构建知识体系

1、构建知识体系,第十七章 勾股定理,嘉荫县第三中学 苏艳芬,学习目标 知识技能 运用勾股定理进行最短路径等的计算，培养学 生运算能力。 数学思考 让学生经历“回顾-体验-积累”的数学思考过程，体会知识的系统化 问题解决 感受数学知识的发生发展过程，培养学生的合作交流意识和探索精神。 情感态度 体会数形结合思想和方程思想在解决实际问题中的作用，体会勾股定理学习的重要性，发展学生学数学用数学爱数学的思想，体验数学与生活的密不可分,勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明很感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。,回顾勾

2、股定理之证明,美国总统 伽菲尔德,回顾勾股定理之证明,1940年出版过一本毕达哥拉斯命题的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。在这数百种证明方法中，有的十分精彩，有的十分简洁，有的因为证明者身份的特殊而非常著名。介绍勾股定理的两个最为精彩的证明，分别来源于中国和希腊。,欣赏勾股之魅力,欣赏勾股之魅力,请师友交流构建知识体系预习情况，师友共同探究解决预习中出现的困惑，如果学友没有问题，学师可以向学友提问，如果学友提出问题，学师帮学友理清思

3、路，如果学师也解决不了可以向其他师友请教，仍然解决不了的问题请标注，准备全班交流。,一、交流预习,2、师友交流:,温馨提示,全班师友集体交流，请各组师友积极进行展示发言，发言时，学友先口述讲解，学师可以补充纠正学友讲解不完整或出现的错误，学师可以可以进一步强调重点知识或提出疑惑问题，或对学友进行鼓励。每组师友展示后，其他师友进行答疑、点评、补充。,二、互助探究,1、师友探究:,温馨提示,1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么,a2 + b2 = c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.,在直角三角形中才可以运用,2.勾股定理的应用条件,一、勾股定理,3.勾股定理表达式

4、的常见变形：,a2c2b2, b2c2a2，,构建知识体系,二、勾股定理的逆定理,1.勾股定理的逆定理,如果三角形的三边长a，b，c 满足 a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形.,满足a2 +b2=c2的三个正整数，称为勾股数.,2.勾股数,3.原命题与逆命题,如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中 一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.,2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC边上的高线AD=8,则BC= .,D,D,1.已知:直角三角形的三边长分别是3,4,X,则X2 =,25或7,一、分类思想,体验勾股定理的运用,21或9,分类思想规律,1.直角三角形中，已知两

5、边长,应分类讨论: (1)这两边都是直角边时.(2)较大边是斜边时。,2.当已知条件中没有给出图形时，应认真读句画图，避免遗漏另一种情况。,1、小强想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳子垂到地面还多1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为 米,A,B,C,5米,(X+1)米,x米,二、方程思想,12,2、折叠问题 矩形ABCD的一边AD沿AE折叠,使点D落在BC边上的点F处,已知AB=8CM,BC=10CM,则CF的长为 CM. EC的长为 CM.,A,B,C,D,E,F,8,10,10,6,X,8-X,4,8-X,4,3,方程思想规律,直角三角形中，当无法已知两

6、边求第三边时，应采用间接求法：灵活地寻找题中的等量关系，利用勾股定理列方程。,1.如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是多少？,三、展开思想,3,2,3,2,3,解析:如图,将台阶面展开,连接AB,线段AB即壁虎所爬的最短路线.由题意,得BC=33+23=15(dm),AC=20dm,在RtABC中,根据勾股定理,得AB=25(dm),所以壁虎至少爬25dm.,2.如图所示，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处，问怎样走路线最

7、短？最短路线长为多少？,解蚂蚁由A点沿长方体的表面爬行到C1点，有三种方式：,沿ABB1A1和A1 B1C1D1面；沿ABB1A1和BCC1B1面；沿AA1D1D和A1B1C1D1面.把三种方式分别展成平面图形如下：,三、展开思想,解：在RtABC1中，,在RtACC1中，,在RtAB1C1中，,沿路径走路径最短，最短路径长为5.,3.如图，长方体的长为15 cm，宽为 10 cm，高为20 cm，点B离点C 5 cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬到点B，需要爬行的最短距离是多少？,10,20,三、展开思想,E,F,10,20,10,20,F,E,A,E,C,B,20,15,10,

8、5,C,三、展开思想,答案：(1)只要把长方体的左侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成 一个长方形，如图1： 长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， BECEBC10515，AE20. 在RtABE中，根据勾股定理得 AB25.,20,10,E,F,(2)只要把长方体的左侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图2： 长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， BFCFBC20525，AF10. 在RtABD中， 根据勾股定理得AB .,20,10,E,F,A,E,C,B,20,15,10,5,(3)只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长

9、方形，如图3：长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5， ACCEAE201030.在RtABC中，根据勾股定理得 AB5 . 25 5 ， 自A至B在长方体表面的连线距离最短是25.,20,10,E,F,我怎么走 会最近呢?,4. 有一个圆柱,它的高为12cm,底面半径为3cm,在圆柱下底面上的A点有一只蚂蚁,它想从点A爬到点B , 蚂蚁沿着圆柱侧面爬行的最短路程是多少? (的值取3),三、展开思想,高 12cm,B,A,长18cm (的值取3),9cm, AB2=92+122=81+144=225=, AB=15(cm),答:蚂蚁爬行的最短路程是15cm.,152,解:将圆柱侧面展

10、开如图.在RtABC中,根据勾股定理,C,C,1. 几何体的表面路径最短的问题，一般展开表面成平面。,2.利用两点之间线段最短，及勾股定理求解。,展开思想规律,解题技巧：化折为直.长方体中求两点之间的最短距离，展开方法有多种，一般沿最长棱展开，距离最短.,C,如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km，CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。,A,P,B,D,E,1,2,4,1,1,4,5,四.勾股定理与最短距离问题,有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，

11、如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm求蜘蛛爬行的最短路径长(取3).,三、分层提高,有一圆柱体高为8cm，底面圆的半径为2cm，如图.在AA1上的点Q处有一只蜘蛛，QA1=3cm，在BB1上的点P处有一只苍蝇，PB=2cm求蜘蛛爬行的最短路径长(取3).,解：如图,沿AA1剪开,过Q作QMBB1于点M,连结QP. 则PM=8-3-2=3(cm)， QM=A1B1= 22=6(cm). 在RtQMP中，由勾股定理，得 即蜘蛛爬行的最短路径长是 cm,我的收获 （可以从知识上、方法上、 师友合作上）,四、总结归纳,1.师友总结,2.教师归纳,思考：利用勾股定理解题决实际问题时，基本步骤