概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案

1、1 概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案概率论与数理统计第五章课后习题及参考答案 1用切比雪夫不等式估计下列各题的概率 (1) 废品率为03. 0，1000个产品中废品多于 20 个且少于 40 个的概率； (2) 200 个新生儿中， 男孩多于 80 个而少于 120 个的概率(假设男孩和女孩的概 率均为5 . 0) 解：(1) 设x为 1000 个产品中废品的个数，则x)1000,03. 0(b，有 30)(xe，1 .29)(xd， 由切比雪夫不等式，得 )3040303020()4020(xpxp )103010(xp)1030(xp709. 0 10 1 .29 1 2 (2)

2、设x为 200 个新生儿中男孩的个数，则x)200, 5 . 0(b，有 100)(xe，50)(xd， 由切比雪夫不等式，得 )10012010010080()12080(xpxp )2010020(xp)20100(xp 8 7 20 50 1 2 2一颗骰子连续掷 4 次，点数总和记为x，估计)1810( xp 解：设 i x为该骰子掷第i次出现的点数，则 6 1 )( kxp i ，6 , 2 , 1i，6 , 2 , 1k 2 7 )654321 ( 6 1 )( i xe， 6 91 )654321 ( 6 1 )( 2222222 i xe， 12 35 )()()( 22 ii

3、i xexexd，4 , 3 , 2 , 1i 因为 4321 xxxxx，且 1 x， 2 x， 3 x， 4 x相互独立， 故有14)(xe， 3 35 )(xd 由切比雪夫不等式，得 2 )1418141410()1810(xpxp )4144(xp)414(xp 271. 0 4 3 35 1 2 3袋装茶叶用及其装袋，每袋的净重为随机变量，其期望值为 100g，标准差为 10g，一大盒内装 200 袋，求一盒茶叶净重大于5 .20kg 的概率 解：设 i x为一袋袋装茶叶的净重，x为一盒茶叶的净重，由题可知 200 1i i xx，100)( i xe，100)( i xd，200,

4、 2 , 1i 因为 1 x， 2 x， 200 x相互独立，则 20000)()( 200 1 i i xexe，20000)()( 200 1 i i xdxd ) )( )(20500 )( )( ()20500( 200 1 xd xe xd xex pxp i i ) 10200 2000020500 10200 20000 ( x p ) 22 5 10200 20000 ( x p 由独立同分布的中心极限定理， 10200 20000 x 近似地服从) 1 , 0(n，于是 0002. 0)5 . 3(1) 22 5 10200 20000 ( x p 4有一批建筑用木桩，其 8

5、0%的长度不小于 3m现从这批木桩中随机取出 100 根，试问其中至少有 30 根短于 3m 的概率是多少？ 解：设x为 100 根木桩中短于 3m 的根数，则由题可知x)2 . 0 ,100(b，有 20)(xe，16)(xd， 由棣莫弗拉普拉斯定理，得 3 )30(1)30(xpxp ) 4 2030 (1) )( )( (1 xd xex 0062. 0)5 . 2(1 5某种电器元件的寿命服从均值为 100h 的指数分布现随机选取 16 只，设它 们的寿命是相互独立的求这 16 只元件寿命总和大于 1920h 的概率 解： 设 i x为第i只电器元件的寿命， 由题可知 i x)01.

6、0(e，16, 2 , 1i， 且 1 x， 2 x， 16 x相互独立，则100)( i xe，10000)( i xd 记 16 1i i xx，则1600)()( 16 1 i i xexe，160000)()( 16 1 i i xdxd ) )( )(1920 )( )( ()1920( xd xe xd xex pxp ) 400 16001920 400 1600 ( x p)8 . 0 400 1600 ( x p， 由独立同分布的中心极限定理， 400 1600x 近似地服从) 1 , 0(n，于是 2119. 0)8 . 0(1)8 . 0 400 1600 ( x p 6

7、在数值计算中中，每个数值都取小数点后四位，第五位四舍五入(即可以认为 计算误差在区间105 ,105 55 上服从均匀分布)，现有 1200 个数相加，求 产生的误差综合的绝对值小于03. 0的概率 解：设 i x为每个数值的误差，则 i x)105 ,105( 55 u，有 0)( i xe， 12 10 )( 8 i xd，1200, 2 , 1i 从而0)()( 1200 1 i i xexe， 6 1200 1 10)()( i i xdxd 由独立同分布的中心极限定理，x近似地服从)10, 0( 6 n，于是 )03. 0(xp) )( )(03. 0 )( )( ( xd xe x

8、d xex p 4 ) 12 10 1200 003. 0 12 10 1200 0 ( 44 x p9974. 01)3(2 7某药厂断言，该厂生产的某药品对医治一种疑难的血液病治愈率为8 . 0医院 检验员任取 100 个服用此药的病人，如果其中多于 75 个治愈，就接受这一断 言，否则就拒绝这一断言 (1) 若实际上此药对这种病的治愈率是8 . 0，问接受这一断言的概率是多少？ (2) 若实际上此药对这种病的治愈率是7 . 0，问接受这一断言的概率是多少？ 解：设x为 100 个服用此药的病人中治愈的个数， (1) 由题可知x)8 . 0 ,100(b，则80)(xe，16)(xd， 由

9、棣莫弗拉普拉斯定理，得 )75(1)75(xpxp) 4 8075 (1) )( )( (1 xd xex 8944. 0)25. 1 ( (2) 由题可知x)7 . 0 ,100(b，则70)(xe，21)(xd， 由棣莫弗拉普拉斯定理，得 )75(1)75(xpxp ) 21 7075 (1) )( )( (1 xd xex 1379. 0)09. 1 (1 8一射手在一次射击中，所得环数的分布律如下表： x678910 p05. 005. 01 . 03 . 05 . 0 求：(1) 在 100 次射击中环数介于 900 环与 930 环之间的概率是多少？ (2) 超过 950 环的概率

10、是多少？ 解：设x为 100 次射击中所得的环数， i x为第i次射击的环数，则 100 1i i xx，15. 9)( i xe，95.84)( 2 i xe， 5 2275. 1)()()( 22 iii xexexd，100, 2 , 1i 由 1 x， 2 x， 100 x相互独立，得 915)()( 100 1 i i xexe，75.122)()( 100 1 i i xdxd 由独立同分布的中心极限定理， 75.122 915x 近似地服从) 1 , 0(n，于是 (1)930900( xp) )( )(930 )( )( )( )(900 ( xd xe xd xex xd x

11、e p ) 75.122 915930 75.122 915 75.122 915900 ( x p ) 75.122 15 75.122 915 ( x p 823. 01)35. 1 (2 (2)950(xp) )( )(950 )( )( ( xd xe xd xex p ) 75.122 915950 )( )( ( xd xex p 001. 0) 1 . 3(1 9设有 30 个电子元件 1 a， 2 a， 30 a，其寿命分别为 1 x， 2 x， 30 x， 且 且都服从参数为1 . 0的指数分布，它们的使用情况是当 i a损坏后，立即使 用 1i a(29, 2 , 1i)求

12、元件使用总时间t不小于 350h 的概率 解：由题可知 i x) 1 . 0(e，30, 2 , 1i，则10)( i xe，100)( i xd 记 30 1i i xt，由 1 x， 2 x， 30 x相互独立，得 300)()( 30 1 i i xete，3000)()( 30 1 i i xdtd 6 ) )( )(350 )( )( ()350( td te td tet ptp ) 3010 300350 3010 300 ( t p )91. 0 3010 300 ( t p， 由独立同分布的中心极限定理， 3010 300 t 近似地服从) 1 , 0(n，于是 1814. 0)91. 0(1)91. 0 3010 300 ( t p 10大学英语四级考试，设有 85 道选择题，每题 4 个选择答案，只有一个正确 若需要通过考试，必须答对 51 道以上试问某学生靠运气能通过四级考试 的概率有多大？ 解：设x为该学生答对的题数，由题可知x) 4 1 ,85(b，则 25.21)(xe，9375.15)( i xd，85, 2