第二章 连续LTI系统微分方程式的建立.ppt

1、1,第二章 连续时间系统的时域分析,2.1 引言 2.2 微分方程的建立与求解 2.3 起始点的跳变(从0-到0+) 2.4 零输入响应和零状态响应 2.5 冲激响应和阶跃响应 2.6 卷积 2.7 卷积的性质,2,元 阶微分方程,一、系统数学模型的时域表示法,输入输出描述：,状态变量描述：,一,N,N,一,元 阶微分方程,2.1 引言,3,二、系统分析过程,列方程,解方程,经典法：,双零法,零输入：,零状态：,变换域法：,全解=齐次解+特解,可用经典法,卷积积分法 (新方法),FT, LT,4,一、微分方程的建立,根据元件特性约束和网络拓扑约束。,2.2 微分方程的建立与求解,5,例2.2.

2、1：求并联电路的端电压 与激励 间关系。,解：,一、微分方程的建立,6,解：,一、微分方程的建立,例2.2.2 如下图机械位移系统，质量为 m 的刚体一端由弹簧,牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩擦系数为f ，外加牵引力为Fs(t)，求其外加牵引力Fs(t)与刚体运动速度 v(t)间的关系。,7,二、 n 阶LTI系统微分方程的一般形式,一个 n 阶LTI系统，e(t)与r(t)的关系可以用下面一般形式的n 阶线性常微分方程描述。,Ci, Ei 均为常数。,8,（一）齐次解 rh(t),三、线性时不变系统经典法求解,写出齐次解形式,由特征方程,求出特征根,9,三、线性时不变系统经典

3、法求解,10,系统的特征方程为,特征根,因而对应的齐次解为,三、线性时不变系统经典法求解,11,三、线性时不变系统经典法求解,（二）特解 rp(t),比较系数定出特解。,由微分方程右端 e(t) 形式,设具有系数的特解 r(t),代入原方程,12,已知： 求两种情况下的特解。,例2.2.4 给定微分方程式,三、线性时不变系统经典法求解,13,齐次解+特解，由初始条件定出齐次解系数,例2.2.5：求如下微分方程的全解。,三、线性时不变系统经典法求解,（三）全解,14,解: 齐次方程为 特征方程： 特征根： 该方程的齐次解为：,激励函数中 = -1，与微分方程的一个特征根相同，因此特解为：,三、线

4、性时不变系统经典法求解,15,代入原微分方程得,求得,所以特解为,全解为,代入初始条件,求得,所以有,三、线性时不变系统经典法求解,16,三、线性时不变系统经典法求解,17,根据电路形式，列回路方程,列结点电压方程,(1),（1）列写电路的微分方程,18,(2)求系统的完全响应,系统的特征方程,特征根,齐次解,方程右端自由项为,代入式(1),要求系统的完全响应为,特解,19,换路前,(3),20,因而有,由于电容两端电压和电感中的电流不会发生突变,21,(4),要求的完全响应为,22,2.3 起始点的跳变,23,一、起始点的跳变,状态，起始状态,状态，初始条件，也称导出的起始状态,24,4.

5、如果微分方程右端包含 及其各阶导数项，则系统从 0_ 到 0+ 状态有跳变。,2.一般情况下换路期间满足换路定则：,1.对于电路，系统 0_ 状态就是系统中储能元件的储能情况;,3.但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫作用于电感，0_ 到 0+ 状态就会发生跳变。,一、起始点的跳变,说明：,25,(一)电容电压的跳变,由伏安关系,当有冲激电流作用于电容时0-到0+有跳变。,26,例2.3.1,当有阶跃电压作用于电容时，0-到0+有跳变。,27,(二)电感电流的跳变,如果为有限值，,当有冲激电压作用于电感时，0-到0+有跳变。,28,例2.3.2,当有阶跃电流作用于电感时，0-到0+有

6、跳变。,29,原理：t =0 时刻微分方程左右两端(t)及各阶 导数应相等 !,例2.3.3：,二、冲激函数匹配法确定初始条件,数学描述,分析过程,30,分析过程,31,数学描述,设,则,代入方程,得出,所以得,即,即,方程右端含 项，它一定属于,32,例2.3.4：描述LTIS的微分方程为 输入 如图，已知 用冲激函数匹配法求,二、冲激函数匹配法确定初始条件,解：将 代入微分方程， t0 ，得,33,方程右端的冲激函数项最高阶次是 ，因而有,代入微分方程,二、冲激函数匹配法确定初始条件,34,求得,因而有,所以,二、冲激函数匹配法确定初始条件,35,习题2-5,二、冲激函数匹配法确定初始条件

7、,36,2.4 零输入响应和零状态响应,37,一、系统响应的划分,自由响应强迫响应 (Natural + Forced),零输入响应零状态响应 (Zero-input + Zero-state),暂态响应+稳态响应 (Transient + Steady-state),全响应,38,外加激励e(t) =0，只由起始状态 x(0-) 产生的响应。,将e(t)代入方程求齐次解加特解，由冲激函数 匹配法求r(0+), 再求全解rzs(t)的待定系数。,零输入响应rzi(t),零状态响应 rzs(t),零输入响应：,零状态响应：,是系统方程的齐次解，由于无外加激励，则由r(0+)=r(0-) 求出齐次

8、解rzi(t)的待定系数。,起始状态r(0-) =0，只由外加激励e(t)0产生的响应。,一、系统响应的划分,H.,39,由系统本身特性决定。对应于齐次解。,形式取决于e(t)。对应于特解。,t 时，响应趋于零的部分。,t 时，响应留下的部分。,自由响应：,暂态响应：,稳态响应：,强迫响应：,一、系统响应的划分,40,例2.4.1： 求系统的零输入响应,解：特征方程,特征根,零输入响应,由起始条件,得零输入响应为,二、零输入响应,41,三、零状态响应,例2.4.2： 求系统的零状态响应,零状态响应的齐次解：,零状态响应的特解：,零状态响应：,由冲激函数匹配法：,则：,解：,rzsp(t)=B,

9、 则2B=3, B=3/2,42,四、全响应,自由响应,暂态响应,稳态响应,强迫响应,零输入响应,零状态响应,43,习题2-6（2）,四、全响应,44,解：,四、全响应,45,解得,四、全响应,46,2.5 冲激响应和阶跃响应,47,一冲激响应,1定义,系统在单位冲激信号 作用下产生的零状态响应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。,48,响应及其各阶导数(最高阶为n次),2.冲激响应的数学模型,线性时不变系统可以用一个高阶微分方程表示,激励及其各阶导数(最高阶为m次),一冲激响应,49,设特征根为简单根（无重根的单根）,由于(t) 及其导数在 t0+ 时都为零，因而方程式右端

10、的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解的形式相同。,与n, m相对大小有关,与特征根有关,3. h(t) 解的形式,一冲激响应, h(n)(0-)= 0,50,解：,求特征根,冲激响应,例2.5.1 求如下系统的冲激响应。,将e(t)(t)，r(t)h(t),带u(t),一冲激响应,51,代入h(t),得,（1）用冲激函数匹配法求待定系数,52,（2）用奇异函数项相平衡法求待定系数,根据系数平衡，得,53,二阶跃响应,系统方程右端含阶跃函数 u(t) ，所以：齐次解 +特解 。,系统在单位阶跃信号u(t)作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应。,1定义,54,2阶跃响应

11、与冲激响应的关系,线性时不变系统满足微、积分特性,二阶跃响应,习题 2-9 (1) (3),H(.),55,欧拉 Euler,泊松 Poisson,2.6 卷积,Convolution,2.6 卷积,56,一. 卷积的定义,2.6 卷积,Convolution,57,二. 卷积的物理意义,任意信号和冲击响应的卷积是系统的零状态响应。,58,三. 卷积的计算图示法,59,步骤：,60,0.5,步骤：,61,步骤：,62,四. 卷积的计算阶跃函数表示法,1列写KVL方程,2冲激响应为,例2.6.1,63,4.定积分限（关键）,64,波形,习题2-14（1）（2）,65,（1）交换律 （2）分配律

12、（3）结合律,Convolution and the property,2.7 卷积的性质,一卷积代数,66,2.7 卷积的性质,(1) 交换律 f1(t)*f2(t)=f2(t)*f1(t),证：,-dx,x,t-x,67,图 2.6-1 交换律的实际意义,h(t),e(t),r(t),2.7 卷积的性质,68,(2) 分配律 f1(t)*f2(t)+f3(t)=f1(t)*f2(t)+f1(t)*f3(t),证：,2.7 卷积的性质,69,图 2.6-2 分配律并联系统,h1(t)+ h2(t),e(t),e(t),r(t),r(t),h1(t),h2(t),2.7 卷积的性质,h (t)

13、,70,(3) 结合律 f1(t)*f2(t)*f3(t) =f1(t)*f2(t)*f3(t) 证：,t-(+x),x,dx,2.7 卷积的性质,71,图 2.6-3 结合律串联系统,h2(t),h1(t),e(t),r(t),e(t),r(t),2.7 卷积的性质,h (t),72,二微分积分性质,1、微分性质：,推广：,两端对t 求导,交换律,证明：,73,r(t)的积分,2、积分性质：,二微分积分性质,推广：,74,二微分积分性质,3、微分性质积分性质联合使用,对于求卷积很方便，特别是下面这个公式：,微分 n 次， 积分 m 次,m=n, 微分次数积分次数,75,三.与冲激函数或阶跃函

14、数的卷积,推广：,76,例2.7.1,注意,77,注意,用微积分性质,充要条件是,78,例2.7.2 图(a) 由三个子系统构成，已知各子系统的冲激响应 如图(b)所示。求复合系统的冲激响应 ，并画出它的波形。,(a),(b),解：,如图（c）所示,(c),79,经典法： 双零法 卷积积分法：,第二章 复习,求 解 系 统 响 应,定初始条件,满足换路定则 起始点有跳变：求跳变量,零输入响应：用经典法求解 零状态响应：卷积积分法求解,求零状态响应,80,例题,例题2-1：连续时间系统求解（经典法，双零法） 例题2-2：求冲激响应（nm） 例题2-3：求冲激响应（nm） 例题2-4：求系统的零状

15、态响应 例题2-5：卷积,81,例2-1,82,分别利用,求零状态响应和完全响应，需先确定微分方程的特解。,这三个量之间的关系是,分析,在求解系统的完全响应时，要用到有关的三个量是：,：起始状态，它决定零输入响应；,：跳变量，它决定零状态响应；,：初始条件，它决定完全响应；,83,解：,本题也可以用卷积积分求系统的零状态响应。,84,方法一,该完全响应是方程,（1）,方程（1）的特征方程为,特征根为,完全响应,85,方程（1）的齐次解为,因为方程（1）在t0时，可写为,显然，方程（1）的特解可设为常数D，把D代入方程 （2）求得,所以方程（1）的解为,下面由冲激函数匹配法定初始条件。,（2）,

16、86,由冲激函数匹配法定初始条件,据方程（1）可设,代入方程（1），得,匹配方程两端的 ，及其各阶导数项，得,87,所以,，所以系统的完全响应为,88,2.求零输入响应,（3）,（3）式的特征根为,方程（3）的齐次解即系统的零输入响应为,89,所以，系统的零输入响应为,下面求零状态响应。,90,3.求零状态响应,零状态响应=完全响应零输入响应，即,因为特解为3，所以 强迫响应是3，自由响应是,91,方法二,（5）,以上分析可用下面的数学过程描述,92,代入（5）式,根据在t=0时刻，微分方程两端的及其各阶导数应该平衡相等，得,于是,t0时，方程为,93,齐次解为,，特解为3，于是有,所以，系统

17、的零状态响应为,方法一求出系统的零输入响应为,完全响应=零状态响应+零输入响应，即,94,例2-2,冲激响应是系统对单位冲激信号激励时的零状态响应。,95,奇异函数项相平衡法,首先求方程的特征根，得,因为微分方程左边的微分阶次高于右边的微分阶次， 冲激响应为,对上式求导，得,(1),96,则得,解得,代入（1）得,97,例2-3 2-9,(3),方法一：奇异函数项相平衡法 方法二：冲激函数匹配法,(1),98,方法一：奇异函数项相平衡法,由于微分方程的右端比左端还高一阶，故冲激响应设成,将（2）式代入（1）式，得,解得冲激响应,阶跃响应,（2）,99,方法二：冲激函数匹配法,微分方程的齐次解为,下面用冲激函数匹配法求初始条件，设,上述两等式代入方程（1），经整理得,(3),(1),100,根据在t=0时刻，微分方程两端的冲激函数及其各阶导数应该平衡相等，解得,于是,（3）式，考虑n=1,m=2, n