全国名校高中数学题库圆锥曲线

1、圆锥曲线综合训练题圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程一、求轨迹方程： 、 （1）已知双曲线C x2y2 1 1 与椭圆C2： 36 49 1有公共的焦点，并且双曲线的离心率e 1 与椭圆的 离心率e 7 2 之比为 3 ，求双曲线C1的方程 （2）以抛物线y28x上的点 M 与定点A(6,0)为端点的线段 MA 的中点为 P，求P 点的轨迹方 程 （1）解：C1的焦点坐标为(0, 13).e 1313 2 7 由 e 1 e 7 3 得e 1 设双曲线的方程为 2 3 22 y2 a b 13 a2 x2 b2 1(a,b 0)则 a2 b213 解得a2 9,b2 4双曲线的方程为 y2 x

2、2 1 a2 9 94 x 0 6 （2）解：设点M(x y)，则 x 2 ， x 0 2x6 0 , y 0 ), P(x, y y 0 y0 2y 2 代入y2 x 2 0 8 0 得：y 4x12此即为点 P 的轨迹方程 2、 （1）ABC的底边BC 16，AC和AB两边上中线长之和为 30，建立适当的坐标系求此三 角形重心G的轨迹和顶点A的轨迹 （2）ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB= 3 5 sinA,求点 A 的轨迹方程 解：解： （1）以BC所在的直线为x轴，BC中点为原点建立直角坐标系设G点坐标为x，y， 由GC GB 20， 知G点的轨迹是以B

3、、C为焦点的椭圆， 且除去轴上两点 因a 10，c 8， 有b 6， 故 其 方 程 为 x2y2 100 36 1y 0 设 Ax，y ， Gx，y ， 则 x 2 x x 100 y 2 36 1y 0由题意有 3 ， 代入， 得A的轨迹方程为 x2 y2 1y 900 0， y y324 3 其轨迹是椭圆（除去x轴上两点） （2）分析：分析：由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以 2R（R 为外接圆半径） ，可 转化为边长的关系 解：解：sinC-sinB= 33 5 sinA2RsinC-2RsinB= 5 2RsinA AB AC 3 5 BC 即AB AC

4、 6（*） 点 A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） 2a=6，2c=10 a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为 x2y2 9 16 1 （x3） 点评：点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点 M（-4，1）分别射向直线 y= -2 上两点 P（x1，y1）和 Q（x2，y2）后， 反射光线恰好通过椭圆 C： x2y21 a2 b2 1（ab0）的两焦点，已知椭圆的离心率为 2 ，且 x -x = 6 21 5 ，求椭圆 C 的方程. 解：设 a=2 k，c=k，k0，则 b= 3k，其椭圆的 方程为 x2y2 4k2 3k

5、2 1. 由题设条件得： 0 2 k x 1(2) 4 x ， 1 1 0 21(2) k x 4 x ， 22 x 6 2-x1= 5 ， 由、解得：k=1，x 11x2y2 1= 5 ，x2=-1，所求椭圆 C 的方程为 4 3 1. 4、在面积为1 的PMN中，tanM 1 2 ，tanN 2，建立适当的坐标系，求出以M、N为 焦点且过P点的椭圆方程 解：解：以MN的中点为原点，MN所在直线为x轴建立直角坐标系， 设P(x , y) y x5 则 x c 2, 3c52 y 1 , 即 P(,) x c2 y 4 c且c 32 33 所 求 椭 圆 方 程 为 32 cy 1. 4x2

6、2 15 y 3 1 25 12a 2 4 3b2 1, 得 a2 15 4 , a 2b2 3 , b2 4 3. 5、已知点 P 是圆 x2+y2=4 上一个动点，定点 Q 的坐标为（4，0） （1）求线段 PQ 的中点的轨迹方程； （2）设POQ 的平分线交 PQ 于点 R（O 为原点） ，求点 R 的轨迹方程 解： （1）设线段 PQ 的中点坐标为 M（x，y） ，由 Q（4，0）可得点 P（2x-4，2y） ，代入圆的方 程 x2+y2=4 可得（2x-4）2+（2y）2=4，整理可得所求轨迹为（x-2）2+y2=1. （2）设点 R（x，y） ，P（m，n） ，由已知|OP|=2，

7、|OQ|=4， |OP | |OQ | 1 2 ，由角平分线性质可 得 |OP | |OQ | | PR | | RQ | = 11 2 ，又点 R 在线段 PQ 上，|PR|= 2 |RQ|，点 R 分有向线段 PQ 的比 m 1 x 2 4 2m 4 m 3x 4 为 1 1 1 3 2 2 ，由定比分点坐标公式可得 2 ，即 3 ，点 P 的坐标为 n 1 0 n y y 2 2n 2 1 1 3 2 3x 4 22 2 , 3y 3x 43y 2 ，代入圆的方程 x2+y2=4 可得 2 2 4， 22 即 x 4 3 +y2= 16 （y0）. 点 R 的轨迹方程为 x 4 3 +y

8、2 16 9 = 9 （y0）. 6、已知动圆过定点1,0，且与直线x 1相切.(1) 求动圆的圆心轨迹 在直线l，使l过点（0，1） ，并与轨迹C交于P,Q两点，且满足OP uu u v OQ uuu v C的方程；(2) 是否存 0？若存在，求出直 线l的方程；若不存在，说明理由. 解： （1）如图，设M为动圆圆心，F 1,0，过点M 作直线x 1的垂线，垂足为N，由题 意知：MF MN， 即动点M到定点F与定直线x 1的距离相等，由抛物线的定义 知，点M的轨迹为抛物线，其中F1,0为焦点，x 1为准线， 动点R的轨迹方程 为y2 4x （2）由题可设直线l的方程为x k(y 1)(k 0

9、)， 由 x k(y1) 2 y2 4x 得y 4ky 4k 0 16k216 0，k 1或k 1 设P(x1, y1)，Q(x2, y2)，则y1 y2 4k，y1y2 4k 由 u OP uu r u OQ uu r 0，即 u OP uu r x uuu r 1, y1 ，OQ x 2 , y 2 ，于是x 1x2 y 1 y 2 0， 即k2yy 222 1 1y 2 1 1 y 2 0，(k 1)y 1 y 2 k (y 1 y 2 ) k 0， 4k(k21)k2g4k k2 0，解得k 4或k 0（舍去） ， 又k 4 1， 直线l存在，其方程为x4y 4 0 7、 设双曲线 y

10、2x2 a2 3 1的两个焦点分别为F 1、F2 ， 离心率为 2. （I） 求此双曲线的渐近线l1、l2 的方程； （II）若A、B 分别为l1、l2上的点，且2|AB| 5|F 1F2 |，求线段AB 的中点 M 的轨迹方 程，并说明轨迹是什么曲线； （III）过点N(1，0)能否作出直线l，使l与双曲线交于 P、Q 两 点，且OP OQ 0.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由. 解： （I） e 2，c2 4a2 c2 a2 3，a 1，c 2 双曲线方程为y2 x2 3 1，渐近线方程为y 3 3 x 4 分 （II）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点Mx，y

11、 2|AB| 5|F 1F2 | |AB| 5 2 |F 5 1F2 | 2 2c 10 (x 1 x 2 )2 (y 1 y 2 )2 10 又y 3 1 3 x ，y 3 12 3 x 2 ，2x x 1 x 2 ，2y y 1 y 2 y 33 1 y 2 3 (x 1 x 2 )，y 1 y 2 3 (x 1 x 2 ) 2 3(y 1 y 2 ) 2 3 3 (x 1 x 2 ) 10 3(2y)2 1 3 (2x) 100，即 x2 75 3y2 2 25 1 则 M 的轨迹是中心在原点， 焦点在 x 轴上， 长轴长为10 3， 短轴长为 10 3 3 的椭圆. （9 分） （II

12、I）假设存在满足条件的直线l 设l：y k(x 1)，l与双曲线交于P(x1，y1)、Q(x2，y2) OP OQ 0 x 1x2 y 1 y 2 0 x 1 x 2 k2(x 1 1)(x 2 1) 0 x 1x2 k2x 1 x 2 (x 1 x 2 ) 1 0(i) y k(x 1 由 ) 2 2 x 得(3k 1)x2 6k2x 3k2 3 0 y 3 1 由（i） （ii）得k2 3 0 6k23k2 则x 3 1 x 2 3k21 ，x 1 x 2 3k21 (ii) k 不存在，即不存在满足条件的直线l. 8、设 M 是椭圆C : x2y2 12 4 1上的一点，P、Q、T 分别

13、为 M 关于 y 轴、原点、x 轴的对称点， N 为椭圆 C 上异于 M 的另一点，且 MNMQ，QN 与 PT 的交点为 E，当 M 沿椭圆 C 运动时， 求动点 E 的轨迹方程 解：设点的坐标M(x 1, y1),N(x2 , y 2 )(x 1 y 1 0),E(x, y), 则P(x 1, y1),Q(x1,y1),T(x1,y1), 1 分 x2 1 y2 1 12 4 1,L L L L (1) y2 3 分由（1）（2）可得k 1 x2 MN k QN 22 3 .6 分 12 4 1.L L L L (2) 又MNMQ ， k x 1 MN k MQ 1,k MN y , 所

14、以 k y 1 QN 3x . 直 线QN的 方 程 为 11 y y 1 3x (x x 线 PT 的 方 程 为y x 1x.从 而 得x 11 1) y1 ， 又 直 2 x 1, y 2 y 1. 所 以 1 y 1 xx, y 代入（1）可得 x2 1 2 1 2y. 3 y21(xy 0),此即为所求的轨迹方程. 9、已知：直线 L 过原点，抛物线 C 的顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上。若点 A（-1，0）和 点 B（0，8）关于 L 的对称点都在 C 上，求直线 L 和抛物线 C 的方程 分析：曲线的形状已知，可以用待定系数法设出它们的方程，L：y=kx(k0),C:y2=2

15、px(p0). 设 A、B 关于 L 的对称点分别为A/、B/，则利用对称性可求得它们的坐标分别为：A/ （ k212k （ 16k8(k21) / k21 , k 1 ） ， B/ 2k21 , k21 ） 。 因为 A、 B/均在抛物线上， 代入， 消去 p， 得： k2-k-1=0. 解得：k= 152 54 5 2 ,p= 5 .所以直线 L 的方程为：y= 15 2 x,抛物线 C 的方程为 y2= 5 x. 10、已知椭圆 x2y2 a2 b2 1(a b 0)的左、右焦点分别是F1（c，0） 、F2（c，0） ，Q 是椭圆 外的动点，满足| F 1Q| 2a. 点 P 是线段 F

16、1Q 与该椭圆的交点，点 T 在线段 F2Q 上，并且满足 PT TF c 2 0,|TF 2 | 0.（）设x为点 P 的横坐标，证明| F 1P | a a x； （）求点 T 的轨 迹 C 的方程； （）试问：在点 T 的轨迹 C 上，是否存在点 M，使F1MF2的面积 S=b2.若存 在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由. （）证法一：设点 P 的坐标为(x, y). 由 P(x, y)在椭圆上，得 2222 b2 | F(x c) y(x c) b 2 1P | a2 x (a c a x)2. 由x a,知a c a x c a 0，所以| F P | a c 1 a x

17、.3 分 证法二：设点 P 的坐标为(x, y).记| F 1P| r1,| F2 P| r 2 , 则r 2 1 (x c)2 y2,r 2 (x c)2 y . 由r4cx,得| F c 1 r 2 2a,r2 1 r2 2 1P | r1 a a x. 证法三：设点 P 的坐标为(x, y).椭圆的左准线方程为a c a x 0. 由椭圆第二定义得 | F 1P | c，即| F ca2c 1P | | x | a x |. | x a2a aca c | 由x a,知a c a x c a 0，所以| F c 1P | a a x.3 分 （）解法一：设点 T 的坐标为(x, y).

18、当| PT | 0时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上. 当|PT | 0且|TF 2 | 0时，由| PT |TF 2 | 0，得PT TF 2 . 又| PQ| PF 2 |，所以 T 为线段 F2Q 的中点. 在QF1F2中，|OT | 1 2 | F 1Q | a ，所以有x2 y2 a2. 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是x2 y2 a2.7 分 解法二：设点 T 的坐标为(x, y).当| PT | 0时，点（a，0）和点（a，0）在轨迹上. 当|PT | 0且|TF 2 | 0时，由PT TF 2 0，得PT TF 2 . 又| PQ| PF 2 |，所以 T 为线段 F

19、2Q 的中点. x c 设点 Q 的坐标为（x, y） ，则 x 2 , y y 2 . 因此 x 2xc, y 2y. 由| FQ| 2a得(x c)2 y 2 4a2 1 . 将代入，可得x2 y2 a2. 综上所述，点 T 的轨迹 C 的方程是x2 y2 a2.7 分 （）解法一：C 上存在点 M（x 2 0 , y 0 ）使 S=b的充要条件是 x 2 y2 a2 00 , 1 2 2c | y 2 0 | b . 由得| y b2 b2 0 | a，由得| y 0 | c . 所以，当a c 时，存在点 M，使 S=b2； 当 2 a b 时，不存在满足条件的点M.11分 c 当a

20、b2 c 时，MF 1 (c x 0 ,y 0 ),MF 2 (c x 0 ,y 0 )， 由MF 22222 1 MF 2 x 0 c y 0 a c b2， MF 1 MF 2 | MF 1 | MF 2 |cosF 1MF2 ， S 1 2 | MF 1 | MF 2 |sinF 1MF2 b2，得tanF 1MF2 2. 解法二：C 上存在点 M（x0, y0）使 S=b2的充要条件是 x 22 0 y 0 a2, 1 2 2c | y 2 0 | b . 由得| y b2 0 | c . b4b2b2 上式代入得x22 0 a c2 (a c )(a c ) 0. 于是，当a b2

21、时，存在点 M，使 S=b2 c ； 当 b2 a 时，不存在满足条件的点M.11分 c 当 2 a b c 时，记k k y 0 y 0 1F1M x ,k 2 k F2M ， 0 cx 0 c 由| F 1F2 | 2a,知F 1MF2 90，所以 tanF k 2 1MF2 | k 1 | 2.14 分 1 k 1k2 11、设抛物线C : y x2的焦点为 F，动点 P 在直线l : x y 2 0上运动，过 P 作抛物线 C 的两条切线 PA、PB，且与抛物线 C 分别相切于 A、B 两点.（1）求APB 的重心 G 的轨迹方 程； （2）证明PFA=PFB. 解： （1）设切点 A

22、、B 坐标分别为(x,x2,x2 0 )和(x 11 )(x 1 x 0 )， 切线 AP 的方程为：2x 2 0 x y x 0 0; 切线 BP 的方程为：2x 2 1 x y x 1 0; 解得 P 点的坐标为：x x 1 P x 0 2 , y P x 0 x 1 所以APB 的重心 G 的坐标为 x x 1 x P G x 0 3 x P ， y yy 2 2 0 1 y P x 0 x2 1 x 0 x 1 (x 0 x 1 )2 x 0 x 1 4x P 3 3 3 y p G 3 , 所以y 2 p 3y G 4x G ，由点 P 在直线 l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程

23、为： x (3y 4x2) 2 0,即y 1 3 (4x2 x 2). （2）方法 1：因为FA (x 2 1x 0 x 1 0 ,x 0 4 ),FP ( 2 ,x 1 2 1 0 x 1 4 ),FB (x 1,x1 4 ). 由于 P 点在抛物线外，则| FP| 0. x 0 x 1xx 1 2 11 0 ( 0 x 1 )(x 0 )x 0 x 1 cosAFP FPFA 244 | FP| FA| 4 , | FP|x 22 1| FP| 0 (x 0 4 )2 x 0 x 1 x (x 1 2 11 10 x 1 )( 同理有cosBFP FPFB 24 x 1 4 )x 0 x

24、1 | FP | FB | | FP |x 22 1 4 , | FP | 1 (x 1 4 )2 AFP=PFB. 方法 2：当x1x0 0时,由于x1 x0,不妨设x0 0,则y0 0,所以 P 点坐标为( x 1 2 ,0)， x2 1 1 则 P 点到直线 AF 的距离为：d | x 1 |1 1 4 2 ;而直线BF的方程: y 4 x x, 1 即(x2 1 1 )x x 1 4 1 y 4 x 1 0. | (x2 1 xx 1 | x | 1 )1 所以 P 点到直线 BF 的距离为：d 2 2 1 4 |(x2 1 )1 4 42 | x 1 | (x2 1 1 4 )2 (

25、x 1 )2 x2 1 2 1 4 所以 d1=d2，即得AFP=PFB. x2 1 当x 10 1 x 0 0时，直线 AF 的方程：y 4 4 x (x 0),即(x2 0 1 )x x 0 y 1 x 0 0, 0 044 x2 1 直线 BF 的方程：y 11 4 4 x (x 0),即(x2 1 1 )x x 1 y 1 x 1 0, 1 044 所以 P 点到直线 AF 的距离为： | (x2 1x 0 x 1 2 1x x 1 2 1 d 0 1 4 )( 2 ) x 0 x 1 4 x 0 |0)(x 2 0 4 ) | x 0 x 1 | ， 同理可得到 P (x2 1 2

26、2 1 2 0 4 )2 x 0 x 0 4 点到直线 BF 的距离d | x 1 x 0 | 2 2 ，因此由 d1=d2，可得到AFP=PFB. 二、中点弦问题： 中点弦问题： 12、已知椭圆 x2 2 y21， （1）求过点P 1 1 2 ， 2 且被P平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率 为 2 的平行弦的中点轨迹方程； （3） 过A2， 1引椭圆的割线， 求截得的弦的中点的轨迹方程； （4） 椭圆上有两点P、Q，O为原点，且有直线OP、OQ斜率满足k 1 OP k OQ 2 ，求线段PQ中 点M的轨迹方程 分析：分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法 解：解：设

27、弦两端点分别为M x 1 ，y 1 ， Nx 2，y2 ，线段MN 的中点Rx，y，则 x2 1 2y2 1 2，得x1 x2 x 1 x 2 2y 1 y 2 y 1 y 2 0 x 2y2 2 2 2 2， 由 题 意 知x 1 x 2 ， 则 上 式 两 端 同 除 以x 1 x 2 ， 有 x 1 x x x y 1 y 2 2 2x， 12 2y 1 y 2 y x 0， 1 x 2 1 y 2 2y， 将代入得x2y y 1 y 2 x 0 1 x 2 （1）将x 11y y 2 2 ，y 2 代入，得 1 x 1 ，故所求直线方程为： 2x4y3 0 1 x 2 2 将代入椭圆方

28、程x2 2y2 2得6y26y 1 4 0， 3646 1 4 0符合题意， 2x4y3 0为所求 （2）将 y 1 y 2 x 2代入得所求轨迹方程为：x4y 0 （椭圆内部分） 1 x 2 （3） 将 y 1 y 2 x x y 1 代入得所求轨迹方程为： x22y22x2y 0 （椭圆内部分） 12 x2 （4）由得： x2 x2 12 2 y2 2 1 y 2 2 ，将平方并整理得 x2 2 ， y2 2 1 x 2 4x22x 1x2 ， 1 y 2 4y22y 1 y 2 ， 将代入得： 4x22x 1x2 4 4y22y 1 y 2 2 ， 再将y 1 2 x ： 2x2 x 2

29、 1 1 y 2 1x2 代入式得 1x2 4y 2 2 x 1x2 2， 即 y2 x2 1 1 2 此即为所求轨迹方程当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决 22 1313 、 椭 圆C: x a2 y b2 1(a b 0) 的 两 个 焦 点 为F1,F2, 点P在 椭 圆C上 ， 且 PF 414 1 F 1F2 ,| PF 1 | 3 ,| PF 2 | 3 .（） 求椭圆 C 的方程；（） 若直线 l 过圆 x2+y2+4x-2y=0 的圆心 M，交椭圆 C 于A,B两点，且 A、B 关于点 M 对称，求直线 l 的方程. 解法一：解法一：()因为点 P 在椭圆 C

30、上，所以2a PF 1 PF 2 6，a=3. 在 RtPF1F2中，F 1F2 PF 2 2 PF 2 1 2 5,故椭圆的半焦距 c=5, 从而 b2=a2c2=4,所以椭圆 C 的方程为 x2 9 y2 4 1. ()设 A，B 的坐标分别为（x1,y1） 、 （x2,y2）.由圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心 M 的 坐标为（2，1）.从而可设直线 l 的方程为y=k(x+2)+1, 代入椭圆 C 的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k27=0. 因为 A，B 关于点 M 对称.所以 x 1 x 2 2 18k29k 49k2 2. 解得k

31、 8 9 ，所以直线l 的方 程为y 8 9 (x 2) 1,即 8x-9y+25=0.(经检验，符合题意) 解法二：解法二：()同解法一. ()已知圆的方程为（x+2）2+(y1)2=5,所以圆心 M 的坐标为（2，1）. 设 A，B 的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).由题意 x1x2且 22 x 1 9 y 1 4 1, 22 x 2 y 9 2 4 1, -得 (x 1 x 2 )(x 1 x 2 )(y 1 y 2 )(y 1 y 9 2 ) 4 0. 因为 A、B 关于点 M 对称，所以 x1+ x2=4, y1+ y2=2, 代入得 y 1 y 2 x 8 ，即直线 l

32、的斜率为 8 ， 1 x 2 99 所以直线 l 的方程为 y1 8 y2x2 9 （x+2） ，即 8x9y+25=0.(经检验，所求直线方程符合题意. 14、已知椭圆 9 2 a2 b2 1(a b 0)的一个焦点F 1(0, 2 2) ，对应的准线方程为y 4 .（1） 求椭圆的方程； （2）直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N，且线段 MN 恰被点P 1 3 2 , 2 平分， 求直线 l 的方程. c 2 2 2 解： （1）由 a 9 2 得a 3,b 1 c4 a2 b2c2 . 即椭圆的方程为x2 y2 9 1. （2）易知直线 l 的斜率一定存在，设 l：y 3 2 k 1

33、 k3 x 2 , 即y kx 2 2 . k 设 M（x 1, y1） ，N（x2, y2） ，由 y kx 2 3 2 , 得(9k2)x2(3k k2)x k2 3 k 27 0. 2424 x2 y 9 1. x1、x2为上述方程的两根，则 (3k k2)24(9k2) k2327 4 2 k 4 0 x 3k k2 1 x 2 9k2 . MN 的中点为P 1 2 , 3 2 ，x 1 3k k2 1 x 2 2 2 1. 9k2 1. 3k k2 9k2，解得 k=3. 代入中， 1824(99) 9 4 9 27 2 4 182 0 直线 l：y=3x+3 符合要求. 、设F x

34、2y2 15 3 1 ,F 2 分别是椭圆 C：a 2 b2 1(a b 0)的左右焦点，(1)设椭圆 C 上的点( 3, 2 ) 到F 1 ,F 2 两点距离之和等于 4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设 K 是（1）中所得椭圆上的 动点，求线段KF 1 的中点 B 的轨迹方程；(3)设点 P 是椭圆 C 上的任意一点，过原点的直线L 与 椭圆相交于 M，N 两点，当直线 PM ，PN 的斜率都存在，并记为kPM ,K PN 试探究kPM K PN 的值是否与点 P 及直线 L 有关，并证明你的结论. 2 ( 3 解： （1）由于点( 3, 3( 3) 2 )2 2 )在椭圆上， a2

35、 b2 12a=4,椭圆 C 的方程为 x2y2 4 3 1焦点坐标分别为（-1，0）， （1，0） KFK(2x 1,2y)把 K 的坐标代入椭圆 x2y2 （2）设 1 的中点为 B（x, y）则点 4 3 1中得 (2x1)2(2y 4 )2 3 1线段KF 1 2 y2 1 的中点 B 的轨迹方程为(x 2 ) 3 1 4 （3）过原点的直线 L 与椭圆相交的两点 M，N 关于坐标原点对称 设M(x 0 ,y 0 ) N( x 0 ,y 0 ),p(x,y)M,N,P在椭圆上，应满足椭圆方程，得 x2 2 0 y 0 x2y2 y y 0 a2b2 1， a2 b2 1 k PM x

36、x K y y 0 PN 0 x x 0 kK y y 0 y y 0 y2 y 2 0 b2 PMPN = x x 2 = 0 x x 2 0 x x 0 a2 故：kPM K PN 的值与点 P 的位置无关，同时与直线L 无关 16、已知椭圆的一个焦点为F (0,2 2)，对应的准线为y 9 224 1 4 ，离心率e满足 3 ,e, 3 成 等比数列 （）求椭圆的方程； （）是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点A,B，且线 段AB恰好被直线x 1 2 平分？若存在，求出直线l的倾斜角的取值范围；若不存在，说明 理由 解 ： ()由题意知，e2 2 482 2 3 3 9 ，所以e 3

37、 设椭圆上任意一点P的坐标为(x, y)，则由椭圆的第二定义得， x2 (y 2 2)2 2 2y2 3 ，化简得x 9 1，故所求椭圆方程为x2 y2 2 9 1 y 9 2 4 （）设A(x1, y1),B(x2, y2)，AB中点M(x0, y0)，依题意有 x0 x 1 x 2 1 22 x 1 x 2 1 y y ，可得 y y 2 12 2y 0 y 0 1 2 2 若直线l存在，则点M必在椭圆内，故( 1 2 y3 3 2) 0 9 1，解得0 y 0 2 或 3 3 2 y 0 0 2 x 2 y 1 1 1(1) 将A(x 9 1 , y 1 ),B(x 2 , y 2 )代

38、入椭圆方程，有 2 x 2 2 y 2 9 1(2) (2)(1)得，(x (y y 1 )(y 2 y 1 ) 2 x 1 )(x 2 x 1 )2 9 0， 故k y 2 y 1 AB x 9(x 2 x 1 ) 9(1) ，所以y 9 0 ， 2 x 1 y 2 y 1 2y 0 2k AB 则有0 9 2k 3 3 或 3 3 9 2k 0， AB 22 AB 解得k AB 3或k AB 3， 故存在直线l满足条件，其倾斜角( 3 , 2 2 )( 2 , 3 ) 三、定义与最值：三、定义与最值： 17、已知 F 是椭圆5x29y2 45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A(1,1)是一

39、定点 （1）求PA 3 2 PF的最小值，并求点 P 的坐标； （2）求 PA PF 的最大值和最小值 PA 3 解:(1)由椭圆的第二定义转化知 2 PF 的最小值是 11 2 ，此时 P( 6 5 5 ,1)； (2)依题意，由椭圆的第二定义知PA PF PA (6 PF 2 ) 6(PA PF 2 ) PA PF2 AF222 PA PF22 6 2 PA PF 62(当且仅当P、A、F 2三点共线时取) 、设 F1、F2分别是椭圆 x2 18 y21的左、右焦点，若 P 是该椭圆上的一个动点， （）求 u PF uu ru PF uu r 4 1 2 的最大值和最小值;（）求PF 1

40、PF 2 的最大值和最小值 解：易知a 2, b 1, c 3，所以F 1( 3, 0), F2 ( 3, 0). 设 P（x, y） ，则 u PF uu r uuu r 1 PF 2 ( 3 x, y)( 3 x, y) x2 y23 x21 x2 3 1 (3x2 4 8). 因为x2, 2，故当 x=0，即点 P 为椭圆短轴端点时， u PF uur uuu r 4 1 PF 2 有最小值 当x 2，即点P为椭圆长轴端点时， u PF uur uuu r -2. 1 PF 2 有最大值 1. 19、若双曲线过点(2, 6)，其渐近线方程为y 2x.（I）求双曲线的方程; （II）已知A

41、(3,2)，B( 3,0),在双曲线上求一点P,使 PA 3 PB 的值最小 3 解： （）x2 y2 1（II）P( 3,2),最小值为3 3 2 2 2 3 20、以椭圆 x 12 y 3 1的焦点为焦点，过直线l：x y 9 0上一点M作椭圆，要使所作椭 圆的长轴最短，点M应在何处？并求出此时的椭圆方程 分析：分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点 到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决 解：解：如图所示，椭圆 x2y2 12 3 1的焦点为F 1 3， 0，F 2 3， 0 点F1关于直线l：x y 9 0的对

42、称点F的坐标为（ 9，6） ，直线 FF 2 的方程为 x2y 3 0 解方程组 x2y3 0 得交点M的坐标为（5，4） 此时 x y9 0 MF 1 MF 2 最小 所求椭圆的长轴：2a MF 1 MF 2 FF 2 6 5，a 3 5，又c 3， b a c 3 5 2 3236因此，所求椭圆的方程为 x2 y2 2221 21、已知动点 P 与双曲线 x2 4536 2 y2 3 =1 的两个焦点 F1、F2的距离之和为 6 （）求动点 P 的轨迹 C 的方程； （）若PF 1 PF 2 =3，求PF1F2的面积； （）若已知 D(0,3)，M、N 在轨迹 C 上且DM=DN，求实数的

43、取值范围 解： x2 9 + y2 4 =1；2； 1 5 ,5 22、E、F是椭圆x2 2y2 4的左、右焦点，l是椭圆的右准线，点Pl，过点E的直线交 椭圆于A、B两点（. 1） 当AE AF时， 求AEF的面积；（2） 当AB 3时， 求AF BF 的大小； （3）求EPF的最大值 解： （1） mn 4 1 m2 n28 S AEF 2 mn 2 y A （2）因 P AE AF 4 AB AF BF 8， BE BF 4 M O Fx 则AF BF 5. B E （3）设P(2 2,t)(t 0) tanEPF tan(EPM FPM) (3 2 t 2 t )(1 3 222 2t

44、2 23 t2 ) t26 t 6t1 3 ， 当t 6时，tanEPF 3 EPF 30o 3 23、已知定点A(0,1)、B(0,1)、C(1,0)，动点P满足：AP BP k | PC| 2.（1）求动点 P 的轨迹方程，并说明方程表示的图形； （2）当k 2时，求| AP BP |的最大值和最小 值 解：(1)设动点P的坐标为(x, y)， 则AP (x, y 1) ，BP (x, y 1)，PC (1 x, y). AP BP k | PC | 2，x2 y21 k(x 1)2 y2， 即 (1 k )x2 (1 k )y2 2kx k 1 0. 若k 1，则方程为x 1，表示过点(

45、1,0)且平行于y轴的直线. 若k 1，则方程为(x k 2 1 1 k ) y2 (1 k)2， 表示以( k1 1k ,0)为圆心，以为半径 |1 k | 的圆. (2)当k 2时，方程化为(x 2)2 y21. AP BP (x, y 1) (x, y 1) (2x,2y) | AP BP | 2 x2 y2. 又(x 2)2 y21， 令x 2 cos, y sin，则 | AP BP | 2 x2 y2 2 5 4cos 当cos1 时，| AP BP |的最大值为6，当cos 1时，最小值为2. 、B 分别是以双曲线 x2y2 24、点A 16 20 1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭

46、圆C 长轴的左、右端 点，点 F 是椭圆的右焦点，点 P 在椭圆 C 上，且位于 x 轴上方，PAPF 0（1）求椭圆 C 的的方程； （2）求点 P 的坐标； （3）设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点，点 M 到直线 AP 的距离 等于|MB|，求椭圆上的点到 M 的距离 d 的最小值 解（1）已知双曲线实半轴 a1=4，虚半轴 b1=2 5，半焦距 c1=16 20 6， 椭圆的长半轴 a2=c1=6，椭圆的半焦距 c2=a1=4，椭圆的短半轴b2= 624220， 所求的椭圆方程为 x2y2 36 20 1 （2）由已知A(6,0),F(4,0)，设点 P 的坐标为(x, y)，则 AP

47、 (x6, y),FP (x4, y),由已知得 x2 y2 1 3620 (x6)(x4) y2 0 则2x29x 18 0，解之得x 3 2 或x 6， 由于 y0，所以只能取x 35 2 ，于是y 2 3，所以点 P 的坐标为 3 2 , 5 2 3 9 分 （3）直线AP : x 3y 6 0，设点 M 是(m,0)，则点 M 到直线 AP 的距离是 m 6 2 ，于 是 m 6 2 m 6， 又点 M 在椭圆的长轴上，即6 m 6m 2 当m 2时，椭圆上的点到M(2,0)的距离 2 d2 (x2)2 y2 x24x420 5x 9 4 9 (x 9 2 )215 又6 x 6当x

48、9 2 时，d 取最小值 15 25 、 已 知 在 平 面 直 角 坐 标 系xoy中 ， 向 量j (0,1),OFP的面积为2 3， 且 OF uuu r uu FP r t,OM uuu r 3 uu u rr uu vuu v 3 OP j .（I）设4 t 4 3, 求向量OF与FP的夹角的取值范围； （II） 设 以 原 点 O 为 中 心 ， 对 称 轴 在 坐 标 轴 上 ， 以 F 为 右 焦 点 的 椭 圆 经 过 点 M ， 且 |OF | c,t ( 3 1)c2,当|OP|取最小值时，求椭圆的方程. 解： （1）由 2 3 1 |OF | FP |sin,得|OF

49、| FP | 4 3 ,由cos OF FP OF | FP | t sin， 2sin | 4 3 得 tan 4 3 .3 分 t 4 t 4 31 tan30, 夹角的取值范围是（ 4 , 3 ） 6 分 （2）设P(x0, y0),则FP(x0c, y0),OF (c,0). u OF uu r u FP uu r (x 0 c, y 0 )(c,0) (x 0 c)c t ( 3 1)c2x 0 3c S 1 uuu r 4 3 OFP 2 |OF | y 0 | 2 3y 0 c 8 分 | u OP uu r |x2 2( 3c)2( 4 3 )22 3c 4 3 0 y 0 2

50、 610 分 cc 当且仅当 3c 4 3 c ,即c 2时,|OP |取最小值2 6,此时,OP (2 3,2 3) OM 3 (2 3,2 3) (0,1) (2,3) 3 或OM 3 3 (2 3,2 3)(0,1) (2,1) 12 分 椭圆长轴2a (2 2)2 (30)2(2 2)2 (30)2 8a 4,b212 或2a (22)2(10)2(22)2(10)21 17a 1 17 2 1 17 2 ,b 2 x2 故所求椭圆方程为 y2 16 12 1.或 x2 9 17 y2 1 17 1 14 分 22 26、已知点F(0,1)，一动圆过点F且与圆x2 (y 1)2 8内切

51、 （）求动圆圆心的轨迹C的方程； （）设点A(a ,0)，点P为曲线C上任一点，求点A到点 P距离的最大值d(a)； （）在0 a 1的条件下，设POA的面积为S 1（ O是坐标原点，P 是曲线C上横坐标为a的点） ，以d(a)为边长的正方形的面积为S 2 若正数m满足S1 mS 2 ， 问m是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由 解（）设动圆圆心为M(x, y)，半径为r，已知圆圆心为E(0,1)， 由题意知| MF | r，| ME | 2 2 r，于是| ME | | MF | 2 2， 所以点M的轨迹C是以E、F为焦点，长轴长为2 2的椭圆，其方程为x2 y2 2

52、 1 （）设P(x, y)，则| PA|2 (x a)2 y2 (x a)2 2 2x2 x2 2ax a2 2 (x a)2 2a2 2，令f (x) (x a)2 2a2 2，x1,1，所以， 当 a 1，即a 1时f (x)在1,1上是减函数，f (x) 2 max f (1) (a 1) ； 当1 a 1，即1 a 1时，f (x)在1,a上是增函数，在a,1上是减函数，则 f (x) max f (a) 2a2 2； 当a 1，即a 1时，f (x)在1,1上是增函数，f (x) (a 1)2 max f (1) 1 a ,a 1 所以，d(a) 2a2 2 , 1 a 1 1 a

53、,a 1 （）当0 a 1时,P(a, 22a2),于是S 2 1 1 2 a 2(1 a ),S 2 2a2 2,（12 分） 若正数m满足条件，则 1a 2(1 a2 2 a 2(1 a2) m(2a2 2)，即m ) 4(a21) ， m2 a2(1a2) 8(a21)2 ，令f (a) a2(1 a2) 8(a21)2 ，设t a21，则t (1, 2)，a2 t 1， 2 于是f (a) (t 1)(2t)1 t23t 2 1 23 8t2 8 t2 8 t2 t 1 11 3 1 4 t 4 64 ， 所以，当 1 t 3 4 ，即t 4 3 (1, 2)时， f (a) 1 ma

54、x 64 ， 即m2 111 64 ，m 8 所以，m存在最小值 8 27、已知点 M（-2，0） ，N（2，0） ，动点 P 满足条件|PM|-|PN|=2 2. 记动点 P 的轨迹为 W. （1）求 W 的方程； （2）若 A、B 是 W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OAOB的最小值 （1）由|PM|-|PN|=2 2知动点 P 的轨迹是以 M，N 为焦点的双曲线的右支，实半轴长a=2. 又半焦距 c=2，故虚半轴长 b=c222. 所以 W 的方程为 x2y2 2 2 1，x2. （2）设 A、B 的坐标分别为（x1，y1） ， （x2，y2）. 当 ABx 轴时，x1=x2，y1=

55、y2，从而OAOB=x1x2+y1y2=x2 1 y2 1 2. 当 AB 与 x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为 y=kx+m，与 W 的方程联立，消去y 得 （1-k2）x2-2kmx-m2-2=0， 故 x 2kmm2 2 1+x2= 1k2 ，x1x2= k21 ， 所以OAOB=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m） （kx2+m）=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2 = (1 k2)(m2 2)2k2 k21 m2 1k2 m2 2k2 24 k21 2 k21 . 又因为 x1x20，所以 k2-10，从而OAOB2. 综上，当 ABx 轴时，OAOB取得最小

56、值 2. 28、一束光线从点 F 1 (1, 0)出发，经直线l : 2x y 3 0上一点P反射后，恰好穿过点 F 2 (1, 0) （）求点F 1关于直线 l的对称点F 1 的坐标； （）求以F 1、 F 2 为焦点且过点P的 椭圆C的方程； （）设直线l与椭圆C的两条准线分别交于A、B两点，点Q为线段AB上的 动点，求点Q到F2的距离与到椭圆C右准线的距离之比的最小值，并求取得最小值时点Q的 坐标 解：解： （）设F n 1 的坐标为(m,n)，则 m 1 1 2 且2 m1 2 n 2 3 02 分 解得m 9 5 ,n 2 5 ，因此，点 F 9 2 1 的坐标为( 5 , 5 ) 4 分 （） PF 1 PF 1 ，根据椭圆定义， 得2a | PF 1| | PF2 | F 1 F 2 |( 9 5 1)2 ( 2 5 0)2 2 2，5 分 a 2，b 21 1 所求椭圆方程为 x2 2 y21 7 分 （） a2 c 2，椭圆的准线方程为x 2 8 分 设点Q的坐标为(t , 2t 3) (2 t 2),d 1 表示点Q到F2的距离，d 2 表示点Q到椭圆的 右准线的距离 则d1(t 1)2(2t 3