函数的最大(小)值与导数.ppt

1、旧知回顾,函数极值的定义,函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对x0附近的所有点都有f(x)f(x0)则f(x0)是函数f(x)的一个极小值.,求解函数极值的步骤,解方程 .当 时：,（1）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极大值；,（2）如果在 附近的左侧 ，右侧 ，那么 是极小值；,新课导入,观察下图，点a与点b处的函数值，与他们附近点的函数值有什么关系？,a,b,观察下图中的曲线,a点的函数值f(a)比其他点的函数值都大b点的函数值f(b)比其他点的函数值都小,在某些问题中，往往关心的是函数在整个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通常所说的最值问题.,3.3 导数在研

2、究函数中的应用,函数的最大（小）值与导数,3.3.3,教学目标,知识与能力,理解函数的最大值、最小值、的意义.掌握函数最值的判别方法.进一步体验导数的作用.,过程与方法,从函数的几何图形上观察、探究最大（小）值与极值、两个端点处的函数值之间的关系，总结出一般规律，并用来求一些简单（连续）函数的最大（小）值.,情感态度与价值观,在解决具体问题的过程中，将研究函数的导数方法与初等方法作比较，体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性.,教学重难点,重点,利用导数求函数的最大（小）值.,难点,求函数的最大（小）值.,观察,观察右边一个定义在区间a,b上的函数y=f(x)的图象.,发现图中_是极小值

3、，_是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小值是_.,f(x1)、f(x3),f(x2),f(b),f(x3),你知道吗？,极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域的性质.但是，在解决实际问题或在研究函数性质时，往往更关心函数在某个区间上哪个值最大，哪个值最小？,观察,如下图，观察区间a，b上函数y=f(x)的图像，你能找出它的极大值极小值吗？,观察图像，可以发现 是函数y=f(x)的极小值， 是极大值.,你能找出函数y=f(x) 在区间a，b上的最大值最小值吗？,从图1.3-13可以看出，函数y=f(x)在区间a，b上的最大值是f(a)，最小值是 .,在上图中，观察a

4、,b上的函数y=f(x)的图像，它们在a,b上是否有最大值最小值？如果有，分别是多少？,结论,一般地，如果在区间a,b上函数y=f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.,如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出最小值，最大值呢？,例1,例题讲解,求函数 在0,3上的最大值与最小值.,上述结论可从函数f(x)在0,3上的图像得到直观的验证.,例2,求函数f(x)=x2-4x+6在区间1，5内的极值与最值 .,-,+,3,11,2,故函数f(x) 在区间1，5内的极小值为3，最大值为11，最小值为.,例3,求函数y=x4-2x2+5在区间-2,2上的最大值与最小值.,动

5、动手,解:,令 ,解得x=-1，0，1.,当x变化时, 的变化情况如下表:,从上表可知,最大值是13,最小值是4.,（1）极值是仅对某一点的附近而言，是在局部范围内讨论问题，而最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题 .,极大（小）值与极大（小）值的区别是什么？,（2）函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个，而函数的极值则可能不止一个，也可能没有极值,并且极大值（极小值）不一定就是最大值（最小值）.,最值与极值的区别,知识要点,一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,（1）求函数y=f(x)在a,b内的极值；,（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数

6、值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,知识拓展,求函数的最值时,应注意:,闭区间a,b上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值.,课堂小结,一般地，求函数y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下：,（1）求函数y=f(x)在a,b内的极值；,（2）将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.,函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义域而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性的概念.,高考

7、链接,（全国卷）已知a 0 ，函数f(x) = （ -2ax ）,，当X为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论.,B,随堂练习,1. 已知f(x)=2x3-6x2+m（m为常数），在-2 , 2上有最大值3，函数在-2 , 2上的最小值_.,-37,2. 函数f(x)=x3+ax+b，满足f(0)=0，且在x=1时取得极小值，则实数a的值为_.,-3,3. 函数f(x)=x-3x+1在闭区间-3,0上的 最大值、最小值分别是（ ） 1，1 B. 1，-17 C. 3，-17 D. 9，-19,C,4. 函数f(x)的定义域为R，导函数f (x)的图象如图，则函数f(x) （ ） 无极大值点，有两个极小值点 有三个极大值点，两个极小值点 有两个极大值点，两个极小值点 有四个极大值点，无极小值点,C,x,o,y,5. 求函数 在区间-1，3上的最大值与最小值.,令 ,得,解:,相应的函数值为:,又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0,比较得, f(x)在点