第四章时变电磁场

1、时变情况下，电场和磁场相互关联，构成统一的电磁场 时变电场和磁场能量在空间中不断相互转换，并以电磁波动的形式从一个地方传递到另外一个地方,第四章 时变电磁场,时变电场和磁场满足的方程波动方程 时变电磁场的辅助函数标量电位和矢量磁位 时变电磁场的能量守恒定律 正弦规律变化的时变场时谐电磁场,本章主要内容：,4.1 波动方程,波动方程反映了时变电磁场中电场场量和磁场场量在空间中传播时所遵循的规律。波动方程可由麦克斯韦方程组推出。,波动方程的建立（无源区） 在无源空间中，电荷和电流处处为零，即0，J0，电磁场满足的麦克斯韦方程为,均匀无耗媒质中无源区域波动方程的推导：,无源区电场波动方程,同理，可以

2、推得无源区磁场波动方程为：,从上方程可以看出：时变电磁场的电场场量和磁场场量在空间中是以波动形式变化的，因此称时变电磁场为电磁波。,通过解波动方程，可以求出空间中电场场量和磁场场量的分布情况。但需要注意的是：只有少数特殊情况可以通过直接求解波动方程求解。,4.2 电磁场的位函数,4.2.1 矢量位和标量位,令： ，可得,故：,说明： 1、时变场电场场量和磁场场量均为时间和空间位置的函数，对应的矢量位和标量位也为时间和空间位置的函数。,时变场位函数同时包括标量位和矢量位,矢量位和标量位的定义,不确定性产生原因：未规定 的散度。,满足下列变换关系的两组位函数 和 能描述同一个电磁场问题。,2、由于

3、时变场电场和磁场为统一整体，因此其对应的标量位和矢量位也是一个统一的整体。,位函数的不确定性,即,也就是说，对一给定的电磁场可用不同的位函数来描述。,为任意可微函数,由于在定义中矢量位函数仅仅确定了其旋度式，而没有确定散度式，因此满足定义的矢量位函数有无限多个。为了使时变电磁场场量和动态位之间满足一一对应关系，须引入额外的限定条件规范条件。 对于时变场来说，动态位函数常用的规范条件为洛伦兹规范条件,洛伦兹规范条件,洛伦兹规范条件的引入,思考：库仑规范条件和洛伦兹规范条件有何联系？,4.2.2 达朗贝尔方程,(4.2.7),引入洛伦兹规范条件，则方程简化为,(4.2.6),关于位函数和达朗贝尔方

4、程的讨论,引入动态标量位和矢量位可以简化电磁问题的求解： 原因：1、标量位和矢量位方程形式相同，解形式相同； 2、矢量位方向与电流元方向相同； 矢量位和标量位满足达朗贝尔方程，同时也须满足洛伦兹条件 从达朗贝尔方程可知：电荷是产生标量位的源，电流是产生矢量位的源 动态标量位和矢量位是以波动的形式随时间变化而变化的,4.3 电磁能量守恒定律,能量守恒定律是一切物质运动过程遵守的普遍规律，作为特殊形态的物质，电磁场及其运动过程也遵守这一规律。 本节将详细讨论电磁场的能量和能量守恒定律，引入重要的坡印廷矢量和坡印廷定理，分析讨论电磁场能量、电荷电流运动及电磁场做功之间的相互联系。,4.3.1 电磁场

5、能量密度和能流密度,电磁场的能量密度： 电磁场能量的空间分布用能量密度w来描述，它表示单位体积中电磁场的能量，为电场能量和磁场能量之和,电场能量密度：,磁场能量密度：,电磁场能量密度：,电磁场的能量流密度矢量： 电磁波电磁振荡定向运动伴随电磁场能量移动，其流动情况用电磁场能量流密度(能流密度)S表示，其数值为单位时间垂直流过单位面积的能量，方向为能量流动方向,4.3.2 坡应廷定理和坡印廷矢量,坡印廷定理的数学推导,坡印廷定理微分形式,将坡印廷定理微分形式在一定体积内进行积分，得,坡印廷定理积分形式,坡印廷定理的物理意义,设区域V中电磁场能量随时间减少，由于能量守恒，减少的能量可能通过边界 流

6、出，或因对V中电荷做功而消耗，即 减少量 = 流出量 + 消耗量,坡印廷定理物理意义：单位时间内流入体积V内的电磁能量等于体积V内增加的电磁能量与体积V内损耗的电磁能量之和。,坡印廷矢量（能流密度矢量）,表流入闭合面S的电磁功率，因此 为一与能量流密度有关的矢量，称为坡印廷矢量.,定义：坡印廷矢量（用符号 表示）,瞬时坡印廷矢量,坡印廷适量是描述时变电磁场中电磁能量传输的一个重要物理量,物理意义： 大小表示单位时间内通过垂直于能量传输方向的单位面积的电磁能量 方向即为电磁能量传输方向,上式中坡印廷矢量为时间t的函数，表示瞬时功率流密度。 公式中 表达式应为场量的瞬时表达式,关于坡印廷矢量瞬时形

7、式的说明：,时变电磁场的平均坡应廷矢量,对某些时变场，电场和磁场随时间呈周期性变化，此时求解一个周期内通过某个平面的电磁能量，才能反映电磁能量的传递情况。,平均坡印廷矢量：将瞬时形式坡印廷矢量在一个周期内取平均，用 表示，即：,注： 与时间t无关。,4.5 时谐电磁场,由傅立叶级数可知：在线性媒质中，正弦电磁波可以合成其他形式的电磁波。,时谐电磁场的概念,如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场也以同样的角频率随时间呈时谐变化。这种以一定角频率作时谐变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场。,研究时谐电磁场具有重要意义,时谐场易于激励，工程上时谐电磁场应用最多。广播

8、、电视和通信等的载波都是时谐电磁场。,任意的时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析方法展开为不同频率的时谐场的叠加。,4.5.1 时谐电磁场的复数表示,采用复数方法表示时谐电磁场，可使得大多数时谐电磁场问题的分析得以简化。,时谐场量的实数表示法（瞬时表示）,设 是一个以角频率 随时间t 作正弦变化的场量，它与时间的关系可以表示成,式中：A0为振幅、 为初始相位，与坐标有关。,1、实数表示表征场量随时间、空间变化规律，具有实际物理意义。,2、实数表示时间、空间变量无法分离，数学上处理较复杂。,关于场量实数（瞬时）表示法的说明：,由复变函数，知： ，则：,式中：,时谐场量的复数表示法,时谐电磁场场量

9、的复数表示法,在直角坐标系下，时谐电场可表示为：,式中： 为电场在x,y,z方向分量的幅度,为电场x,y,z分量的初始相位,式中,场量上加点表示该量为复数。,由前面分析，电场各分量可表示为：,因此时谐电场强度可表示为,由于所有场量表达式都有取实部运算，并都含有 项，为简化，以上两项作为缺省项，均不写。故电场的复数表达式为：,同理,复数式只是数学表示方式，不代表真实的场，没有明确物理意义。采用复数形式可以使大多数正弦电磁场问题得以简化 只有场量的瞬时表达形式才代表真实场，具有明确的物理意义,场量复数表达形式和瞬时（实数）形式相互转换,场量的复数形式：,场量的瞬时形式：,场量的复数形式转换为实数形

10、式的方法：,例 已知电场强度为，其中Exm和 kz为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。,解：,例 已知电场强度为，其中Exm和 kz为实常数。写出电场强度的瞬时矢量。,解：,4.5.2 复矢量的麦克斯韦方程组,很明显，对于时谐场,故由麦克斯韦方程组微分形式，可得：,为了简化书写，约定 写做 ，而 项则省略不写，则方程变为：,麦克斯韦方程组复数形式,对麦克斯韦方程组时谐形式的进一步说明,方程中各场量形式上是实数及源量均应为复数形式（为了简化书写而略写） 方程中虽然没有与时间相关的因子，时间因子 为缺省式子,有时没有书写出来 麦克斯韦方程组时谐形式只能用于时谐场（正弦场）,4.5.3 复介电常数,当

11、媒质为非理想介质时，介质的电导率为不为零的有限值，此时介质存在欧姆损耗，,式中：,等效复介电常数,存在欧姆损耗的介质,存在电极化损耗的介质,等效复介电常数,表征电极化损耗,表征欧姆损耗,存在电极化损耗和欧姆损耗的介质,电介质欧姆损耗正切角 定义：,介质损耗角,工程上为了方便描述导电媒质的损耗特性，引入媒质损耗正切角的概念。 电介质极化损耗正切角 定义：,讨论：,传导电流与位移电流之比。,媒质的导电性强弱与信号频率有关，是一个相对的概念。,例 海水电导率 ，相对介电常数 。求海水在 和 时的等效复介电常数。,解：,当 时,当 时,4.5.4 亥姆霍兹方程,时谐场所满足的波动方程即为亥姆霍兹方程。,在时谐场中，由于场量随时间呈正弦规律变化，则,令： ，则亥姆霍兹方程变为,则无源空间的波动方程变为：,说明：,1、亥姆霍兹方程的解为时谐场（正弦电磁波）；,2、对损耗媒质，其等效介电常数为复数则：,式中： 为复数。,4.5.5 时谐场的位函数,对时谐场，有 ，则其辅助为函数可表示为,洛伦兹规范条件变为：,达朗贝尔方程变为：,4.5.6 平均能流密度,对角频率为 的时谐场，其周期为：,对时谐场，平均坡印廷矢量可由场矢量的复数形式计算：,式中： 、 为场量的复数表达式；,为对场量 取复数共轭运算。,平均坡印廷矢量