第三章 调和方程.ppt

1、1建立方程和定解条件，第3章调和方程，2格林公式及其应用，1.1推导方程，1建立方程和定解条件，1.2定解条件和问题，1.3变分原理，物理背景：用于描述稳定或平衡的物理现象。1方程及其定解条件，调和方程，也叫拉普拉斯方程，其三维形式是，这个方程对应的非齐次方程叫泊松方程，也就是说，这类方程是力学和物理学中经常遇到的问题。如果去掉时间导数项，前两章推导的波动方程和热传导方程可以转化为泊松方程或调和方程。流体力学中的速度势和流动函数满足调和方程。静电场的电势满足泊松方程。调和方程的例子：静电场，电势u，确定要研究的物理量，根据物理定律建立微分方程，简化方程，拉普拉斯方程，泊松方程，1-1方程的推导

2、，我们回忆物理学中调和方程和泊松方程的推导例子。历史上调和方程的一个著名例子来自牛顿的万有引力。根据万有引力定律，质量为M(x0，y0，z0)的粒子对单位质量为(x，y，z)的粒子的引力等于M/r2，作用方向指向这两点连线上的(x0，y0，z0)，其中r是两点之间的距离。用向量形式写成，即F(x，y，z)叫做引力场函数。显然，引力场函数是势函数的梯度(x，y，z)=M/r: F=grad。势函数是任意确定的，除了允许差值是任意常数。根据叠加原理，分布在密度(x，y，z)区域的质量产生的总引力势为。通过直接计算可以验证(x，y，z)外部满足调和方程0，如果(x，y，z)满足Holder条件(x，

3、y，z)内部满足，则可以进一步验证(x，y，z)内部满足。假设空间有一个电荷密度为(x，y，z)的静电场，其中取一个被封闭曲面包围的区域G。从静电学可知，向外的电通量等于G中总电量的4倍，其中E是电场强度矢量，N是单位外法向量。利用格林公式并注意到G的任意性，可以得到divE=4。根据库仑定律，静电场是电势，也就是说，存在静电势u=u(x，y，z)，这使得e=-grade u。这样获得静电势u满足下面的泊松方程u4。特别是当某一区域没有电荷时，该区域的静电势满足调和方程。在复变函数中，我们把空间变量的二阶连续偏导数满足调和方程的函数称为调和函数。复杂函数只涉及二元函数。1-2定解条件和定解问题

4、，为了确定方程(3.1)和(3.2)在一定空间区域内的解，必须附加一些定解条件。现在这两个方程中没有时间变量，所以它们的解与时间无关，所以在定解条件中只有边界条件，而定解问题是一类边值问题。类似于前面的波动方程和热传导方程，方程(3.1)和(3.2)可以提出三种类型的边界条件。本课程只研究第一和第二边值问题。1)第一边值问题(狄利克雷条件)；2)第二边值问题(Neumann条件):在传统思想中，上述定解问题是在有界区域内考虑的。也就是说，满足边界条件的调和函数是在光滑的闭曲面上找到的。然而，在实践中，我们经常会遇到一些无界区域。例如，确定热源对象外部的稳定温度场。在这种情况下，有必要寻找满足封

5、闭曲面外边界条件的调和函数。为了说明这种区别，我们把前者的定解问题称为狄利克雷问题和诺依曼问题，后者的定解问题称为狄利克雷问题和诺依曼问题。内部的问题考虑不可压缩无粘势流，其速度势在流动区域满足拉普拉斯方程，在物体表面边界不存在法向穿透条件。内部流动问题的解决是在边界内进行的，例如在气罐或管道中的流动。外流问题需要在边界以外的无限区域解决，例如翼型或飞机周围的流动。从直观的观点来看，对于外部问题，外部问题的解在上述确定的解条件下不是唯一的。以二维翼型流动为例，正常的非穿透条件是不够的，必须应用入流条件(速度和攻角等)。)在无穷远处。(本问题教材中也有例子)，1-2定解条件和定解问题。因此，对于

6、狄利克雷或诺依曼外部问题，有必要在无穷远处给解增加某些限制。在三维情况下，一般要求解在无穷远处的极限为零(或极限为一定值)，即泊松方程的解可以利用叠加原理转化为调和方程的解：首先，找到泊松方程的一个特殊解u1，并用u=v u1代替，将原方程转化为关于V. 1-2定解条件和定解问题的调和方程，积分表达式的极值问题称为变分问题。1-3变分原理，2.1格林公式，2格林公式及其应用，2.2中值定理，2.3极值原理，2.4第一边值问题解的唯一性和稳定性，2-1格林公式，高等数学中的高斯公式如下，在上述公式中，让，然后有，得到格林的第一个公式：首先，我们导出调和函数的积分表达式。检查该函数，这里M0(x0

7、，y0，z0)是该区域中的固定点，并且可以验证由(3.8)表示的函数在除M0之外的区域中处处满足三维拉普拉斯方程，这被称为三维拉普拉斯方程的基本解。在公式(3.7)中，u是一个调和函数，v=1/rM0M。由于函数v在该区域中具有奇点M0，格林第二公式(3.7)不能直接应用于该区域，但是如果从该区域中移除以M0为中心且半径足够小的球k，则公式(3.7)可以应用于剩余的区域k。在区域k中，u=0，(1/r)=0，并且在球面上，这里的星号表示球面上的平均值。因此，公式(3.7)可以改为2-1绿色公式。当上述公式中的0时，得到调和函数的基本积分公式，M0在外面，M0在里面。对于泊松方程，有一个类似的公

8、式，2-1格林公式。从格林公式中，我们可以得到调和函数的以下主要性质。定理2.1调和函数的一个充要条件：如果函数U在以曲面为边界的区域内是调和的，并且在U上有连续的一阶偏导数，则反之亦然。因此，我们得到解纽曼问题的必要条件是它满足调和方程，并且根据叠加原理是泊松方程的特殊解。(类似于重力势函数的公式)，2-1格林公式，物理意义：对于稳定的温度场，任何封闭表面上的热通量应该为零，内部没有热源。2-1格林公式，定理2.2球面中值定理让函数在以曲面为边界的区域内是调和的。对于包含的每一个闭球，球中心的U值等于球边界球的U的积分平均值。公式表达式可写成：证明：将公式(3.11)应用于以M0为中心、半径

9、为A的球面A，我们得到，在球面上，2-2中值定理，0，2-2中值定理，定理2.3极值原理假定函数U不是常数，在以曲面为边界的区域内是调和的，其内点的值不能达到其上限或推论1:调和函数的最大值和最小值只能在区域边界处得到。推论2:两个调和函数在边界上保持不等式uv，那么不等式也成立；只有在紫外线下，不等式中的等号才成立。2-3极值原理，首先，研究了调和方程的狄利克雷问题。定理2.4:如果调和方程的Dirichlet问题的解存在，它必须是唯一的，并且持续依赖于边界条件f。证明：如果两个调和函数u1(x，y，z)和u2(x，y，z)在有界区域的边界上是相同的，那么它们的差u=u1(x，y，z)-u2(x，y，z)也满足调和方程in，但在中等于零。根据前面的推论1，u1u2，即狄利克雷问题的解是唯一的。其次，假设在边界上给出了两个函数f和f*，它们在上边界上处处成立。设u和u*是Dirichlet问题的解，其中f和f*作为调和方程在区域中的边界条件。那么调和函数u-u*取值f-f*。因此，从极值定理的推论1，第一个边值问题的解的唯一性和稳定性，在(连续相依性被证明)2-4区域中的每个点，现在我们转向调和方程的狄利克雷问题。假设u1和u2是狄利克雷外部问题的解，并且v=u1-u2，那么调和函数V将在边界和无穷远处取零