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文档简介

1、第四节 重积分的应用,一、问题的提出,二、曲面的面积,三、质心,四、转动惯量,五、引力,六、小结 思考题,一、问题的提出,1. 能用重积分解决的实际问题的特点,所求量是,对区域具有可加性,从定积分定义出发 建立积分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界闭域上的整体量,3. 解题要点,画出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出积分限、计算要简便,2. 用重积分解决问题的方法,二、曲面的面积,1.设曲面的方程为：,在D上偏导数连续,设光滑曲面,则面积 A 可看成曲面上各点,处小切平面的面积 d A 无限积累而成.,设它在 D 上的投影为 d ,(称为曲面S的面积元素),则,故有曲面面积公式,即,

2、2.若光滑曲面方程为,则有,3.若光滑曲面方程为,则有,【例1】,【解】,在D上无界,于是 半个球面的面积为,整个球面的面积为,【注】,反常二重积分,【解】,补充,动画演示,【解】,解方程组,得两曲面的交线为圆周,在 平面上的投影域为,例4. 计算双曲抛物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影为,则,出的面积 A .,a,a,a,a,a,D,2,x,z,y,o,2,问题： 曲面向哪个坐标面投影？,o,只能向zox平面投影,2,Dxz,o,2,Dxz,o,三、质心,1.平面薄片的质心,当薄片是均匀的，重心称为形心.,由元素法,(二重积分表示),【解】,【解】,【例8】,薄片关于 轴对称,【解】,2.空间物体的质心,其中,（推广）,(三重积分表示),四、转动惯量,1.平面薄片的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,薄片对于 轴的转动惯量,【解】,2.空间立体的转动惯量,【例10】,【解】,薄片对 轴上单位质点的引力,为引力常数,五、引力,【解】,由积分区域的对称性知,所求引力为,【推广】,空间立体对质点的引力（略）,【几何应用】曲面的面积,【物

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