医学统计学抽样误差均数估计.ppt

1、抽样误差、参数估计Sampling error and Parameter estimation,易洪刚,Department of Epidemiology 样本均数的变异范围较之原变量的变异范围大大缩小；,2.中心极限定理 central limit theorem,抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计,中心极限定理(central limit theorem) （一）从均数为、标准差为 的正态总体中，独立随机抽取例数为n的样本，样本均数 的分布服从正态分布； 样本均数的均数为 ; 样本均数的标准差为 。,中心极限定理,（二）从非正态(nonnormal)分布总体(均数为，方差为

2、)中随机抽样(每个样本的含量为n)，可得无限多个样本，每个样本计算样本均数，则只要样本含量足够大(n50),样本均数也近似服从正态分布。 样本均数的均数为 ; 样本均数的标准差为 。,3.标准误 standard error,抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计,标准误(standard error),样本统计量的标准差称为标准误。样本均数的标准差称为均数的标准误。 均数的标准误表示样本均数的变异度。 当总体标准差未知时，用样本方差代替， 前者称为理论标准误，后者称为样本标准误。,与样本含量的关系,n 越大，均数的均数就越接近总体均数； n 越大，变异越小，分布越窄； 对称分布接近正

3、态分布的速度，大于非对称分布。分布越偏，接近正态分布所需样本含量就越大。,与标准差的关系,1、意义上 标准差描述个体值之间的变异，即观察值间的离散程度； 而标准误是描述统计量的抽样误差，即样本统计量和总体参数的接近程度； 2、用途上 标准差常用于表现观察值的波动范围； 标准误常表示抽样误差的大小，估计总体参数可信区间。 3、与样本含量 标准差是随着样本含量的增多，逐渐趋于稳定。 标准误是随着样本含量的增多，逐渐减少。,区别,与标准差的关系,首先，标准差和标准误都是变异指标，说明个体之间的变异用标准差，说明统计量之间的变异用标准误。 其次，当样本含量不变时，标准差大，标准误亦越大，均数的标准误与

4、标准差成正比。,联系,4. t分布 t-distribution,抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计,正态分布的标准化变化,若 X N(,) , 则 。,因 ，则 。,从正态分布总体中1000次抽样的 u 值的分布(n=4),Fraction,u,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,0,.05,.1,.15,.2,均数为 0.007559 标准差为 1.006294,t 分布的概念,实际工作中，总体方差未知。所以，用样本方差代替总体方差， 此时 的分布如何？,从正态分布总体中1000次抽样的 值的分布(n=4),Fraction,t,-8,-6,-4,-2,0,2,4,6,

5、8,0,.05,.1,.15,.2,.25,.3,.35,均数为 0.05696 标准差为 1.55827,t 分布的概念,用样本方差代替总体方差，此时 不服从正态分布。,1908年，W.S.Gosset (1876-1937)以笔名Student发表了著名的t分布，证明了： 设从正态分布N(，2)中随机抽取含量为n的样本，样本均数和标准差分别为 和s，设：,则t值服从自由度为n-1的t分布(t-distribution)。,t 分布的概念,记为：,图 自由度分别为1、5、时的t分布,t分布图形,t分布的特征,t分布是一簇曲线，当不同时，曲线形状不同； 单峰分布，以0为中心，左右对称； 当逼近

6、时，t分布逼近u分布，故标准正态分布是t分布的特例; t分布曲线下面积是有规律的。,请看演示,t 分布,t界值表,表上阴影部分，表示t,以外的尾部面积占总面积百分数，即概率P。 表中数据表示与确定时相应的t界值（critical value），常记为t,。,抽样,总体,样本,统计量,分布,t分布表明，从正态分布总体中随机抽取的样本，由样本计算的t值接近0的可能性较大，远离0的可能性较小。,例如，当=10，单尾概率=0.05时，查表得单尾t0.05，10=1.812，则： P(t-1.812)=0.05 或P(t1.812)=0.05,表明：按t分布的规律，从正态分布总体中抽取样本含量为n=11

7、的样本，则由该样本计算的t值大于等于1.812的概率为0.05，或者小于等于-1.812的概率亦为0.05。,-1.812,0,0.05,0.05,1.812,例如，当=10，双尾概率=0.05时，查表得双尾t0.05,102.228，则： P(t-2.228)+P(t2.228)0.05 或：P(-2.228t2.228)=1-0.05=0.95。,表明：按t分布的规律，从正态分布总体中抽取样本含量为n=11的样本，则由该样本计算的t值大于等于2.228的概率为0.025，小于等于-2.228的概率亦为0.025。,-2.228,0,0.025,0.025,2.228,单尾：P(t- t,)

8、=，或P(tt,)= 双尾：P(t- t/2,)+P(tt/2,)=， 即P(-t/2,t t/2,)=1-,-t,0,t,t分布曲线下面积规律,5. 2分布 chi-distribution,抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计,2 分布,设从正态分布N(,2)中随机抽取含量为n的样本，样本均数和标准差分别为 和s，设： 2值服从自由度为n-1的2分布(2-distribution),2 分布,请看演示,c2 分布,2分布的特征,(1) 2分布为一簇单峰正偏态分布曲线 ；随的逐渐加大，分布趋于对称。 (2) 自由度为的2分布，其均数为，方差为2。 (3) 自由度为的2分布实际上是个

9、标准正态分布变量之平方和。 2=u12+ u22+ uv2,0.05,0.025,0.025,1.96,-1.96,2分布与正态分布的关系,(4) 每一自由度下的2分布曲线都有其自身分布规律。,自由度为1的2分布界值,0.0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,2分布是方差的抽样分布。 2分布说明，从正态分布的总体中随机抽样，所得样本的方差s2接近于总体方差2的可能性大，远离总体方差的可能性小。 即2值接近其均数n-1的可能性大，远离n-1的可能性小。,2分布的特征,自由度10时，20.025,1020.48，20.975,103.25。 从正态分布的总体中随机抽样，得到的样本其2值大于等

10、于20.48的概率为0.025，小于等于3.25的概率亦为0.025。 P(23.25)+P(220.48)0.05,2分布的特征,2分布近似描述具有某种属性的实际频数Ai与理论频数Ti之间的抽样误差,6. F分布 F-distribution,抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计,F分布,设从两个方差相等的正态分布N(1,2)和N(2,2)总体中随机抽取含量分别为n1和n2的样本，样本均数和标准差分别为 、s1和 和s2。设： 则F值服从自由度为(n1-1，n2-1)的F分布(F-distribution)。,F分布的特征,(1) F分布为一簇单峰正偏态分布曲线，与两个自由度有关。

11、 (2) 若F服从自由度为(1,2)的F分布，则其倒数1/F服从自由度为(2,1)的F分布。 (3) 自由度为(1,2)的F分布，其均数为2/(2-2)，与第一自由度无关。 (4) 第一自由度11时，F分布实际上是t分布之平方；第二自由度2时，F分布实际上等于2分布。,请看演示,F分布,(5) 每一对自由度下的F分布曲线下的面积分布规律。,F分布的特征,F分布表明，从两个方差相等的正态分布总体中随机抽取含量分别为n1和n2的样本，计算所得F值，应接近v2/(v2-2)。 F(0.05;20,20)= 2.12表示，从方差相等的正态分布总体中随机抽取n1=n2=21的样本，则由两样本计算的F值大

12、于等于2.12的可能性为0.025，而小于1/2.12=0.4717的可能性亦为0.025。,F分布的特征,F分布的特征,样本统计量的抽样分布,任何一个样本统计量均有其分布规律。 从正态分布总体中抽样： 均数的抽样分布为正态分布； 样本方差的分布服从2分布； 样本方差之比服从F分布； t 值服从 t 分布； ,7.参数估计 Parameter estimation,抽样误差 中心极限定理 标准误 分布 参数估计,1 ) 统计推断的思路,2) 统计推断(statistical inference),总体参数的估计 (parameter estimation) 假设检验 (hypothesis t

13、est),3) 参数的估计,点估计 (point estimation) 区间估计 (interval estimation),按一定的概率或可信度(1-)用一个区间估计总体参数所在范围。这个范围称作可信度为1- 的可信区间(confidence interval, CI)，又称置信区间。,【例4.1】随机抽取12名口腔癌患者，检测其发锌含量，得 =253.05g/g =27.18g/g 求发锌含量总体均数95的可信区间。,4)例题：发锌含量,t 值的分布,理论基础：t值的抽样分布,-2.201 0 2.201,v11,0.025,0.025,区间估计：,可信区间(confidence int

14、erval)：,区间193.23321.87(g/g)包含了总体均数，其可信度(confidence level)为95%。 结论：口腔癌患者发锌含量总体均数为193.23321.87(g/g)(可信度为95%)。 或：口腔癌患者发锌含量总体均数的95可信区间为： 193.23321.87(g/g)。,5)均数的(1-)100%可信区间构建方法,1-,5)均数的(1-)100%可信区间构建方法,5)均数的(1-)100%可信区间构建方法,均数的(1-)100%的可信区间： 可信限(confidence limit)：,样本含量较大时，u 值的分布：,样本含量较大时，均数(1-)100%的可信区

15、间：,此时，均数的(1-)100%的可信区间：,6 )均数之差的(1-)100%可信区间,例4.3 转铁蛋白含量（page41） 正常人：n1=12, 病人：n2=15, 问题：两组平均相差多少？,问题：,正常组 病人组, 1- 2 ？,与均数之差有关的抽样分布,“均数之差”与“均数之差的标准误”之比， 服从自由度 = n1+n2 -2的 t 分布。 样本含量较大时，服从标准正态分布。,合并方差与均数之差的标准误,合并方差(方差的加权平均) 均数之差的标准误,根据,可得1-2的可信区间：,计算：,则合并方差为：,自由度为=n1+n2-2=12+15-2=25、0.05的t界值为：t0.05,2

16、5=2.060 ，则两组均数之差的95可信区间为： (271.89235.21 ) 2.060 4.95 = 26.48 46.88,结论：,病毒性肝炎患者的血清转铁蛋白含量较正常人平均低36.68(g/dl)，其95可信区间为26.4846.88(g/dl)。,可信区间,均数 率 事件数 方差,7) 可信区间的两个要素,可信度(1-), 可靠性 一般取90%，95%。 可人为控制。 精确性 是指区间的大小(或长短) 兼顾可靠性、精确性,影响可信区间大小的因素,可信度 可信度越大，区间越宽 个体变异 变异越大，区间越宽 样本含量 样本含量越大，区间越窄,8 ) 正确理解可信区间：,可信度为95

17、%的CI的涵义： 每100个样本，按同样方法计算95%的CI，平均有95%的CI包含了总体参数。 这里的95%，指的是方法本身！而不是某个区间！ 在可信区间被估计之前，概率是存在的； 在可信区间被估计之后，就没有概率了。,从N(0,1)中随机抽取100个n=10的样本 所估计的100个95%可信区间,按这种方法构建的可信区间，理论上平均每100次，有95次可以估计到总体参数。,置信区间演示,为了对置信区间概念有更好的理解，并对样本容量、置信水平对置信区间的影响建立直观印象，请看演示：,下列说法正确吗？,算得某95%的可信区间，则： 总体参数有95%的可能落在该区间。 有95%的总体参数在该区间内。 该区间包含95%的总体参数。 该区间有95%的可能包含总体参数。 该区间包含总体参数，可信度为95%。, , ,例如，临床上观察120例使用某生物制剂的患者，其皮疹发生率2/120=1.67%，则该生物制剂的皮疹发生率的95可信上限为：,即该生物制剂的皮疹发生率最大为5.2%