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文档简介

1、1,5.3 不定积分的换元积分法,5.3.1 第一类换元法,5.3.2 第二类换元法,2,设所求的不定积分可以写成,如果，和都是连续函数，并 且容易求得的一个原函数，,5.3.1 第一类换元法,3,利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1)的正确性,4,可知公式(4.3.1)成立利用公式(4.3.1)来计算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分法,实际上，由,，,5,在凑微分时，常用到下列微分式子，熟悉它们有助于求不定积分,6,7,练习:填空题,8,9,再将代入，得,解设，则，即,例1求,所以,，,10,例2求,解被积函数可以写成 ，设，则，即因此,11,注意：在对变量替换比较熟练后，可以不

2、必写出新设的积分变量，而直接凑微分例如：,12,例3求,解,13,例4求,解,用类似的方法还可以求得,14,例5求,解由于，所以,15,例6求,解,16,解因为，而,所以,例7求,17,解法1,例8求,18,解法2,注意：本题利用不同解法所得到的结果在形式上有所不同但不难验证，它们仅相差一个常数,19,解因为，所以,例9求,20,21,例10求,解,(利用例9的结果),22,应用第一类换元法的常见的积分类型如下：,23,24,练习1,25,26,练习2,27,28,29,30,31,5.3.2 第二类换元法,如果不定积分不易直接应用基本积分表计算，也可以引入新变量，并选择代换，其中可导，且连续

3、，将不定积分化为,32,这类求不定积分的方法，称为第二换元法,33,例11求,解设，则，,应注意，在最后的结果中必须代入 ，返回到原积分变量,34,例12求,35,由，所以于是,36,利用本节例10的结果，得,例13求,解设 ，则 ， 所以,为了返回原积分变量，可由作出辅助三角形,37,所以,，,其中.,，,38,例14求,解设，则， ，于是,39,40,第二类换元法常常用于被积函数中含有根式的情形，常用的变量替换如下：,1.被积函数为，则令，其中为，的最小公倍数,2.被积函数为，则令 ,41,4.被积函数为，则令,3.被积函数为，则令,42,(1) .,(2) .,(3),本节一些例题的结果，可以当做公式使用将这些常用的积分

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