第三章平面立体的投影及线2.ppt

1、第三章 平面立体的投影及线面投影分析第二讲,教学内容：,1、点与直线的关系 2、两直线间的相对几何关系 3、直角投影定理 4、直线的辅助投影,教学重点：,1、两直线间的相对几何关系 2、直角投影定理 3、直线的辅助投影,教学难点：,1、两直线间的相对几何关系 2、直角投影定理 3、直线的辅助投影,(a)点在直线上,(b)点不在直线上,k”,3.2.3 直线上的点,点与直线的关系：点在直线上；点在直线外。,（2）定比性：若点在线段上，则该点将线段及其投影分成定比。即：AK:KB=ak:kb=ak:kb= a”k”:k”b”,反之亦成立。,直线上的点具有两个特性： （1）从属性：点的三面投影均在直

2、线上，则点在直线上； 点的某个投影不在直线上，则点不在直线。,例3-1 如图，三棱锥的棱线点K和M的正面投影，求其余投影。,已知,方法一，利用从属性,方法二，利用定比性,m,(m”),m,m,例： 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。,AB,ab,a,b,a,b,X,O,BC=L,zA-zB,空间两直线的相对位置可分为：,两直线平行,两直线相交,两直线交叉（交错）,3.2.4 两直线间的相对几何关系,共面,异面,一、两直线平行,(2)平行两线段长度之比等于其投影长度之比。,(1) 两直线平行，其同面投影都平行；,1、两直线平行的投影特点：,一般根

3、据两面投影便能判断两直线是否平行：,两面投影均平行的直线空间不一定平行,2、两直线平行的判定：,若直线的三面投影均平行，则空间两直线平行。,当两直线为投影面平行线时，需判断两直线在其平行的投影面上的投影是否平行，若平行则两直线平行，否则交错。,两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影平行则两直线空间也平行,例：判断下图两侧平线的空间位置？,3、同面投影对角连线的交点是否符合点的投影规律？,2、同面投影长度之比是否相等，且方向是否一致？,1、第三面投影是否平行？,二、两直线相交,a,b,c,d,b,a,c,d,k,k,两直线相交其各组同面投影都相交，且各投影的交点，满足同一点的投影规律；反之亦然

4、。,1、两直线相交的投影特点：,当其中有一条直线为投影面平行线时，则需要作出该直线在所平行的投影面上的投影来判断；也可根据其两面投影中的交点将直线分成的两段是否成比例来判断。,一般根据直线的两面投影即可判断是否相交,两直线为一般位置直线时，若直线的两面投影相交且交点符合点的投影规律，则两直线空间也相交。,3、两直线交错（交叉）,（3） 两直线为投影面平行线时，若在平行的投影面内的投影相交，则两直线交错。,（2） 两直线的一面投影平行，其余两面投影均相交，则两直线交错;,（1） 两直线的三面投影相交，但交点不符合空间点的投影规律；,判定条件：,既不平行也不相交的两直线称为交错（或交叉）直线。,1

5、,2,3,4,5,6,判断下面形体的轮廓线为交错直线,交错直线同面投影的交点，是二交错直线上一对重影点的投影。利用重影点可以帮助判定两直线的位置。,A,B,C,D,X,O,W,H,判断两根管子的可见性,d,a,b,c,d,a,b,c,X,0,判断两直线的位置关系,a,b,c,d,e,a（f）,b,c,d,e,0,X,AB与CD,AB与AE,CD与AE,交错,相交,交错,0,X,a,b,c,d,a,b,c,d,AB与CD,平行,g,g,f,AB与FG,交错,例：如图，过点A作一直线AB与直线CD相交且点B距H面20mm。,b,0,X,a,a,c,d,c,d,例：作一直线MN使其平行AB且与直线C

6、D、EF相交,n,a,b,c,d,e,f,m,n,a,b,c(d),e,f,m,4、两直线垂直（直角投影定理）,AB垂直于AC,且AB平行于H面,则有ab ac,1、垂直相交两直线,定理垂直相交(或垂直交错）的两直线，其中有一条直线平行于投影面时，则两直线在该投影面上的投影仍反映直角。反之亦成立。,2、垂直交错两直线,MNAB ,过点A作ACMN,则ACAB,且ABH面,则有ab ac，又mnac,则mnab,例：如图，已知直线AB和点M的两面投影，求过点M 作直线AB的垂线的两面投影。,m,m,b,a,b,a,0,X,m,m,b,a,b,a,0,X,例: 如图，矩形的一边AB为水平线，试画全

7、矩形ABDC的二投影。,解： 按对边平行关系画全abdc;,按邻边垂直关系画出ac ;,按对边平行关系画全abdc。,a,b,例：已知菱形ABCD的一条对角线AC为正平线，菱形的一边AB位于直线AM上，求该菱形的投影？,b,例：求AB、CD的距离的两面投影。,X,a,b,a(b),c,d,c,d,0,例：如下图过A点作直角三角形ABC。已知一条直角边为BC 居于，（为水平线），另一直角边为，且:,m,n,m,n,a,X,0,a,3.2.5 直线的辅助投影 特殊直线具有真实性或积聚性，这些特性有利于形状的表达或完成某些作图问题。而任意斜直线则没有这些特性，完成某些作图比较费事。为解决这一问题，可

8、以借助辅助投影，将其变为特殊直线。 1、将任意直线变为辅助投影面平行线（辅助平面求直线的实长） （1）特点：任意斜直线在辅助投影面上的投影反映实长，且与辅助投影轴的夹角为任意斜直线与原固定投影面的倾角。,把一般位置直线变为投影面平行线 （1）以H面为基面,（2）以V面为基面,例题 已知线段的实长AB，求它的水平投影。,ab,2、任意斜直线变为辅助投影面的垂线 垂直于任意斜直线的平面与原两投影面同时处于倾斜位置，不符合辅助投影原则，因此，需先将任意斜直线变为投影面平行线，然后变为投影面垂直线，两步完成。 （1）将投影面平行线变为投影面垂直线 直线平行于某一投影面，则垂直于该直线的平面同时也垂直于

9、该投影面，符合辅助投影原则。对于投影面平行线，只需作一次辅助投影。,把投影面平行线变为投影面垂直线,b,b,(2)将任意斜直线变为投影面的垂直线,a: 将任意斜直线变为投影面平行线,b:将投影面平行线变为投影面垂直线。,把一般位置直线变为投影面垂直线的制图过程,例题 求点C到直线AB的距离,A,B,H1,c1,b1,a1,作图,距离,V,O,X,H,c,a,b,c,a,b,O1,O2,3.3.立体上平面的投影分析 3.3.1.平面的投影 1. 平面的表示方法 平面通常是用确定该平面的点、直线或平面图形等几何元素的投影来表示。这些形式可以相互转换。,平面的迹线表示法,PH,PV,PW,2. 平面

10、投影的特性（三性） 真实性： 当平面平行于投影面时，投影反应平面的实形。即投影面平行面 积聚性： 当平面垂直于投影面时，投影积聚为一直线。即投影面垂直面。 相仿性： 当平面倾斜于投影面时，投影与平面具有相似的形状。即投影面倾斜面。,3.3.2 与投影面成各种倾斜状态的平面,平面对于三投影面的位置可分为三类：,投影面垂直面,投影面平行面,一般位置平面,V,H,W,水平面的投影特性： a、在H面投影反映实形 b、在V 、W面的投影积聚成直线，且分别平行于投影轴OX、OYW 或同时垂直于Z轴,（1）、水平面,1、投影面平行面,V,H,W,正平面的投影特性： a、在V面投影反映实形 b、在H 、W面的

11、投影积聚成直线，且分别平行于投影轴OX、OZ或同时垂直于Y轴。,（2）、正平面,侧平面的投影特性： a、在W面投影反映实形 b、在H 、V面的投影积聚成直线，且分别平行于投影轴OYH、OZ或同时垂直于X轴。,V,H,W,（3）、侧平面,投影面平行面的特点：,侧平面,水平面,正平面,1、平行于哪个投影面在其上的投影反映实形。 2、在另两个投影面上的投影积聚为直线，且和相应的投影轴平行。或同时垂直于相应的投影轴。,投影面垂直面：垂直于一个投影面而与另外两个投影面倾斜的平面,铅垂面的投影特点： a、在H面的投影积聚成倾斜直线，反映和倾角 b、在V、W面的投影均为相仿形,（1）铅垂面：,2、投影面垂直

12、面,（2）正垂面：,正垂面的投影特点： a、在V面的投影积聚成倾斜直线，反映和倾角 b、在H、W面的投影均为相仿形,（3）侧垂面：,侧垂面的投影特点： a、在W面的投影积聚成倾斜直线，反映和倾角 b、在H、V面的投影均为相仿形,投影面垂直面的投影特点：,正垂面,铅垂面,侧垂面,1、平面垂直于哪个投影面在其上的投影积聚为直线，且反应与另两面的夹角； 2、在另两个投影面上的投影为平面的相似形。,3、任意斜平面的投影特性 任意斜平面的各面投影均无真实性和积聚性，仅有相仿性,例:已知立体上平面P、Q、R的空间位置，在 投影图中标注其投影位置,并填空。,水平,铅垂,侧垂,判定平面的性质：,水平面,正平面,铅垂面,侧平面,侧垂面,侧垂面,平面与平面的倾角 面与投影面的夹角，是用平面角来度量的，称对投影面的倾角。与水平投影面的倾角叫水平倾角，用表示；与正立投影面的倾角叫正面倾角，用示；与侧立投影面的倾角叫侧面倾角，用表示。1,属于定平面并垂直于该平面的投