2014-2015年高中数学选修2-1-22.4.2.1.ppt

1、2.4.2抛物线的简单几何性质 第1课时抛物线的简单几何性质,抛物线的简单几何性质,x0,yR,x0,yR,xR,y0,xR,y0,x,y,O(0,0),1,1.判一判(正确的打“”,错误的打“”) (1)抛物线是中心对称图形.() (2)抛物线的范围是xR.() (3)抛物线是轴对称图形.(),【解析】(1)错误.在抛物线方程中,以-x代x,-y代y,方程发生了变化,故抛物线不是中心对称图形,故此说法错误. (2)错误.抛物线的方程不同,其范围就不一样,如y2=2px(p0)的范围是x0,yR,故此说法错误. (3)正确.抛物线y2=2px(p0)的对称轴为x轴,抛物线x2=2py(p0)的

2、对称轴为y轴,故此说法正确. 答案:(1)(2)(3),2.做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)顶点在原点,对称轴为y轴且过(4,1)的抛物线方程是. (2)已知点(-2,3)与抛物线y2=2px(p0)的焦点的距离是5,则p=. (3)抛物线y=2px2(p0)的对称轴为.,【解析】(1)由已知可设抛物线的方程为x2=ay,将点(4,1)代入,得a=16,故方程为x2=16y. 答案:x2=16y,(2)y2=2px(p0)的焦点为 由题意得 解得p=4或p=-12(舍去). 答案：4 (3)由y=2px2(p0)，得 故对称轴为y轴. 答案：y轴,【要点探究】 知识点 抛物线的简单几

3、何性质 1.抛物线的标准方程与对称性、焦点位置的关系,2.抛物线的图象具有的特征 抛物线是轴对称图形,其对称轴为x轴或y轴,只有一个顶点,一个焦点,一条准线,并且离心率为1.,3.在标准方程形式下抛物线的性质与椭圆、双曲线的比较,【知识拓展】抛物线的通径,【微思考】 (1)影响抛物线开口大小的量是什么，是如何影响的？ 提示：参数p影响抛物线开口大小,p值越大，抛物线的开口越开阔，p越小，开口越扁狭.,(2)点P(x0,y0)与抛物线y2=2px(p0)的关系有哪些？分别满足什么条件？ 提示：点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p0)内部y022px0； 点P(x0,y0)在抛物线y2=2p

4、x(p0)上y02=2px0； 点P(x0,y0)在抛物线y2=2px(p0)外部y022px0.,【即时练】 已知抛物线y2=6x，判断下列点与该抛物线的关系. (1)P1(1， ).(2)P2(2，3).(3)P3(1，3). 【解析】将点的坐标分别代入抛物线y2=6x的方程，可知P1在 抛物线上，P2在抛物线内部，P3在抛物线外部.,【题型示范】 类型一 焦半径和焦点弦问题 【典例1】 (1)(2014石家庄高二检测)过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2),若x1+x2=6,那么|AB|等于() A.10 B.8 C.6 D.4,(2)已知抛物线y2=

5、2px(p0),直线l经过其焦点且与x轴垂直,并交抛物线于A,B两点,若|AB|=10,P为抛物线的准线上一点,则ABP的面积为() A.20 B.25 C.30 D.50,【解题探究】1.题(1)过焦点的弦问题一般如何处理? 2.题(2)中焦点到准线的距离等于多少? 【探究提示】1.过焦点的弦问题一般可转化为焦半径问题求解. 2.焦点到准线的距离等于p.,【自主解答】(1)选B.由抛物线y2=4x，得p=2, 设抛物线的焦点为F，则|AB|=|AF|+|FB|= =x1+x2+p=6+2=8. (2)选B.因为直线l过抛物线y2=2px(p0)的焦点且与x轴垂直， 并且交抛物线于A，B两点，

6、则|AB|=2p=10，所以p=5，故抛物 线的方程为y2=10 x，P为抛物线的准线上一点.P到直线AB的距 离为p=5，则ABP的面积为 105=25.,【方法技巧】 1.抛物线的焦半径 (1)抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点为 端点的线段. (2)抛物线的焦半径公式：P(x0,y0)为抛物线上一点，F为焦点. 若抛物线y2=2px(p0),则|PF|= 若抛物线y2=-2px(p0),则|PF|= 若抛物线x2=2py(p0),则|PF|= 若抛物线x2=-2py(p0),则|PF|=,2.过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦的端点为A(x1,

7、y1), B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p,然后利用弦所在直线方程与抛物线方程联立、消元,由根与系数的关系求出x1+x2即可.,【变式训练】抛物线的顶点在原点,以x轴为对称轴,经过焦点且倾斜角为135的直线被抛物线所截得的弦长为8,试求抛物线的方程. 【解题指南】联立方程组,由过焦点的弦长公式表示出弦长,解方程求出参数值,从而得出抛物线的标准方程.,【解析】若抛物线开口向右， 如图. 设抛物线的方程为y2=2px(p0), 则直线方程为,设直线交抛物线于A(x1,y1)， B(x2,y2)两点, 则由抛物线定义得|AB|=|AF|+|FB|=|AC|+|BD| = 即x1+x2+p

8、=8. 又A(x1,y1),B(x2,y2)是抛物线和直线的交点, 由 消去y，得 所以x1+x2=3p.,将其代入，得p=2. 所以所求抛物线的方程为y2=4x. 当抛物线的开口向左时，同理可求得抛物线的方程为y2=-4x. 综上，抛物线的方程为y2=4x或y2=-4x.,【补偿训练】AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的一条弦，且 |AF|=1，|BF|= 求抛物线及直线AB的方程. 【解题指南】设出A，B两点的坐标，根据抛物线定义可分别表 示出|AF|和|BF|，进而可求得|AF|+|BF|，求得x1+x2的表达 式，表示出|AF|BF|，建立等式求得p，则抛物线方程可得. 再由|A

9、B|= 得sin2= 从而利用特殊角的三角函 数求出直线AB的斜率，由点斜式方程写出直线AB的方程.,【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AF|= |BF|= 则|AF|+|BF|=x1+x2+p= 所以x1+x2= 因为|AF|BF|, 所以过焦点 的直线斜率存在且不为0，则可设AB的方程 为,又因为A,B两点是直线AB与抛物线的交点，则 所以x1x2= 由|AF|BF|= 得 即 所以 抛物线方程为y2=x.,设直线AB的倾斜角为, 又根据两点间的距离公式得|AB|2=(y2-y1)2+(x2-x1)2=(tan2+ 1)(x2-x1)2, 由于直线AB过点 设直线AB的方

10、程为 与抛物线方程联立得到：tan2x2-(tan2+2)px+ p2tan2=0, 那么(x2-x1)2=(x2+x1)2-4x1x2 =,=4p2(tan2+1) 那么|AB|2=(tan2+1)(x2-x1)2 =(tan2+1)4p2(tan2+1),所以|AB|= 由|AB|= 得 所以 所以=60或120,得 所以直线AB的方程为,类型二 抛物线性质的应用 【典例2】 (1)抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,点A是抛物线上一点,且AFO=120(O为坐标原点),AKl,垂足为K,则AKF的面积是. (2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点,另外两个顶点A,B在抛物线y2

11、=2px(p0)上,求这个三角形的边长.,【解题探究】1.题(1)由题设条件,要求AKF的面积,只需求出什么? 2.题(2)三角形的另两个顶点应满足什么关系? 【探究提示】1.根据题设条件,要求AKF的面积,只需求出点A的坐标即可. 2.根据抛物线的对称性及三角形为正三角形,故A,B两点应关于x轴对称.,【自主解答】(1)如图， 设A(x0,y0), 过A作AHx轴于H, 在RtAFH中，|FH|=x0-1, 由AFO=120得AFH=60, 故,所以点A的坐标为 将此代入抛物线方程可得3x02-10 x0+3=0, 解得x0=3或x0= (舍),故SAKF= 答案：,(2)如图所示，设正三角

12、形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，y12=2px1,y22=2px2. 又因为|OA|=|OB|, 所以x12+y12=x22+y22, 即x12-x22+2px1-2px2=0. 所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0. 因为x10,x20,2p0, 所以x1+x2+2p0.所以x1=x2.,即A，B两点关于x轴对称,则AOx=30, 所以ABx轴,所以y1=x1tan 30= 又因为x1= 所以y1= 而|AB|=2y1= 即为所求边长.,【延伸探究】题(2)中若AOB为直角三角形,且AOB=90,判断直线AB是否恒过定点？ 【解析】直线AB恒

13、过定点(2p,0).设 由OAOB，故kOAkOB=-1，得： 即y1y2=-4p2.,所以直线AB的方程为 即 = 将y1y2=-4p2代入上式得 故直线AB恒过定点(2p,0).,【方法技巧】利用抛物线的性质可以解决的问题 (1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题. (2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题. (3)范围：解决与抛物线有关的最值问题. (4)焦点：解决焦点弦问题.,【变式训练】已知直线l过坐标原点， 抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半 轴上.若点A(-1，0)和点B(0，8)关于 l的对称点都在C上，求直线l和抛物线 C的方程.,【解题指南】先设出抛物线的标准方程和直

14、线l的方程，根据A，B分别是A，B关于l的对称点，进而可知AAl,进而可得直线AA的方程，把两直线方程联立求得交点M的坐标，进而根据M为AA的中点，求得A点的坐标和B点的坐标，分别代入抛物线方程求得p的表达式，最后联立求得k，进而求得p，则直线和抛物线的方程可得.,【解析】依题设抛物线C的方程可写为 y2=2px(p0), 且x轴和y轴不是所求直线，又l过原点， 因而可设l的方程为y=kx(k0)， 设A，B分别是A，B关于l的对称点，因而AAl，直线 AA的方程为 由联立解得AA与l的交点M的坐标为,又M为AA的中点，从而点A的横坐标为 纵坐标为 同理得点B的横、纵坐标分别为,又A，B均在抛

15、物线y2=2px(p0)上， 由得 由此知k1,即 同理由得 即 从而 整理得k2-k-1=0, 解得,但当 时，由知 这与点A在抛物线y2=2px(p0)上矛盾，故舍去 所以 则直线l的方程为 将 代入，求得 所以直线方程为 抛物线方程为,【补偿训练】已知A，B是抛物线y2=2px(p0)上两点，O为坐标原点，若|OA|=|OB|，且AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.,【解析】如图所示.设A(x0,y0), 由题意可知B(x0,-y0)， 又 是AOB的垂心， 则AFOB，所以kAFkOB=-1, 即 所以y02= 又y02=2px0,所以 因此直线AB的方程为,类型三 抛物

16、线中的定值与最值问题 【典例3】 (1)(2014太原高二检测)已知抛物线y2=2px(p0)的经过焦 点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1,y1),B(x2,y2)，则 的值一定等于( ) A.4 B.-4 C.p2 D.-p2 (2)抛物线y=4x2上一点到直线y=4x-5的距离最短，则该点的坐 标是( ) A.( ，1) B.(0,0) C.(1,2) D.(1,4),【解题探究】1.题(1)x1x2可否用y1y2表示? 2.题(2)中抛物线的方程是否是标准方程,抛物线上的任意一点到直线y=4x-5的距离如何表示?,【探究提示】1.能.由A，B在抛物线上，故 所以 2.已知的方程不是标准

17、形式，可化为 可设抛物线上的 一点为(x,4x2)，则其到直线的距离为,【自主解答】(1)选B.由抛物线y2=2px(p0)，得焦点坐标为 设过焦点的弦AB所在直线方程为 由 消去x得：y2-2pmy-p2=0, 所以y1y2=-p2. 由A(x1,y1),B(x2,y2)在抛物线上，故 所以,(2)选A.方法一：设抛物线上点的坐标为(x,4x2)，其中xR， 由点到直线的距离公式得 所以当 时，d最小.这时点的坐标为,方法二：设与y=4x-5平行的抛物线y=4x2的切线方程为y=4x+m, 由 得4x2-4x-m=0. 再由=16-44(-m)=0得m=-1. 这时切点为 切点 到y=4x-

18、5的距离最小.,【方法技巧】抛物线中最值的求解策略 (1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解,但要注意抛物线的范围. (2)当条件中有关于抛物线上的点P到焦点F的距离问题一定要考虑抛物线的定义,注意点P到F的距离与点P到准线距离的转化.,【变式训练】过抛物线y=ax2(a0)的焦点F的直线交抛物线于 P，Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p，q，则 等于( ),【解析】选C.抛物线y=ax2的标准形式为 所以焦点 取特殊情形， 即直线PQ平行于x轴，则p=q. 如图所示，由于|PF|=|PM|, 所以 故,【补偿训练】已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1，抛物线 y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ),【解析】选A.直线l2:x=-1为抛物线 y2=4x的准线，由抛物线的定义知， P到l2的距离等于P到抛物线的焦点 F(1,0)的距离，故本题转化为在抛 物线y2=4x上找一个点P，使得P到点F(1，0)和直线l1的距离之 和最小,最小值为F(1，0)到直线l1：4x-3y+6=0的距离，即dmin = 故选择A.,【规范解答】抛物线的性质在求最值中的应用 【典例】(1