研究有限差分格式稳定性的其他方法 - 报告

1、.2015年秋季学期研究生课程评价(读书报告、研究报告)审查科目:偏微分方程数值解法有学生的院子:理工科数学系有学生的学科:数学学生姓氏: Hiter学号: 1XS012000学生分类:审查结果评价人员.研究有限差分格式稳定性的其他方法摘要偏微分方程求解一直是一个关心的问题，有限差分格式在求解偏微分方程时经常使用，是一种有效的方法。 因此，研究有限差分格式的性质尤为重要。 在课堂上，老师学习了使用Fourier法研究有限差分格式的稳定性，但由于研究有限差分格式的稳定性的问题大多仅用Fourier法是不一盏茶的，因此，本论文提出了Hirt启示型法、直接法(或称为矩阵法)、能量不等式这3个常见的问

2、题牛鼻子字：偏微分方程有限差分格式稳定性阿伯斯特拉克thesolutionofpartialdifferentialequationshasbeenmoreconcernedwithaproblem。 andthefinitedifferenceschemeisacommonandeffectivemethodforsolvingpartialdifferentialequations.therefore。 itisveryimportanttostudythecharacterofthefinitedifferencescheme.wehavefollowedtheteachertolear

3、ntheuseoffouriermethodoffiniit lity，butinalotofresearchonthestabilityoffinitedifferenceschemeisonlyusedfouriermethodisnotenough。 so in this paper，willintroducetheothreekindsofcommonlyusedinthestudyoffinitedifferenceschemestabilitymethod。 respectively is :高性能方法，直接方法(ormatrixmethod )和能源质量方法。keywords :

4、部分差异性质量。 精细差异方案； 安全性1序言决定差分方程解的问题是在满足某个解的条件下求差分方程的解。 在空间域边界满足的解算条件称为边缘值条件。 如果问题与时间有关，则初始时刻应满足的解析条件称为初始值条件。 不包含时间而仅具有边缘值的条件的解问题称为边缘值问题。 关于时间，把只具有初始值条件的解问题称为初始值问题。 在云同步中具有被称为初始值边缘值混合问题的2个解条件的问题。 决定解的问题，往往没有解析解或者其解析解难以订正。 所以必须采用可行的数值解法。 有限差分法是一种数值解法，其基本思想是首先对问题的定义域进行网格分割，然后在网格点上，用合适的数值微分公式将定解问题中的微商置换为差

5、商，将原来的问题离散化为差分格式，求数值解。 此外，还研究了差分格式的解的存在性和唯一性、解的获得方法、解的数值稳定性、差分格式的解和原始解问题的真解之间的误差估计、差分格式的解在网格尺寸变为零时是否变为真解(即收敛性)等。 尺有限差分具有简单、灵活、通用性高等特点，易于在修正计算机上实现。 在课堂上，老师学习了使用Fourier法研究有限差分格式的稳定性，但是研究有限差分格式的稳定性的问题大多不仅仅是Fourier法一盏茶，因此，本文介绍了Hirt启发型法、直接法、能量不等式法三种常见的方法。2 Hirt启示性方法2.1方法概述Hirt的启示性方法是近似分析方法。 主要将差分格式在某确定点进

6、行泰勒级数近似展开，省略高阶误差，只留下最低阶误差项。 在差分格式兼容的情况下，这样获得的新差分方程(称为第一导数或修改差分方程)与原始差分方程相比仅添加了包括小残奥参数的高阶导函数的附加项。 Hirt法利用第一导数近似度的自适应性研究差分格式的稳定性。 Hirt法的判别基准是，如果第一微分近似是适当的，则原始的差分方程的差分格式是不稳定的，否则是不稳定的。 如果存在原始差分方程问题的兼容性的差分格式，则实践的微分格式也可以被视为第一微分近似问题的兼容性的差分格式。 如果第一微分近似问题不确定，则其差分格式不稳定1。2.2操作方法先给出几个方程式(2.1)(2.2)(2.3)考虑对流方程式(2

7、.1)的差分格式(2.3)，在点进行Taylor技术展开利用对流方程式(2.1)，有因此，在该点得到差分方程式(2.3)省略高阶误差项，得到第一差分方程的近似为了使上面的抛物型方程式有意义将上面的不等号更改为等号可以得到原来的对流方程。 在这两种情况下，对应的问题都是合适的。 即，第一微分近似的自适应条件是由此得到的差分格式(2.3 )的稳定性条件与Fourier法分析得到的结论一致。接下来，分析近似对流方程(2.1 ) (还未设置)的差分格式(2.2 )的稳定性。 模仿上述推导得到的第一微分近似由于可见的系数小于0，第一导数近似是不适合的，并且挤出差分格式(2.2)是不稳定的。3直接方法抛物

8、型方程初始值问题的差分格式的稳定性问题可以用直接方法(或称矩阵法)研究。 用具体例子说明该方法的基本思想和使用方法。考虑常系数扩散方程的初始值问题(3.1)用显示差分格式近似(3.2)在那之中。 首先写差分格式(3.2)(3.3)在那之中。 (3.3)为向量形式，即(3.4)如果命令成立另外，(3.4)式被认为可以写(3.5)在那之中(3.6)可以理解，根据显示格式获得方程组(3.5)式也可以是相对常见的形式，即对于接近初始值问题(3.2)的其他两层格式也可以是(3.5)式的形式。 当然，此时不是由(3.6 )式表示的形式。 如果差分格式是两层隐式格式。 会变成这样。 因此，诸如(3.5)公式

9、的格式可以被理解为相对较常见的格式，其包括两层显示格式和两层隐藏格式。导入差分方程式(3.5 )的正确值(理论值)即误差向量，并数值性地求出差分方程式(3.5 )的值(包括舍入误差等)。 很明显是满脚丫子的(3.7)由此发售(3.8)要求差分格式(3.5 )的稳定性(3.9)其中是矢量的2向量的模。 因为因此，(3.9 )式成立的一盏茶要件是(3.10 )上述采用的双向量的模当然也可以采用其他类型的向量的模。 关于稳定性条件(3.10 )，可以仿效Fourier法的推导得出几个结论(1)光谱半径条件(3.11 )是稳定差分格式所需的条件，在此为常数。(2)如果矩阵是正规矩阵，(3.11 )式也

10、是用于格式稳定的一盏茶条件。下面讨论差分格式(3.5)、(3.6)的稳定性。 矩阵(3.6 )是对称矩阵，所以条件(3.11 )成立即可。 现在开始要修正的特征值。令阶方阵可以表示出来其中是阶数的单位矩阵。 由此可知，求出的特征值和特征向量是重要的。将和作为各自的特征值和特征向量有写权重的形式(3.12 )先求出的特征值。 因为是对称矩阵，所以其特征值是实数。 从Gerschgorin定理可以看出其中是矩阵的元素。 由此得到。 式(3.12 )的第一式是常系数线性差分方程式。 其解设为如下形式如果将其代入式(3.12 )的第一式，则能够获得有关的一次二次方程这个方程式称为(3.12 )式的第一

11、式的特征方程式。 因此，其解在那之中。 看得见取的话，就是那样。 因此，差分方程式(3.12 )的解中所选族群类型的类型性质。 又得，有这样就可以推一推了。 是的，有。 所以，可以得到。 另外，的特征量为。 得到的特征量是当时。 因此，显示格式的稳定性条件是。关于隐含的格式，说明如下。 。 。 (美国职业棒球联盟)的稳定性。可以把隐式格式写成向量形式在那之中。 使用先前获得的特征值而获得的特征值从这件事可以看出，有。 注意的是对称矩阵，所以也是对称矩阵，利用直接方法的结论(2)，可知扩散方程的隐式格式无条件地稳定。由此可见，用直接方法分析抛物型方程初始值问题的差分格式并不难。 但是，实际应用有

12、一定的限制。 在以上讨论的稳定性的2个例子中，中国式基于特殊矩阵求出次数矩阵、的特征值。 通常，校正高维矩阵的特征值相当困难，因此也难以应用直接的方法。四能量不等式方法4.1方法概述当研究线性常量系数差分格式的稳定性的问题时，建立确定差分格式的稳定性标准，使得可以相对容易地确定一些差分格式的稳定性。 但是，对于变量问题和非线性问题，不能使用Fourier法和直觉法研究差分格式的稳定性。 针对这些个问题，能量不等式法是研究差分格式稳定性的有势力工具。 用能量不均匀式法研究差分格式的稳定性是根据稳定性的定义，通过一系列的估计式进行的。 该方法是偏微分方程常用能量方法的离散仿真，现举例说明其基本思想

13、。4.2操作方法考虑变系数对流方程的初值问题(4.1)假设您要创建差分格式(4.2)在那之中。 用能量不等式法研究该差分格式的稳定性。 先换个形式其中是网格比。 使用乘法公式的两侧只要满足条件(4.3)有的转移项目用乘以上不等式的两侧，求和有的喂喂(4.4)有的这样就可以得到由于问题是线性的，上述不等式证明了差分格式(4.2 )的稳定性。 由此可知，条件(4.4 )是由差分方程问题给出的。 同时，差分格式的稳定性条件是表达式(4.3 )。 如果是定数问题，则满足(4.4)式，条件(4.3)与我们在课堂上学到的Fourier法得出的结论一致。5结论本文从差分方程的基本概念出发，介绍了差分方程中比较基本的概念，然后介绍了有限差分格式的性质。 从介绍有限差分格式时要求有限差分格式稳定性的三种方法出发，分别是Hirt启发性方法、直接方法(或矩阵方法)和能量不等式方法。 介绍这些个3种方法时，首先从基本思想出发，然后分别阐述方法原理、公式推导、实用化等。 但是，追求有限差分格式稳定性的方法很多，作者也只介绍了三种方法，希望能起到投球的作用。参考文献1陆金甫，关治： 偏微分方程数值解法，清华高等院校出版社，北京牌，2003冯康等编： 数值计算方法，国防工业