高等数学工2例题.doc

1、高等数学(工)-2例题微分方程1、求解微分方程：。 解：分离变量得, 两边积分得 , 求积分得：, 从而通解为。2、用分离变量法求解微分方程：。 解：分离变量得, 两边积分得 , 求积分得 , 从而通解为.3、 解： ，两边积分得：，即 ，CR4、 解： ，两边积分得：，即 ，CR5、 解： =6、 解： =7、一条曲线过点（0，2），且过曲线上任意一点切线的斜率是这点纵坐标的3倍，求此曲线方程。解：设所求曲线方程为y=f(x) 。由题设条件可知：切线斜率为3y，且， 方程的通解为 （为任意常数）由初始条件可得c=2，故此曲线方程为。8、求微分方程的通解。 解：特征方程, 特征根,通解为.9、

2、 解：特征方程为：，得通解为：10 解：特征方程为：，得r= -2通解为：11、求微分方程的通解。解：特征方程为：，所以的通解为，为原方程的特解，所以原方程的通解为。12、解：特征方程为，所以的通解为：设，代入方程得：A=1/5，即，所以方程的通解为，13、解： 令，得=，14、已知， 求。解：，从而15、已知，满足方程，且与直线相切于（0，6），求。解：的特征方程为：，所以通解为设特解为，则，所以通解为：则题意可得，即，所以级数一、判断级数的敛散性（对为非正项级数，若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛）1、解：因为，而级数收敛，所以级数收敛。2、解：因为，而级数发散，所以发散。3、 解：因为，

3、所以发散。4、判断级数的敛散性（若收敛，指出是条件收敛还是绝对收敛）。解：因为，而发散。所以发散。此为交错级数，设，则 故级数收敛，且为条件收敛。5、 解：因为，而收敛。所以绝对收敛。二、幂级数6、 求的收敛半径。解：，所以收敛半径R1。7、求幂级数的收敛域及和函数。解：记，则，且x=2时级数发散，x=2时级数收敛，所以收敛域为2,2)。记，则，8、求幂级数的收敛域。解：，所以得当 |x-2|2，即0x4时级数收敛，当x= 4时，收敛当x=0时，发散，所以的收敛域为(0,4)。9、将函数展成的幂级数，并求展开式成立的区间。解：，即10、（1）将函数展开成的幂级数，（2）将函数展开成的幂级数，（

4、3）求的值。解：=，收敛域为（0,4），=，收敛域为（0,4）。且。11、将函数展开成x的幂级数，并求其收敛域。解：=收敛域为：|x|1 即 -1x0，B=-3，C=6，所以（1，1）为极小值点，极小值为-1。 11、在椭球面上求一点，使达到最大。解：设，则由可得，即所求点为。12、已知曲线C：，求C上距离原点最远与最近的点。解：设令得从而或所以求C上距离原点最远点为（-2，-2，8）与最近的点为（1，1，2）。13、设，求解：设则，。14、设，其中可导，证明：证：，15、设，而是由方程函数所确定，其中可微，连续，且，证明：证：，同理，同理，所以重积分一、计算二重积分与二次积分1、, .解：=

5、 =9/8 2、I，其中。解： ，I3、I，其中。解： ，I4、计算I=，其中解：I=32/95、，D是圆=2y围成的区域。解： 的极坐标方程是，而由0变到，=6、I 。解：I7、计算。解：=8、设在上连续，并设，求I。解：I，所以，2I+16，即I8。二、计算三重积分9、I 其中：由平面及三坐标面所围成的区域。解：及积分域关于均为对称，故I10、I=，W是由 所围成的闭区域。解：I=11、I，W。 解：在球面坐标系下W，I=12、I，W是由球面 所围成的闭区域。解：球面坐标为： W13、I=三、重积分应用14、在由椭圆绕其长轴旋转一周而成的椭球体上，沿长轴方向打一穿过中心的圆孔，并使剩下部分

6、的体积恰好等于椭球体体积的一半，求该圆孔的直径。解：设沿长轴方向所打的圆孔的半径为r。旋转所得椭球体体积为被截下的椭球体体积为=，由题设可得r=1。15、求锥面被柱面所割下部分的面积。解：，：。曲线与曲面积分一、第一类曲线积分1、设L为上半圆周x2+y2=1 ，求I。解：L：，I=2、I。解：L： I二、第二类曲线积分3、，其中L为从原点O(0,0)沿直线至点A(2,0)，再沿直线至点B（4,4）。解：I+128。4、I，其中L为圆周按逆时针方向一周。解：L: t:02p，则I5、设L：，取逆时针方向，求。解：L：，所以6、设L是平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，L所围的平面闭区域D的面积为

7、A，则A=_2_。解：记P=，Q= 则 -8， ，所以，A2。7、I，其中L为圆周逆时针方向一周。解：记P=，Q= 则 I 8、I，其中L为从点A (2p,0)沿上半圆周，再到原点O(0,0)的一段圆弧。解：记P=，Q=， 补I= = =三、第一类曲面积分9、计算I=，其中为曲面被所截的部分。解：，在xoy平面上的投影I=10、I，S为上半球面。解：S的投影I四、第二类曲面积分11、，S为上半球面的上侧。解：S的投影= =12、已知，S是由锥面与平面所围立体的外侧，计算。解：，所以13、I，其中为曲面被平面所截下部分的下侧。解：补平面S1：取上侧，S与S1所围的空间区域为W。W的投影记P=，

8、Q=， R= ，I=I= =五、应用14、求变力将质点沿椭圆的正向转动一周所做的功。解：L为椭圆的一周正向，即L：则所做的功为：W=15、流体流速，求由和z2=x2+y2所围立体在第一卦限向外流的流量。解：设此立体为，其外表面为，取外侧，流量综合题1、若且，证明级数收敛。证：记，则，由，可知，由，可知单调增加，而单调减少，所以单调减少，即， 由，和，所以，所以收敛，即收敛。2、若满足：，证明级数绝对收敛。证：记，则，且收敛。由，可得，从而收敛，所以绝对收敛，即绝对收敛。3、已知， 求。解：，从而4、设具有二阶连续导数，满足：，求的表达式。解：设，则所以，因此满足：，即5、设，其中具有二阶连续导

9、数，证明： 。证：=，=，同理=所以=+；由于，所以=，=，即。6、设为连续函数且，记，求。解：7、设具有二阶导数的函数在全平面上使曲线积分与路径无关，求函数的一般表达式。解：记，因为曲线积分与路径无关，所以有：即：，记y=f(x)，则由，得，所以的通解为：设，代入方程得：A=1/2，即，所以，即 。8、设求具有二阶导数的函数，满足，且使在全平面上使曲线积分I=与路径无关。 解：因为曲线积分与路径无关，所以有：即：，记y=f(x)，则y满足，由，得，所以的通解为：设，得：，代入方程得：A=1/3，即，所以，即 ，由。得，9、设f(x)具有二阶连续导数，u(x,y)的全微分为，且u(0,0)=0

10、，求u(x,y)解：设，则有即，从而有,，所以，10、设P=，Q=，验证曲线积分在全平面内与路径无关，并求。解：由P=，Q= 则 所以与路径无关，11、验证在全平面内是某一函数的全微分，并求这样的一个。解：记P=，Q=，则 所以在全平面内是某一函数的全微分，。12、若曲线积分在右半平面（）内与路径无关，其中，求，并计算解：由右半平面（）内与路径无关，则 即，得，13、若在平面力场中，证明力与力的合力做功与路径无关，并求把单位质点从O(0，0)沿上半圆周到A(，0)所做的功。证：记，则，记：从O(0，0)沿上半圆周到A(，0) ，即：从O(0，0)沿到A(，0) ，即沿曲线所做的功为而，即=，所以所做的功与路径无关。即=而=所以