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文档简介

1、第四章 本构理论,试讲人:曾利刚 2012/12/4,1、本构原理 2、简单物质 3、本构关系的具体形式,参考:连续介质力学基础-黄筑平,4.1本构原理,一、引言 在讨论如何建立本构关系之前首先作以下说明:,1、材料的本构关系不仅是关于材料本身性质的描述,还应该和外部环境和外部作用过程紧 密地联系在一起。,2、研究材料中微结构的基本特征及其在变形过程中的演化规律,对建立合理的本构关系是十分重要的 从材料变形的微观机制出发研究本构关系不仅可以更深入地认识材料变形和运动规律,而且也可以避免在本构关系中盲目地引进一些参数。然而,直接从微观出发建立相应的宏观本构关系往往十分困难。为此,引进一个介于微观

2、与宏观之间的层次细观层次来讨论材料的本构关系是一种较为可行的研究途径,就是是所谓的“宏观-细观-微观相结合”的研究方法。,3、本构关系的建立不能理解为仅仅是对实验数据的简单拟合。,二、本构原理,1、坐标不变性原理 本构关系应该与坐标系的选取无关。,2、相容性原理 本构关系应该与守恒定律相一致,并且满足热力学第二定律。,3、材料对称性的不变性原理 本构关系应该满足与材料对称性有关的,在某些变换群下的不变性要求。,4、决定性原理 如果在 时刻物体中所有质点的热力学状态是已知的,则该时刻具有向径 X的物质点X在以后的时刻 的应力 完全由物体中全部质点自 至 的运动历史所决定。,5、局部作用原理 局部

3、作用原理认为, 时刻对应于物质点X的应力仅仅依赖于该物质点附近无限小领域内物质点的运动力学,而与远距离物质点的运动历史无关。,6、客观性原理 现在考虑满足以下变换关系的两个时空系 其中 为正交张量, 为一向量, 为一常数 客观性原理认为,材料的本构关系不应该随观测者的改变而改变,即在时空变换(4.2)式下,本构关系的形式是不变的,且本构关系中的张量应该是客观性张量。,三、张量的客观性,1、客观性张量的定义 由(4.2)式,我们假定在参考时刻 ,有 ,则根据(2.27)我们得到满足如下的变形梯度的关系式 由极分解定理, 和 得 同样的,根据(2.68)我们可以得到物质导数如下,结合(2.101)

4、与(4.5)式我们可以得到第二个空间的速度梯度 因为上面的 是一个反对称放射量,所以对上式分别取对称部分与反对称部分,我们可以得到变形率D和物质旋律W,有一类称之为“旋率”的反称放射量 ,他们在两个作相对刚体运动的时空参考系中的变换关系可写为: 下面讨论在两个作相对刚体运动的时空系中的柯西应力之间的关系。在(3.25)中,单元的单位法向量N与参考构型中的面元 之间满足(2.61)式。由于 与detF是不变的,由(4.5)我们可以得到, 。如果在两个时空中的应力向量满足 则: 则(4.3)式的物质导数为,将(4.16)带入上式可以得到如下的结果 其中 称为 的共轭导数,特别地,当 当为物质旋率W

5、时,上式就退化为原来意义下的Zaremba-Jaumann导数,基于Euler型张量的第一种客观性张量的定义,在满足(4.2)式的两个作相对刚体运动的时空参考系中,若标量场,向量场l和放射量场e分别满足如下的关系: 则分别称、l、e是客观的。在更一般的情况下,如果张量满足 则我们称为客观性张量,其中 表示对的作用.,基于Lagrange型张量的第二种客观性张量的定义,在满足(4.2)式的两个作相对刚体运动的时空参考系中,若标量场 ,向量场 和放射量场E分别满足如下的关系: 则分别称 是客观的。在更一般的情况下,如果张量 满足 则我们称 为客观性张量,2、客观性原理对本构关系的限制,客观性原理对

6、本构关系的建立具有十分重要的意义。,3、Euler型放射量的客观性导数,现在讨论满足第一种定义的客观性放射量 。这些放射量可以是左伸长张量V,左Cauchy-Green张量B,Cauchy应力等。通过以下几种变换, 最终可以化为满足第二种定义的客观性放射量 。 (a): 例如:当 为Euler型的应变e时, 就为(2.66)式的Lagrange型应变E (b): 例如:当 为(2.78)式Euler型的应变 时, 就为(2.73)式的Lagrange型应变,(c): 例如:当 取变形率张量D时, 就为(2.130)式的Green应变的物质导数 (d): (e): 例如:对于(d)、(e)式,取

7、 为(2.75)式里的Euler型应变张量e,则对应的 就为(2.66)式的Lagrange型应变张量E,利用(2.145)、(2.101)、(2.115)式,对应于上面的式子可以得到以下几种关于 的客观性导数: (a) 由 可得形如(4.18)式的共旋导数: 其中 为(2.145)式的相对旋率 (b) 对(4.28)式求物质导数可得 其中 上面的 为对应于物质旋率W的Jaumann导数,(c) 由 ,可得 (d) 由 ,可得 (e) 由 可得 上面的 统称为 的随体导数。特别地 称为 的Oldroyd随体导数, 称为 的Cotter-Rivlin随体导数。,4.2简单物质,一、简单物质的定义

8、 现考虑物质点 的十分小的邻域内另一点 ,其运动历史可以表示为如下 上面 , 为对应 的变形梯度历史. 现在定义一种物质,其本构关系仅依赖于变形梯度历史 ,而与 关于 的高阶导数无关: 我们称这样的物质为简单物质.,简单物质的本构关系,由(4.2)、(4.3)、(4.5)式以及客观性原理我们可以得到 如果取 ,并且由于 和a的任意性,则(4.44)可以简化成 当a=0的时候,(4.45)式可以写成如下的形式 如果对变形梯度进行极分解: ,并且取 ,则 说明Caychy应力仅依赖于伸长张量的历史和当前时刻t的旋转 ,而与t时刻之前的转动历史无关。,如果我们用相对变形梯度历史 来表示,根据 如果取

9、 ,则由(4.47)式可以得到 进一步我们可以定义如下 其中 对于,(4.53)式右端第一部分对应于静止变形历史,那么可以写成 称为弹性应力,对于剩下的第二部分为 称为非弹性应力。 因此,总的应力可以表示为:,根据(4.48)式,第二类Piola-Kirchhoff应力可以写为 其中, 。因此第二类Piola-Kirchhoff应力可以表示为右伸长张量 与当前时刻右伸长张量 的泛函。,二、内约束,一种材料所构成的物体,它们的变形和运动服从某种限制性条件,称为内约束. 1、不可压缩材料 即物体的变形是一种等容变形. 2、在 方向上不可伸长的材料 在这里,令 为参考构形中的单位向量,有如下表达式

10、3、Bell材料,4、满足Ericksen内约束条件的材料 5、刚性材料(完全不形的材料),三、同格群(材料对称群),假如有两个参考构形 与 ,其中由 到 变换为 ,在这一过程中,应力状态始终没有变化,在这个条件下,如果对于任何一个运动历史 ,基于这两个参考构形得到的应力完全相同,即满足泛函 则称两个参考构形是同格的. 性质1:满足(4.77)式的一切 构成一个群,称为同格群或材料对称群. 性质2:设对应于两个参考构形 与 的同格群分别为 与 ,且由 变换 到 的变形梯度为P,则两个同格群之间满足如下关系,性质3:同格群的元素H对应于等体积变换,即满足 性质4:正交仿射量Q属于同格群 的充要条

11、件为:对于任意的变形梯度历史 有 性质5:单位仿射量 及其反演 必定是一切同格群中的元素,由这两个元素 构成的群称为三斜群,记为,各项同性材料的本构关系具体形式,对于给定的材料,如果存在参考构形 使得对此参考构形进行正交变换后,其响应泛函不变,那么就称该材料是各向同性的。 利用(4.46)与(4.47)可以将Cauchy应力表示为 将 写成(4.49)式的形式,并取 ,则由 有 其中 是相对右伸长张量历史, 是t时刻的左伸长张量。因此各向同性材料的本构关系可写为:,4.3 本构关系的具体形式,简单物质的本构关系不仅以来于当前时刻的变形,而且还依赖于变形历史。先前我们讨论的本构关系都是以泛函形式

12、给出的,然而对于在不同加载条件下的不同材料,还需要根据某些假设使以上的泛函形式具体化,并由此导出相应本构关系的具体形式。 一、积分型本构关系 如果材料变形历史的泛函可通过关于 的积分算子来加以表示,则所得到的本构关系是积分型的。例如(4.55)式中,可令 并定义“范数”,其中 表示从当前时刻t到以前时刻 的时间间隔, 是关于s的单调递减函数,满足 称之为r阶影响函数。(4.112)式表明,当前时刻t较接近的变形历史要比较遥远处的变形历史具有更大的影响。 以上具有有界范数的变形历史集合构成了一个Hilbert空间,在此空间中,如果(4.55)式是关于 的线性连续泛函,则我们可以将其写为内积形式

13、其中,K是一个四阶对称张量,且是关于E(t,s)的线性变换,并且对任意的C,要求 有界。通常我们称(4.113)式为有限线性粘弹性本构关系。,二、微分型本构关系 现在假定材料的应力状态仅依赖于无限接近于当前时刻t的变形历史.而相对右Cauchy-Green张量可以由(2.140)式表示为 其中 为m阶Rivlin-Ericksen张量,故可以用以上级数的前n项来作为 的近似值。于是,在等温条件下,(4.53)式可以近似地写为 其中 。因为上式中应变对时间微分的最高次数为n,故称为 “n错综度微分型”本构关系。,三、率型本构关系 如果将(4.114)式左端 对时间t的m阶物质导数记为 ,则率型本构关系一般可写为如下的常微分方程: 上面m,n为正整数,H为变元的充分光滑的张量函数。此外,还需假定在给定的 初始条件下,上式存在唯一的解 。 注意:在某些情况下,(4.118)式的解并不一定对应于某种真实材料的本构关系。,四、内变量型本构关系 物体的变形历史可通过引进一组内变量及其演化方程来加以描述。这组内变量可以是标量,也可以是向量或高阶张量。现在假定其为Lagrange型张量,并记为 。如果与Lagrange应变度量E相共轭的应力为T,则在等温过程中

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