数学的味道--无穷.ppt

1、数学的味道无穷,吉林大学数学学院,李辉来,2007年5月,1.数数 2.点数与长度 3.完美与缺陷 4.分数维 5.Peano曲线 6.科克曲线,1 数数,数列就是“数数”。 首先来看两个数列: 1，2，3，n, 2，4，6， ，2n， ,正偶数与自然数的个数一样多！,怪,因为第一个数列的项有重复，所以第一个数列（正有理数）的“个数”不会比自然数的“个数”多。另一方面，自然数显然是正有理数的一部分，所以自然数的“个数”也不会比正有理数的“个数”多，因此，我们得到一个结论： 正有理数与自然数的“个数”一样多！,怪,2 点数与长度,例1 线段的点一样多,演示表明:两条线段长度不等,但是点数相等.,

2、怪,例2 封闭曲线的点一样多,演示表明:两个圆(甚至是封闭曲线)长度不等,但是点数相等.,怪,例3 圆周比直线多一点,演示表明:圆周恰好比直线”多”一个点. 而圆周是有限长,直线是无限长!,怪,我们可以得到体会： 点数与长度没有必然的关系,问题: 为什么事实与感觉不一样? 这种事实说明过去的知识是否有什么缺陷,才使得我们产生错觉? 为什么无穷多会出现如此令人惊讶的现象? 有理数能够”数”,那么无理数能否”数”? 实数能否”数”呢?,我们来看看历史的发展过程. 伽里略(1564-1642) 曾用意大利文写了两部著作: 关于托密勒和哥白尼两大世界体系的对话(1632)（天文学），关于两种新科学的对

3、话(1638)（物理学） 两部著作都采用了文艺复兴时期的绅士对话的形式。 萨尔维阿蒂见识多广的科学家 辛普利邱正统的亚里士多德学派人物,辛普利邱：“现在有一个我解决不了的难题。很清楚，由于我们可以有一条比另一条线段更长的线段，其中每一条都包含着无穷数目的点，所以我们就不得不承认，对一条线段和线段内的所有点来说，我们有比无限多还要大的东西，因为长线段上的无限的点比短线段上的无限的点要多。这种赋予一个无限的数量以大于无限的值的做法使我无法理解。” 萨尔维阿蒂：“这是当我们企图以有限的智力讨论无限，并赋予它我们给有限的东西同样的性质时所出现的困难。但是我认为这样做是错误的，因为我们对一个无限的量不能

4、说它大于、小于或等于另一个无限的量。要证明这一点，我进行了,推理，为了清楚起见，我将以向提出这种困难的辛普利邱提问的形式叙述这个问题。我认为你当然知道哪些数是平方数，而哪些数不是。” 辛普利邱：“我当然知道一个平方数是由某一个数自乘后得到的：4，9是平方数，它们分别由2，3自乘得到。” 萨尔维阿蒂：“很好，而你也知道乘积叫做平方数，而因子叫做根；另一方面，由两个不同的因子组成的数学不是平方数。因此，我说包括平方数和非平方数在内的所有数比单独的平方数多，对不对？” 辛普利邱：“当然是这样。” ,萨尔维阿蒂证明了自然数和它的平方数一样多， 但是他又说有一个问题解决不了：找不出0，1 区间的点与全体

5、自然数的一一对应。 从以上谈话可以看出： 在康托尔（Cantor,1845-1918）的集合论之前 创立之前, 伽里略已经对无限有了很好的理解。 辛普利邱不能理解出现了比无穷大还大的量的 现象。例如：区间0，2包含了0，1，0，2 中应该比0，1的点多。 由此可见，在16世纪，人们就已经注意到了无限 与有限的区别。 上述问题由康托尔建立的集合论加以解决。,问题: 为什么事实与感觉不一样? 这种事实说明过去的知识是否有什么缺陷,才使得我们产生错觉? 为什么无穷多会出现如此令人惊讶的现象? 有理数能够”数”,那么无理数能否”数”? 实数能否”数”呢?,上述问题由康托尔建立的集合论加以解决， 大家在

6、“实变函数”中可以学习这些内容。,这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按逆时针方向趋于顶点,这个运动表明： 当x沿直线趋于正无穷大时，圆周上对应的点按顺时针方向趋于顶点,演示表明：在直线上无论x是趋于 ，还是趋于 ，反映在圆周上显示的是，点沿着圆周分别按逆时针和顺时针都趋于一个共同的点顶点！,3 完美与缺陷,结论,应用,？,应用,既然圆周比直线“多”一点顶点，顶点对应于直线的两端（），因此在直线上来看待这个问题，我们希望有一个解决的办法。 实际上，如果在直线上设立一个“原点”，那么其左右两端也是对称的。因此我们把直线于原点处折叠过来，就可以建立正负数之间的一个一一对应，解决

7、了这个问题。请看演示,因此，我们得到无穷远处函数极限的关系如右：,应用,演示表明:圆周恰好比直线”多”一个点.那么将它们旋转，可以得到球面与平面的类似关系,因此，球面比平面“多”一点。 球面：封闭、有限面积、多个；无边界 平面：开放、无限面积、一个；无边界 球面包含了平面 试问：1、直线在球面上是什么样？ 2、三角形在球面上是什么样？ 3、如果人生活在平面而不是球面上，会怎样呢？,1、直线在球面上是过顶点的圆.,结论:从球面上看,平面上所有直线都相交.,2、平面三角形是曲边三角形，内角和 大于180o.,结论:从球面上看,平面上所有直线都相交, 三角形内角和可能大于或小于180o . 从而产生

8、了非欧几里德几何.即非欧几何. 非欧几何的代表: 罗巴切夫斯基几何 黎曼非欧几何(双曲几何,即 三角形内角和180o).还有椭圆几何、抛物几何 、混合型几何和有限几何（只含有限多个点、 线、面）。 几何划时代的总结是1872年由克莱因和挪威 数学家李以群论的交换群来刻画，并把拓扑学 作为一门重要的集合学科。,几何与物理空间 人们注意并开始接受非欧几何是在Gauss生前 完成（1854），死后发表的论文（1855）之后。 许多数学家相信非欧几何也可以是物理空间中 的几何。事实上，单是有别的几何存在就已经 令人吃惊，但令人震惊的是你不在知道哪个是 正确的，或者究竟有没有正确的。 所有这些奇怪的几何

9、都可和欧氏几何媲美 甚至可以取而代之！,没有非欧几何就没有相对论！ 爱恩斯坦的广义相对论必须用一种黎曼的 非欧几何来描述这样的物理空间。 1947年由对视空间（从正常的有双目视觉 的人心理上观察的空间）所做的研究表明 这样的空间最好用罗巴切夫斯基几何来描述 实际上，欧氏几何和非欧几何在“细小范围” 内误差很小，在“浩大范围”（天文学）内差别就 明显了。,3、如果人生活在平面而不是球面上，会怎样呢？,见着了,哈,他俩可完了,这辈子可再也见不着了!,因此,有些事情就会失效了: 条条大路通罗马 殊途同归 走错了方向就可能回不来了 有情人不一定成眷属.因为可能见不着,可能约会实现不了,可能走错了路,可

10、能走错了方向,可能,所以,(平面)就差这么”一点”,你就可能犯不可挽救的错误. (球面)就有这么”一点”,就显得如此完美! 人类应该庆幸自己生活在”地球”上!生活在一个完美的”二维空间中”.爱恩斯坦相信空间是完美,因此空间是一个”球”!站在平面看球,一切都是”弯曲”的,那么站在球上看平面,一切也是”弯曲”的.,所以,(平面)就差这么”一点”,你就可能犯不可挽救的错误. (球面)就有这么”一点”,就显得如此完美! 人类应该庆幸自己生活在”地球”上!生活在一个完美的”二维空间中”.爱恩斯坦相信空间是完美,因此空间是一个”球”!站在平面看球,一切都是”弯曲”的,那么站在球上看平面,一切也是”弯曲”的.,无穷集合论数学基础,数学分析,线性代数,解析几何,概率统计,连续量,离散量空间结构,空间不变量,随机量,泛函分析,拓扑学,无穷维空间的结构与形式,空间形式,现代数学研究的基础,现代数学分支,科学的发现和发展在于： 善