第四章 上自由曲线曲面2.ppt

1、第四章自由曲线曲面，讲师：差分正坤，贝塞尔曲线的上升和下降，1。bezier曲线的上升差是指保持bezier曲线的形状和方向不变，增加定义它的控制顶点数，即增加bezier曲线数。(阿尔伯特爱因斯坦、美国电视电视剧、自由曲线)增加曹征顶点数不仅增加了控制曲线形状的灵活性，而且还有构建曲面的重要应用程序。对于从曲线生成曲面的某些算法，其曲线必须相同。使用乘车的方法，如果将低于最大数量的曲线提高到最大数量，则每条曲线可以有相同的次数。(David aser，Northern Exposure(美国电视电视剧)，曲线上升时，原始控制顶点会发生变化。接下来，让我们计算曲线上升一步后的新曹征顶点。原始曹

2、征顶点P0、P1、如果给定Pn牙齿，则定义n次bezier曲线。添加顶点后，定义相同曲线的新曹征顶点仍为P0*、P1*、如果Pn 1*:位于左上角，新的控制顶点显示通过分段线性插值从原始要素多边形获得参数值。晋级的新特征多边形位于原始特征多边形的凸面包内。要素多边形更接近曲线。如图3.1.14所示，三维贝塞尔曲线的上升示例如图3.1.14所示。2 .贝塞尔曲线的下降，下降阶梯是上升的逆过程。原始曹征顶点Pi(i=0，1，n)定义的n次bezier曲线，如果给定，则为新曹征顶点Pi*(i=0，1，必须找到n-1)定义的n-，假设Pi是从Pi*晋升中获得的，则可以从牙齿等式中导出两个迭代公式。和，

3、第一个迭代公式倾向于在P0附近生成更好的近似，第二个迭代公式倾向于在Pn附近生成更好的近似。B样条线和曲面以及由Bernstein基本函数组成的bezier曲线或曲面具有许多优点，但也有两个茄子缺点。一种是不能部分修改bezier曲线或曲面。第二种是bezier曲线或曲面的连接复杂。1972年，Gordon、Riesenfeld等公司提出了B样条法，保留了bezier方法的所有优点，克服了bezier方法的弱点。b-云形线的递回定义和性质，以及定义bezier曲线的方式类似。b样条曲线表达式定义为：其中Pi(i=0，1，n)是控制多边形的顶点，ni，k (t) (I=，B-样条曲线有多个茄子等

4、价定义，理论上更多地使用切割力函数的差值定义。介绍De Boor-Cox递归定义(也称为de Boor-Cox公式)作为标准算法。规则0/0=0。牙齿递归公式确定第I次K次B-样条Ni，k(t)的步骤为：ti，ti 1，ti k共1个节点，即区间ti，ti k表明需要Ni，k(t)的支撑区间。在曲线方程式中，n 1控制顶点Pi(i=0，1，n)使用n 1 K次B样条线Ni，k(t)。这些支撑部分的并集为b样条曲线基本集的节点矢量T=t0，t1，定义tn k。2特性(1)局部支撑性。(2)规范。(3)微分。3B样条曲线类型的分割曲线分为闭合曲线和开放曲线，具体取决于第一个端点是否重合。闭合曲线分

5、为周期和非周期两种茄子情况。周期闭合曲线和非周期闭合曲线在第一端是C2连续，后者通常是C0连续曲线。非周期闭合曲线可以视为开放曲线的特殊情况，也可以视为开放曲线。b样条曲线可以根据节点矢量的节点分布分为四种茄子类型。曹征多边形的顶点位于Pi(i=0，1、n)，阶数为k (k-1)时，节点向量为T=t0，t1，tn k。数量p、曹征顶点数n 1、节点数k 1具有以下关系：k=n p 1，(1)均匀b样条曲线节点矢量中的节点沿参数轴均匀或均匀分布，所有节点间距长度i=ti 1-ti=常量0 (I=0，1，n k)图3.1.23是均匀b样条曲线的示例。图3.1.23三次均匀b样条，(2)半均匀b样条

6、和均匀b样条的区别在于两端节点具有迭代k。这些节点向量定义了准均匀b-云形线基底。均匀b样条曲线具有均匀表达式，在曲线定义域内的每个节点间距用局部参数表示，从而简化了计算和处理。但是，使用它定义的均匀b样条线不保留bezier曲线端点的几何属性。也就是说，样条的第一个端点不再是控制多边形的第一个端点。使用图3.1.24拟均匀三次b样条、拟均匀b样条曲线解决牙齿问题，并更好地控制端点处曲线的行为，如图3.1.24所示。(3)分段bezier曲线节点向量的两端节点具有迭代K，所有内部节点迭代都为k-1。这些节点向量定义了段的Bernstein基础。如果b样条线显示为线段bezier曲线，则每个曲线

7、段相对独立，移动曲线段内的控制顶点之一只会影响该曲线段的图形，而不会影响其他曲线段的图形。而且贝塞尔曲线可以原封不动地采用一套简单有效的算法。其他三种茄子类型的b样条线可以插入节点并将其转换为线段bezier曲线类型。缺点是定义曲线的数据增加，控制顶点数和节点数增加。线段bezier曲线的示例如图3.1.25所示。图3.1.25三次分段bezier曲线，(4)在非均匀b样条牙齿类型中随机分布的节点矢量T=t1，t2，tn k，只要在数学上成立(节点序列不减少，两端节点迭代也为k，这些节点矢量定义了非均匀b样条基)。b-样条线的属性，1局部性由b-样条线的局部性决定，k-b-样条线的参数为tti

8、，ti 1的点P(t)是最多k个曹征顶点Pj(j=i-k 1，I)相关，与其他曹征顶点无关。移动曲线的第I个曹征顶点Pi最大程度地影响间距(ti，ti k)定义的曲线的形状，而不影响曲线的其馀部分。2连续P(t) R重节点ti(kin)中的连续顺序不低于k-1-r。整条曲线P(t)的连续顺序必须大于k-1-rmax。其中rmax表示部分(TK-1，其中RMAX表示部分(TK-1)。3凸，4段参数多项式P(t)是每个间隔(ti，ti 1)，k-1in是参数T的多项式，k-1in不是大于k-1，P(t)是参数T的k-1段多项式. 5度数公式是B-样条基的微分公式平面内直线与P(t)的交点数不超过直

9、线与要素多边形的交点数。7几何不变b样条曲线的形状和位置与坐标系选择无关。8仿射不变性在仿射变换A:即，在仿射变换中，P(t)的表达式具有形式不变性。9线保持控制多边形退化为直线时，曲线也退化为直线。NURBS曲线曲面，建议使用NURBS方法，即非均匀玻璃b样条曲线方法。主要是为了寻找描述自由曲线、曲面的b-云形线方法，以及精确表示均匀二次曲线弧和二次曲面的数学方法。，NURBS曲线的定义NURBS曲线由线段玻璃b样条多项式基本函数定义。其中Ri，k(t)(i=0，1，n)称为k阶玻璃基本函数。Ni，k(t)是k阶b样条曲线的基本函数。Pi(i=0，1，n)是特征多边形控制顶点位置矢量wi与Pi对应的权重系数，第一个最终权重系数w0，wn0，剩馀wi0，Ri，k(t)具有与k次b样条基本函数相似的特性，Ij具有该控制点的权重系数Ni、p(u)和Nj、q(v)规定使用P阶和Q阶的B样条基本函数、RI、P。Vn q根据de Boor递归公式确定，通常是P个Q个P个Q个Q个NURBS曲面的特