的数值解。,【例7-3】使用除法求解欠定线性方程组。 在命令窗口中输入如下语句： C=magic(4); A=C(1:3,:) B=1;0;0; X=AB 命令窗口中的输出结果如下所示： A = 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 X = 0.1863 0.0294 0 -0.1

5、569,(2)求解逆法 在例7-1中，已经介绍了通过求逆的方法求解方程组的解，这里着重介绍伪逆的用法。对于系数矩阵而言，它可能是方阵但不可逆，也可能不是方阵，上述情况都导致它的逆不存在或无定义，这就需要引入伪逆的概念。伪逆包含很多种形式(详见矩阵的有关书籍)，下面介绍最常用的基于最小二乘意义下的最优伪逆，在MATLAB中通过pinv函数可以实现，即可以使用矩阵A的伪逆矩阵pinv(A)来得到方程的一个解，其对应的数值解为pinv(A)*B。,【例7-5】使用伪逆矩阵的方法求解奇异矩阵的线性方程的解。 在命令窗口中输入如下语句： A=1 3 7;-1 4 4;1 10 18; B=5;2;12;

6、 X=pinv(A)*B C=A*X 命令窗口中的输出结果如下所示： X = 0.3850 -0.1103 0.7066 C = 5.0000 2.0000 12.0000 从上面的结果可以看出，通过使用伪逆矩阵的方法，可以求解得到数值解，同时该数值解可以精确地满足结果。,上面都是介绍如何计算特解，下面介绍如何计算线性方程组的所有解。 【例7-6】使用求逆法计算线性方程组的所有解。 在命令窗口中输入如下语句： A=1 2 3 4;5 6 7 8;9 10 11 12; B=1;1;2; X1=null(A) X2=pinv(A)*B 命令窗口中的输出结果如下所示： X1 = 0.5135 0.

7、1906 -0.8267 0.1287 0.1129 -0.8290 0.2003 0.5098 X2 = -0.1250 -0.0208 0.0833 0.1875 此时线性方程组的所有解为X=a*X1(:,1)+b*X1(:,2)+X2，其中a、b为任意实数。,4.矩阵分解的解法 (1)LU分解 LU分解又可称为Gauss(高斯)消去法。若系数矩阵为方阵，它可以表示为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，即A=LU，其中L为下三角阵，U为上三角阵。在MATLAB中通过lu函数可实现LU分解。 针对LU分解，线性方程组AX=B可以表示为LUX=B，由于L和U的特殊性，通过X=U/(L/B)求解可以大

8、大提高运算速度。 LU函数的具体语法形式如下： L,U=lu(X)：X是任意方阵，L是下三角阵，U是上三角阵，这三个变量满足的条件式为X=LU。 L,U,P=lu(X)：X是任意方阵，L是下三角阵，U是上三角阵，P是置换矩阵，满足的条件式为PX=LU。 Y=lu(X)：X是任意方阵，把上三角矩阵和下三角矩阵合并在矩阵Y中给出，满足的条件式为Y=L+U-I，但是将损失置换矩阵P的信息。,【例7-7】使用LU分解法求解线性方程组 在命令窗口中输入如下语句： A=2 1 1;1 -2 3;6 -5 1; B=1;5;7; C=det(A) L,U=lu(A) X=U(LB) 命令窗口中的输出结果如下

9、所示： C = 0 0 3.1250 50 X = L = 0.3600 0.3333 1.0000 0 -0.7600 0.1667 -0.4375 1.0000 -0.7600 1.0000 0 0 U = 6.0000 -5.0000 1.0000 0 2.6667 0.6667,(2)Cholesky分解 若系数矩阵为对称正定矩阵，可以表示为上三角矩阵和其转置的乘积，即A=RR，其中R为上三角矩阵，R为下三角矩阵。在MATLAB中通过chol函数可以实现Cholesky分解。 从理论角度来讲，并不是所有的对称矩阵都可以进行Cholesky分解，可以进行Cholesky分解的矩阵必须是正

10、定的。针对Cholesky分解，线性方程组AX=B可以表示为RRX=B,由于R的特殊性，通过X=R/(R/B)求解可以大大提高运算速度。 Chol函数的具体语法形式如下。 R=chol(X)：X是对称的正定矩阵，R是上三角矩阵，使得X=RR。如果矩阵X是非正定矩阵，该命令会返回错误信息。 R,p=chol(X)：该命令返回两个参数，并不返回错误信息。当X是正定矩阵时，返回的矩阵R是上三角矩阵，而且满足X=RR，同时返回参数p=0；当X不是正定矩阵时，返回的参数p是正整数，R是三角矩阵，矩阵阶数是p-1，并且满足X=X(1:p-1,1:p-1)=RR。,【例7-9】使用Cholesky分解法求解

11、线性方程组 在命令窗口中输入如下语句： A=2 1 3;1 5 4;3 4 6; B=1;3;5; C=det(A) R=chol(A) TR=R X=R(TRB) 命令窗口中的输出结果如下所示： C = X = 1 -23.0000 R = -10.0000 1.4142 0.7071 2.1213 -10.0000 0 2.1213 1.1785 0 0 0.3333 TR = 1.4142 0 0 0.7071 2.1213 0 2.1213 1.1785 0.3333,(3)QR分解 对于任何系数矩阵，可以表示为正交矩阵和上三角矩阵的乘积，即A=QR，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵。

12、在MATLAB中通过qr函数可以实现QR分解。 针对QR分解，线性方程组AX=B可以表示为QRX=B，由于Q和R的特殊性，通过X=R/(Q/B)求解可以大大提高运算速度。 Qr函数的具体语法形式如下： Q,R=qr(A)：矩阵R和矩阵A的大小相同，Q是正交矩阵，满足A=QR，该调用方式适合于满矩阵和稀疏矩阵。,5.共轭梯度的解法 MATLAB还提供了一系列的线性方程组AX=B的共轭梯度解法，这里主要介绍双共轭梯度法，它可由bicg函数实现。bicg函数要求系数矩阵A必须为方阵。,【例7-12】使用共轭梯度法求解线性方程组 在命令窗口中输入如下语句： A=3 1 1;2 -1 5;8 -4 0;

13、 B=2;4;1; X, flag,relres,iter,resvec=bicg(A,B) 命令窗口中的输出结果如下所示： X = 0.3000 0.3500 0.7500 其中，flag表示在默认迭代次数内收敛，relres表示相 flag = 对残差norm(B-A*x)/norm(B)，iter表示终止的迭代 0 次数，resvec表示每次迭代的残差。 relres = 5.4820e-016 iter = 3 resvec = 4.5826 3.9370 6.6052 0.0000,7.1.2 非线性方程,1.函数的零点 对于任意函数，在求解范围内可能有零点，也可能没有；可能只有一个

14、零点，也可能有多个甚至无数个零点。MATLAB没有可以求解所以函数零点的通用命令，本节将分别讨论一元函数和多元函数的零点求解问题。 (1)一元函数的零点 在所有函数中，一元函数是最简单的，在MATLAB中可以使用fzero函数来计算一元函数的零点，它的具体使用方法如下： x=fzero(fun,x0)：在x0点附近寻找函数fun的零点。 x=fzero(fun,x0,options)：使用options设定优化器参数。 x=fzero(fun,x0,x1)：在x0,x1区间寻找函数fun的零点。,(2)多元函数的零点 多元函数的零点问题比一元函数的零点问题更难解决，但是当零点大致位置和性质比较

15、好预测时，也可以使用数值方法来搜索精确的零点。 非线性方程组的标准形式为F(x)=0，其中x为向量，F(x)为函数向量。在MATLAB中，求解多元函数的命令是fsolve,它的具体使用方法如下： X=fsolve(fun,x0)：在向量x0附近寻找函数fun的解。 X=fsolve(fun,x0,options)：使用options设定优化器参数。 其中options设定优化器参数的方法同前。,2.非线性方程组的解 求非线性方程组的解的问题，也就是求多元函数的零点的问题。在MATLAB中使用fsolve函数计算非线性方程组的解，使用方法见上一小节。 【例7-15】求解 首先对非线性方程组进行函

16、数描述，并保存为myfun7_15.m，其内容如下所示： function T=myfun7_15(x) T=x4-1,7;-11,9; 其次对非线性方程组进行求解，在命令窗口中输入如下语句： x0=3 1;2 1; options=optimset(Display,off); X=fsolve(myfun7_15,x0,options) 命令窗口中的输出结果如下所示： X = 1.4693 0.3875 -0.6089 1.9121,7.1.3 常微分方程,1.求解常微分方程的函数 在MATLAB中使用ode45、 ode23、ode113、ode15s、ode23s、ode23t、ode2

17、3tb等函数求常微分方程(ODE)的数值解，这些函数的介绍如表7-2所示。它们的具体使用方法类似，为了方便后面的描述，这里用solver统一代替它们。 在介绍具体用法之前，首先介绍其涉及的参数，如表7-3所示。 其次介绍它们的具体用法，如下所述： T,Y=solver(odefun,tspan,y0) 在区间tspan=t0,tf上，使用初始条件 y0求解常微分方程。常微分方程 odefun解向量 Y中的每行结果对应于时间向量T中每个时间点。,表7-2 常微分方程的求解算法,表7-3 solver中的参数,在tspan=t0,t1,t2,tf指定时间点上，使用初始条件y0求解常微分方程。常微分

18、方程odefun解向量Y中的每行结果对应于时间向量T中的每个时间点。 T,Y=solver(odefun,tspan,y0,options),2.求解常微分方程的类型 MATLAB可以求解3种一阶常微分方程，即显式常微分方程、线性隐式常微分方程和完全隐式常微分方程。 显式常微分方程的形式如下： 线性隐式常微分方程的形式如下： 完全隐式常微分方程的形式如下： 对于高阶常微分方，可以将其转换成如下所示的一阶常微分方程组：,7.2 数据处理统计,本节主要介绍MATLAB在数据统计处理方面的应用，包括最大值和最小值、求和和求积、平均值和中值、标准方差、相关系数以及排序等内容。 1.随机数的生成 可以通

19、过随机数生成函数生成 2.数据分析基本函数 在MATLAB中提供了大量数据分析函数，在分类介绍这些函数之前，首先给出如下约定： 进行一维数据分析时，数据可以用行向量或者列向量来表示，无论哪种表示方法，函数的运算都是对整个向量进行的。 进行二维数据分析时，数据可以用多个向量或者二维矩阵来表示。对于二维矩阵，函数的运算总是按列进行的。 MATLAB提供了包括计算随机变量数字特征在内的大量数据分析函数，详见以下小节内容。,7.2.1 最大值和最小值,在MATLAB中计算最大值和最小值的函数分别是max和min，具体用法如下： 计算最大值函数：C=max(A)，如果A是向量，返回向量中的最大值；如果A

20、是矩阵，返回一个包含各列最大值的行向量。 计算最小值函数：C=max(A)，min和max函数使用方法类似。,7.2.2 求和和求积,在MATLAB中求和和求积的函数分别为sum和prod，具体用法如下： 计算元素和：B=sum(A)，如果A是向量，返回向量A的各元素之和；如果A是矩阵，返回含有各列元素之和的行向量。 计算元素连乘积：B=prod(A)，如果A是向量，返回向量A的各元素连乘积；如果A是矩阵，返回含有各列元素连乘积的行向量。 【例7-21】应用求和与求积的函数。 在命令窗口中输入如下语句： x=1:20; y=randn(1,20); y_sum=sum(y) y_prod=pr

21、od(y) 命令窗口中的输出结果如下所示： y_sum = -1.3643 y_prod = -1.6120e-005,7.2.3 平均值和中值,在MATLAB中计算平均值和中值的函数分别为mean和median，具体用法如下： 计算均值也叫数学期望：M=mean(A)，如果A是向量，返回向量A的平均值；如果A是矩阵，返回含有各列平均值的行向量。 计算中值：M=median(A)，与mean函数使用方法类似。 【例7-22】应用求平均值和中值的函数，在命令窗口中输入如下语句： x=1:20; y=randn(1,20); y_mean=mean(y) %求向量平均值 y_median=medi

22、an(y) %求向量中间值 命令窗口中的输出结果如下所示： y_mean = 0.0283 y_median = 0.1461,7.2.4 标准方差,在MATLAB中求标准方差的函数为std，具体用法如下： s=std(A)：如果A是向量，返回向量的标准差；如果A是矩阵，返回含有各列标准差的行向量。 另外，MATLAB计算方差(即标准差的平方)的函数为var： v=var(X)：如果A是向量，返回向量的方差；如果A是矩阵，返回含有各列方差的行向量。 向量的标准差定义如下： 向量的方差是标准差的平方，即： 其中是向量的长度， ，即平均值。 当较大时，取 有时称此为样本方差，而称上式的为样本修正方

23、差。,7.2.5 相关系数,MATLAB提供了corrcoef函数计算相关系数，具体用法如下： Corrcoef(X,Y)：计算列向量X,Y的相关系数，等价于corrcoef(X,Y);corrcoef(A)计算矩阵A的列向量的相关系数矩阵。 另外，cov函数用来计算协方差： cov(X)计算向量X的协方差；cov(A)计算矩阵A各列的协方差矩阵，该协方差矩阵的对角线元素是A的各列的方差；cov(X,Y)等价于cov(X,Y)。,7.2.6 排序,在MATLAB中用函数sort()来实现数值的排序，具体用法如下： B=sort(A)：如果A是向量，升序排列向量；如果A是矩阵，升序排列各个列。

24、B=sort(,mode)：用mode选择排序方式， ascend为升序， descend为降序。,7.3 数据插值,插值是图像处理和信号处理等领域常用的方法。在已知的数据之间寻找估计值的过程即为插值。MATLAB2010中提供了大量用于获取数据时间复杂度、空间复杂度以及平滑度等的插值函数，这些函数保存在MATLAB2010安装目录下的ployfun工具箱中。,7.3.1 一维插值,对一维函数 进行插值即为一维插值。如图7-7所示，图中实心点表示已知数据点，空心点表示未知数据点，需要通过插值过程对横坐标x所对应的y值进行估计。在MATLAB7中存在两种类型的插值，即基于多项式的插值和基于傅立叶

25、的插值。,一维多项式插值可以通过函数interp1()来实现，interp1()的格式如下： yi=interp1(x,y,xi,method),其中x必须是矩阵，y可以是向量也可以是矩阵。若y是向量，则必须与x长度相同，此时xi可以是标量、向量或任意维矩阵，yi与xi大小相同；若y是矩阵，则其大小必须是n,d1,d2,dk，n为向量x的长度，函数对d1*d2*dk组y值都进行插值； yi=interp1(y,xi)，默认x为1:n，其中n为向量y的长度； yi=interp1(x,y,xi,method)，输入变量method用于指定插值的方法。 yi=interp1(x,y,xi,meth

26、od,extrap)，对超出数据范围的插值数据指定外推方法； yi=interp1(x,y,xi,method,extrapval) 对超出数据范围的插值数据返回extrapval值，一般设为NaN或者0； yi=interp1(x,y,xi,pp)，返回值pp为数据y的分段多项式形式。method指定产生分段多项式pp的方法，它可以是插值方法中除了的任何方法。 一维插值可以指定的方法如下： 最邻近插值(method取值为neaest)，这种插值方法在已知数据的最邻近点设置插值点，对插值点的数进行四舍五入。对超出范围的点将返回NaN。最邻近插值是最快的插值方法，但在数据平滑方面效果最差，得到的

27、数据是不连续的。 线性插值(method取值为linear)，该方法是未指定插值方法时所采用的方法，该方法直接连接相邻的两点，对超出范围的点将返回NaN。比最邻近插值占用更多的内存，执行速度也稍慢，但在数据平滑方面优于最邻近插值，且线性插值的数据变化是连续的。 三次样条插值(method取值为spline)，该方法采用三次样条函数来获得插值点。在已知点为端点的情况下，插值函数至少具有相同的一阶和二阶导数。处理速度最慢，占用内存小于分段三次厄米多项式插值，可以产生最光滑的结果，但在输入数据分布不均匀或数据点间距过近时将产生错误。样条插值是非常有用的插值方法。,分段三次厄米多项式插值(method

28、取值为pchip)，该参数取值的特点可参考帮助文档。在处理速度和内存消耗方面比线性插值差，但插值得到的数据和一阶导数是连续的。 三次多项式插值(method取值为cublic)，该参数取值的特点可参考帮助文档。在处理速度和内存消耗方面比线性插值)，与分段三次厄米多项式插值相同。 三次多项式插值拟合已知数据(method取值为 v5cublic)，该参数取值的特点可参考帮助文档。在处理速度和内存消耗方面比线性插值)，该方法使用三次多项式函数对已知数据进行拟合。 上述方法的相对优劣不仅适用于一维插值，同样适用于二维或更高维度的情况。当选择一个插值方法时，应充分考虑其执行速度、内存占用以及数据平滑度

29、等方面的优劣。,7.3.2 二维插值,二维插值主要应用于图像处理和数据可视化方面，其基本原理与一维插值一样，不同的是它是对两个变量的函数进行插值。MATLAB中二维插值的函数为interp2()，其调用格式如下： zi=interp2(x,y,z,xi,yi),原始数据x，y，z决定插值函数，返回值zi是(xi，yi)在函数f(x，y)上的值； zi=interp2(z,xi,yi),若，则x=1 ，y=1:m； zi=interp2(z,ntimes),在两点之间递归地插值ntimes次； zi=interp2(x,y,z,xi,yi,method),可采用的不同的插值方法method； z

30、i=interp2(method,extrapval),当数据超过原始数据范围时，用输入extrapval指定一种外推方法。 二维插值可采用的方法如下： 最近邻插值(method=nearest)，这种插值方法在已知数据的最近邻点设置插值点，对插值的数进行四舍五入。对超出范围的点将返回一个NaN。 双线性插值(method=linear)，该方法是未指定插值方法时MATLAB默认采用的方法。插值点值取决于最近邻的四个点的值。 三次样条插值(method=spline)，该方法采用三次样条函数来获得插值数据。 双三次多项式插值(method=cublic)。,7.3.3 三维插值,三维插值的思想

31、与一维、二维插值基本相同，区别在于它是对三维函数的插值。MATLAB提供了函数interp3实现三维插值，具体方法如下： vi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi)，返回值vi是对于自变量(xi,yi,zi)的插值，需要说明的是xi,yi,zi,vi应为同维。 vi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,method)，method用于指定插值方法，其取值及意义与二维插值的method方法相同。 vi=interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi,method,extrapval)，当数据超过原始数据范围时，输入extrapval指定一种外推方法。,7.4 数值积

32、分,MATLAB 2010提供的数值积分函数及其功能描述如表7-7所示。,7.4.1 一元函数积分,MATLAB 2010提供了两个函数quad()和quadl()计算一元函数的积分。函数quad()采用低阶的自适应递归Simpson方法，函数quadl()则采用高阶的自适应Lobatto方法。函数quad()函数的调用格式如下： q=quad(fun,a,b)，计算函数fun在a b区间内的定积分。fun为函数句柄，a和b都是标量，它们分别是积分区间的下届和上届； q=quad(fun,a,b,tol)，以绝对误差容限tol计算函数fun在a b区间内的定积分，取代MATLAB中默认的绝对误

33、差容限值； q=quad(fun,a,b,tol,trace)，当trace不为零时，显示计算定积分的迭代过程中向量fcnt a b-a Q； q=quad(fun,a,b,.)，多返回一个输出变量fcnt，表示计算定积分过程中计算函数值得次数。,7.4.2 矢量积分,矢量积分相当于多个一元定积分，例如求 ， 就可以用矢量积分，具体代码如下： %quadv_exam.m %求矢量积分 y=(x,n)1./(sqrt(2*pi).*(1:n).*exp(-x.2./(2*(1:n).2); %归一化高斯函数 quadv(x)y(x,5),-1,1) 由上述语句得到的输出结果如下： ans = 0

34、.6827 0.3829 0.2611 0.1974 0.1585 矢量积分的结果是一个向量，其每一元素的值为一个一元函数定积分的值。,7.4.3 二元函数积分,二元函数的积分形式如 所示。 MATLAB2010中使用函数dblquad()来计算二重积分。该函数先计算内层积分值，然后利用内层积分的中间结果计算二重积分。根据dxdy的顺序，称x为内积分变量，y为外积分变量。函数dblquad()的基本格式如下： q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax)，计算二元函数fun在矩形区域xmin,xmax,ymin,ymax上二重积分。fun为函数句柄，xmin、ymin、

35、xmax和ymax都是标量，它们分别是积分区间的下限和上限； q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol)，其中tol参数用于指定绝对计算精度； q=dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)，用method方法指定计算一维积分时采用的函数。Matalb默认采用函数quad()计算一维积分。用户还可以编写自己的一维积分函数，以用于计算二维积分，该函数的调用格式须与quad()一致。,7.5 最优化问题求解,最优化问题是工程中经常遇到的问题，下面从无约束非线性极小化、有约束极小化、二次规划和线性规划、线性最小二乘、非线性

36、最小二乘和多目标寻优方法等方面进行介绍。,7.5.1 无约束非线性极小化,在MATLAB中无约束非线性极小化问题的处理，使用的是fminsearch函数。具体方法如下： x=fminsearch(fun,x0)：fun代表目标函数，x0为初值，它可以是标量、向量或矩阵。 x=fminsearch(fun,x0,options)：options为进行优化的各种属性，由参数optimset函数设置。 x=fminsearch(.)：x代表极小值点，fval代表最小值。 此外，还有一个fminunc函数，也是解决无约束非线性极小化问题的函数，其用法与fminsearch函数类似，该函数求的是局部解。

37、,7.5.2 有约束极小化,有约束条件的极小化问题相比于无约束条件极小化情况复杂很多，种类也比较繁多，这里只简单介绍函数fmincon的使用。 fmincon函数用于解决如下约束条件的极小化问题： min F(X) subject to: A*X = B, Aeq*X = Beq (线性约束) C(X)= 0, Ceq(X) = 0 (非线性约束) LB = X = UB (边界),fmincon函数的具体用法如下： x=fmincon(fun,x0,A,B)：fun代表目标函数，x0为初值，它可以是标量，向量或矩阵，线性约束条件为A*B = B时，找到目标函数的极小值点。 x=fmincon

38、(fun,x0,A,B,Aeq,Beq)：线性约束条件为A*X = B和Aeq*X = Beq，无不等式存在时设A=，B=。 x=fmincon(fun,x0,A,B,Aeq,Beq,LB,UB,nonlcon)：计算非线性有约束条件(C(x) = 0,Ceq(x) = 0)下fun函数的极小值点，如果没有边界则设定LB = ,UB = 。,7.5.3 二次规划和线性规划,1.二次规划 用下式对二次规划的标准问题进行描述，其中X、b、beq、lb和ub都为列向量，A、Aeq和H都为符合维数要求的矩阵。 函数quadprog用来处理二次规划问题，该函数的具体用法如下：,x=quadprog(H,f,A,b)：计算 线性规划的最优解。 x=quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：由指定设置options和初值x0开 始计算 线性规划的最优解，其中options可以由函 数optimset设定。 x,fval=(H,f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)：附加返回最小值。,2.线性规划 用下式对线性规划问题进行数学描述，其中X、f、b、beq、lb和ub都为列向量，A和Aeq都为符合维数要求的矩阵。 函数linprog用来处理线性规划问题，下面详细