量子力学笔记

1、量子力学量子力学量子力学量子力学一、量子力学实验基础一、量子力学实验基础一、量子力学实验基础一、量子力学实验基础一.卢瑟福实验： a粒子质量远大于电子，两者重心基本在a粒子上。 二体系有内部的相互作用，但由于它们的重心自由运动，所以电子对a粒子的作用不影响a粒子的运动。 当a粒子散射时，原子的正电荷部分受到排斥力，引起薄片晶格的振动。 2 .原子光谱是原子内部电子运动情节的反映。 光谱项t。 氢原子光谱的光谱是离散的，既不是由连续光谱也不是由基频和倍频组成的光谱，这一性质直接来源于原子中的电子运动具有能级的特性和光具有粒子性。 3 .通过光电效应实验无法用经典物理学说明的现象： (1)反向阻断

2、电压与入射光的强度无关；(2)反向阻断电压与入射光的频率呈线性关系；(3)电子的放出相对于光的照射几乎没有时间延迟。 4 .爱因斯坦方程：=T表示，金属电子吸收一部分光能得到的t的动能释放金属，是为了摆脱工作而与材料有关的。 5 .光子： (1)博特实验(W. Bothe experiment )表明各光能集中。 (2)赌博实验(L. Janossy experiment )显示了各光子落在何处是偶然事件，即电磁波是光子的概率振幅。 量子力学是包容性的，光子的运动受环境整体的影响。 爱因斯坦关系：=Ekp。 p和e画光子，k和单色波。 【注意：光有波粒二象性是指沿袭古典物理的语言。 光有波动性

3、意味着光的运动没有轨道光有粒子性意味着光和电子相互作用时就像粒子，不像典型的波场。 康普顿(A. H. Compton )效果应用静电子模型(目标原子的外层电子)。 康普顿波长： A mc 0242621. 0 2=。 在修正计算过程中，考虑了能量守恒(相对论力学)和动量守恒(矢量力学)，2 sin2 2=。 (1)关于原子内层的“束缚电子”，因为被原子核束缚，所以应该作为一体来看，“静电子模型”不成立。 光子不撞击整个原子，只是用自各儿改变方向。 因此，实验中出现了0=的成分。 (2)对于可见光，能量和动量小，目标原子的外层电子应该看作束缚电子，“静电子模型”不成立。 8 .德布罗伊关系(物

4、质表现波动性)是光的爱因斯坦关系的普及，显示了确定e和p的自由粒子连接着确定k的单色平面波。 实验证明了大卫逊-盖尔默(Davisson-Germer )电子衍射实验。 9 .稳定态是指能量的固有状态。 Bohr初等量子化理论的要点： (1)稳定概念(2)稳定态间的迁移概念(3)动量矩量子化的概念作为量子化条件表现出来。 Bohr理论的缺陷：理论应用于仅次于氢原子的氦原子原子时，结果与实验不一致。 关于氢原子，这个理论只求出发射谱线的频率，不求出发射谱线的强度。 10 .弗兰克赫兹实验：峰值的原因是阴极发射电子的能力与丝状体温度有关，丝状体温度越高，发射电子的能力越强，提高丝状体电压，丝状体温

5、度相应地上升，阴极发射电子的能力越强。 11 .氢原子的初步分析：由于电荷斥力有努力，这保证了电子绕核运动的动量矩守恒。 关于类氢原子，必须考虑其换算质量。 原子自旋磁矩(由于原子核自旋磁矩的电子自旋磁矩，因此可以近似为电子形成的电流乘以其周围面积)采用了nceaecscImz222=、上述(1093. 0 2 120 0=Gerg c e M，在此为CGS ()本章重点本章重点本章重点本章重点考虑(1)定理、定义的理解(2)精通实验，与实验相关的详细理解(3)修正运算中问题是否需要相对论，需要通过泰勒展开进行近似修正运算(4)是否在修正运算前对问题数据进行修正。 二、量子力学基本概念二、量子

6、力学基本概念二、量子力学基本概念二、量子力学基本概念一、量子力学三个基本特征：概率宽度描述量化现象关系不明显。 2 .德布罗意关系是x和t的函数，因为物质有波动性，波动是时空的过程。 由于虚数I出现在薛定谔方程中，所以是复数。 3 .暗宽度统一解释：在时刻t，粒子落入x点附近的xd 3卷的概率为xdtxkxdtxP 3 2 3 )、()、(=)。 归一化条件：=1)，(3 2 xdtx )。 不同)，(tx描绘了粒子不同的量子力学状态量子态。 【注意：一般来说，在讨论具有有限的静止质量的非相对性粒子的少数运动时，使用这种利用)，(在研究描绘tx量子态的图像适合的多个全同粒子系或者相对论的粒子时

7、，采用二次量化这一图像是很方便的。 4 .统一解释，根据波函数)，(tx相对于空间坐标，必须在任何地方连续.单值的.有限的.5.自由粒子存在的空间可以视为V=0的空间，由于在该空间粒子不受任何约束，粒子与空间各处等概率，即自由空间平移对称此时，为了满足对称性的原理(皮埃尔居里)，需要选择复数形式的平面波。 在非相对论的情况下，自由粒子2 2 p E=，从达布罗伊关系可以看出： 2 2 kE=。 此时的物理波报文分组的群速度是V k dk d Vg=、相位速度是2 V p E kdt dx u k=，并且因此物理波报文分组必然地被扩展。 对于相对论粒子，V c k u 2=。 (tx i，I=1

8、，2，如果表示在某一条件下可接受的波函数(量子态)，那么在相同条件下可接受的波函数()叠加原理建立，(txctxii=也是如此)，(tx所满足的演化规则应该是线性的差分方程，因为微观系统的统一校正特性和路径。 8 .平均位置)，()，(txxtxx=，(波函数在不同的表象下都是一致的。 平均运动量)，()，()，()，(tpptptx i txp=。 9 .薛定谔方程是进行了“低能量近似”(非相对论量子力学)和“外场近似”的近似方程。=超时空。 概率流密度为： ) (2=mi j，局部化的概率保存： j t P=。 10 .不确定关系(充当经典力学和量子力学的界限线):2，2 tepx。 11

9、 .一维度稳定态： (1)V=0的自由粒子(连续光谱) (2)一维度无限深井(离散光谱) (3)一维度有限深井(分别考虑束缚状态和自由状态) :解的宇称(4)一维度角势垒量子隧道(反射系数和通透系数) (5)一维势阱(考虑跳跃点的波动函数的性质) (6)一维简并谐振器(反射系数和) 。 【注意：一维度线性谐振子的能级式出现2 1的原因是存在不确定关系。 12、对应原理：在大量子数的极限下量子论渐近地趋向古典理论。 (Bohr在量子力学成立前提出) 13 .量子态可以用波函数表示(波动力学)或者用行列表示(矩阵力学) 。 在量子力学中，状态和力学量的各种表现方式称为表象。 对于一个量子态，可以用

10、多个表象来记述，但是基矢量不同，只是得到的“坐标”不同。 14 .多个彼此独立的、在相同宏命令条件下的系统集合是量子力学集合，并且被称为量化系数综合。量子多体问题的量子力学是单粒子量子力学的直接推广。 本章重点本章重点本章重点重点： (1)状态重日式榻榻米原理的记忆和应用(2)使用薛定谔方程式的一维度电势的修正，包括波函数、能级、波函数的奇数性、力学量的平均值、反射和通透系数的修正等(3)222222sin1sinsin11=rrrrr (三次元球座) 2222211zrrrr=(三次元柱坐标):222212=rrrr (二维) 。 三、量子力学数学表示三、量子力学数学表示三、量子力学数学表示

11、三、量子力学数学表示一、量子力学运算符对波函数(量子态)的运算。 从状态重日式榻榻米原理可知，力学量的算子必须是线性的。 另外，因为力学量的特征值是实数，所以力学量的算子必定是阿米算子。 因此，力学量的算子是线性臂算子。 2 .算子的性质：相等、加、乘、对易、反易。=ABBABA。 线性、hermy、转置、共轭3.hermy算子的性质： (1) hermy算子的特征值必须是实数；(2)属于army算子不同特征值的本征函数彼此正交；(3) army算子的平方的平均值是非负。 4 .一般的不确定关系：2 C BA，c是a和b的对易。 (包含实际的残奥变量的积分：0) () (23=取bbiaaxd

12、i进行运算。 【测量是针对量子系统进行的。 5 .阿美算子的本征函数性质： (1)正交归一性，证明如下) (，) (xaxaxammmnnn=)，其中n和m仅表示mn aa，且不表示n=aa，因此其模态n a和m a总是实数。 那么，xdaaxdaxdaxdanmnmnmnmnm3*3*3*3* ) () (0=mnaa的话，m和n是正交的，=nmxd nm，03。 如果mn aa=，则xd nm 3*不一定正交。 以下，在1个特征值属于离散频谱的情况下、特征值n a属于离散频谱的情况下，对应的本征函数能够进行标准化，将正交性与归一化相结合，得到mnnm xd=3*； 能够使用本征值简并性状况

13、正交化手续(施密特正交化方法，能够重新选择合适的基矢量，建构正交回归的一个函数系。 模态为连续光谱时(可采用盒归一化常数，进行归一化。 对于力学量算子a的连续特征值谱，() (xaxA aa=，a连续变化。 由于对应于不同的特征值的本征函数正交，因此aaxxa=、0)()(*，但是，对于连续的特征值a，从a到aa (a为少量)无法进行实验测量，特征值谱连续时的本征函数的标准化条件为：)()即(2)完全性、化学基的完全性条件：=) () () (* * YY 6 .混合频谱：=n nnaa CdaC，mnnm xd=3*，(3* aaxd aa=，因此=dacacadaccaanaanmnnmm

14、 22 *。 7 .如果定理力学量算子a、b有共同的特征函数系，则为0、=BA。 如果是逆定理0，=BA，则它们具有共同的固有函数系。 8、彼此独立并且彼此容易的臂运算符定径套(21 AAA )，其中a、a表示其公共唯一性状态，且a表示完全量子数的定径套。 给定量子数a的定径套，由于能够确定系统的唯一可能状态，所以我们.)、(21 AA配置系统的定径套易于放大地测量全集(CSCO )。 (也可以说是对易力学量完全集或力学量完全集。 注意： CSCO被限制为最小集合，在一个CSCO中，较大的测量数一般与系统自由度的数量相等，但也可以更多。 9. =HA it A dt Ad，1，Virial定理

15、(束缚关稳定态词):fxxvxt=21 (可选择=用pxa求平均值) 。 10.cscco (易守恒量完全集)成员的选择关系到体系的对称性。本章重点本章重点本章重点本章重点是，(1)算子的运算(2)固有状态下力学量的概率，平均值(3)利用不确定关系进行近似校正运算(4)量子态的矩阵表示及力学量算子的矩阵表示(5)臂算子的正交一致性和完全性。 四、单粒子问题四、单粒子问题四、单粒子问题四、单粒子问题一.在中心力场中，由于xl、yl、zl两者错误，粒子的能级一般简并性。 仅靠能量固有值不能完全确定固有状态，需要寻找守恒量的全集，用它们的共同固有状态来标记一个固有状态。 球贝塞尔方程：0)()1(1222=rllddrdrd，其一般解是球贝塞尔函数和球诺伊曼函数的线性重日式榻榻米： ) () (ll BnAjR=)。 球贝塞尔函数) sin ()1()1() (lllddj=，球诺曼函数) cos ()1() (1llldn=，球Hankel函数)。 3 .实际原子核中的单粒子电势是Woods-Saxon电势(性质在三次元各向同性谐振子电势和球电势供水井之间)，0，() exp(1 )(0 0 =aRV a Rr V rV。 0 V表示势供水井的深度，r表示势供水井的半径，a表示核表面附近的势供水井“尾