§10.6 Gauss公式.ppt

1、练习 计算 ， 其中 ： 被平面x+z=2 及 z=0截解得的 部分的外侧.,2,z,x,O,y,前面我们将NewtonLebniz公式推广到了平面区域的情况, 得到了Green公式. 此公式表达了平面闭区域上的二重积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系. 下面我们再把Green公式做进一步推广, 这就是下面将要介绍的Gauss公式, Gauss公式表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系, 同时Gauss公式也是计算曲面积分的一有效方法.,10.6 Gauss 公式,定理: 设空间闭区域 由分片光滑的闭曲面 围成, 函数P(x, y, z), Q(x, y, z), R

2、(x, y, z)在上具有一阶连续偏导数, 则有公式:,这里 是的整个边界曲面的外侧, cos, cos, cos 是 上点(x, y, z)处的(外)法向量的方向余弦.,或,一、 Gauss 公式,证明: 首先假设穿过 内部且平行于坐标轴的直线与 的边界曲面 的交点恰好为两个. 设闭区域在xoy面上的投影区域为Dxy. 将曲面 分为1, 2和3三部分. 1: z=z1(x, y), 2: z=z2(x, y), 3 :以投影区域的边界曲线为准线，母线平行与坐标轴的柱面上介于上下边界曲面之间的部分.,1,2,3,根据三重积分的计算法,根据曲面积分的计算法, 1取下侧, 2取上侧, 3取外侧.

3、则,于是,所以,同理,合并以上三式得, 高斯公式.,Gauss公式的实质: 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系.,由两类曲面积分之间的关系知:,注1: 若 不满足上述条件, 可引进若干张辅助曲面, 将 分成几个有限的小区域使之都满足上述条件. 注意到沿辅助曲面相反两侧的两个曲面积分绝对值相等, 而符号相反, 相加时正好抵消, 因此上述公式对 为一般区域时仍成立.,根据Gauss公式, 用三重积分来计算曲面积分是比较方便的, 但Gauss公式同时也说明, 可用曲面积分来计算三重积分.,注2: Gauss公式成立的条件: (1) 封闭曲面; (2) 方向取外侧;,例1:

4、 计算曲面积分,二、简单的应用,其中 为柱面x2+y2=1及平面z=0, z=3所围成的空间闭区域 的整个边界曲面的外侧.,解: 记P(x, y, z)=(yz)x, Q(x, y, z)=0, R(x, y, z)=(xy).,根据Gauss公式得,原式 =,(用柱面坐标),则,例2: 计算,其中 为锥面x2+y2=z2介于平面z=0及z=h(h0)之间的部分的下侧, cos, cos, cos 是 在点(x, y, z)处的法向量的方向余弦.,1: z=h,Dxy,解: 曲面 在xoy面上的投影区域为Dxy: x2+y2h2. 曲面 不是封闭曲面, 为利用高斯公式, 补充曲面1: z=h,

5、 并取上侧. +1构成封闭曲面, 其围成的空间区域记为, 在 上应用高斯公式:,由 的对称性知:,所以,而,所以,例3: 计算,其中 是曲面 z=2x2y2 (1z2)的上侧.,解: 记0: z=1, 取下侧. : +0所围成的闭区域. 其在xoy面上的投影区域为Dxy: x2+y21. 并设P=y2x, Q=z2y, R=x2z, 则由Gauss公式得:,(用柱坐标),0,而,故,注1: 应用Gauss公式计算曲面积分时, 要求曲面必须是封闭曲面, 若不封闭, 则需要添加一辅助曲面使其封闭, 而在所添加的曲面上, 曲面积分应是容易计算的, 用Gauss公式计算三重积分, 最后减去所补曲面上的

6、积分值, 往往可使计算简化. 注2: Gauss公式要求曲面取外侧这一点也不容忽视, 尤其是对非封闭曲面的曲面积分, 所添加的辅助曲面的侧一定要和所给曲面的侧相容, 若不满足外侧的要求, 可利用反向性予以调整(相差一个负号).,例4 (Green 第一公式): 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域 上具有一阶和二阶连续偏导数, 证明, 为 的整个边界曲面的外侧,为v(x, y, z)沿 的,外法线方向 的方向导数.,引入拉普拉斯(Laplace)算子:,即,Green 第一公式可简写为:,则应用Gauss公式得,移项即得Green第一公式.,证明: 由于,则,设,证: 由G

7、reen 第一公式得,例5 (Green 第二公式): 当函数u(x, y, z)和v(x, y, z)满足Green第一公式条件时有:,两式相减得证Green第二公式.,或,三、物理意义通量与散度,通量的定义:,设有向量场,沿场中某一有向曲面 的第二类曲面积分为:,称为向量场 (x, y, z)向正侧穿过曲面 的通量.,散度的定义:,设有向量场 (x, y, z), 在场内作包围点M的闭曲面, 包围的区域为, 记体积为V, 若当 收缩成点M时, 极限,存在, 则称此极限值为 在点M处的散度, 记为,散度在直角坐标系下的形式:,由Gauss公式:,得,由积分中值定理,两边取极限,故散度的计算公

8、式为:,向量场的散度表征场在M附近的变化情况, 可以想象为从M附近的单位体积向外散发(向内汇集)的向量线的数目, divA0的点称为源, divA0的点称为汇, divA=0的场称为无源场.,高斯公式可写成:,称为向量场 通过指定曲面 侧的流量,(或称通量).,其中是空间闭区域 的边界曲面, An是向量 在曲面 的外侧法向量上的投影. 即,例6: 求向量场,x2+y2a2(0zh)全表面 指向外侧的通量 .,穿过圆柱体 :,解: 由题意知:,设P=yz, Q=xz, R=xy,= 0.,故, = 0.,则,五、小 结,1、高斯公式:,4、高斯公式的物理性质:,2、高斯公式的应用的条件.,3、散度:,利用高斯公式推证阿基米德原理: 浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力(即浮力)的方向垂直向上, 其大小等于该物体排开的液体的重量.,思考题,dS,z,设物体V的表面为 , 在曲面 上任取一面积元素dS, 其上一点的坐标为M(x, y, z), 则上方液体的高度为z, 所受液体压力的方向为 的内法线方向, 即,dS所受液体压力为:,其中为液体密度.,思考题解答:,物体V所受液体的压力的合力(即浮力)在三个坐标轴上的分力