高等数学(上册)-第二章教案

1、第二章、一元函数微分学及其应用第二章、一元函数微分学及其应用 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解 导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的 四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、 了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n 阶导数。 4、 会求分段函数的导数。 5、 会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的

2、关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、 隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 所需学时：24 学时（包括：22 学时讲授与 2 学时习题） 第一节：导数的概念及其基本求导公式第一节：导数的概念及其基本求导公式 1 1、引入（切线与割线）、引入（切线与割线） 在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。例：例：设一质点沿 x x 轴运动时，其 位置 x x 是时间 t t 的函数，y=f

3、（x），求质点在 t 0 的瞬时速度？我们知道时间从t 0 有增量t 时，质点的位置有增量 ，这就是质点在时间段t 的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为： .若质点是匀速运动的则这就是在 t 0的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在 t0时的瞬时速度。我们 认为当时间段t 无限地接近于 0 时，此平均速度会无限地接近于质点 t 0时的瞬时速度，为此就产生了导数的定义，如下： 2 2、导数的定义、导数的定义 定义：定义：设函数 y=f（x）在点 x 0的某一邻域内有定义，当自变量 x 在 x0处有增量x(x+x 也在该邻域内)时，相应地函数有 增量， 若y 与x 之比当x0

4、时极限存在， 则称这个极限值为 y=f （x） 在 x 0处的导数 导数。 记为： 还可记为：， 函数 y=f（x）在点x 0处存在导数简称函数 y=f（x）在点 x0处可导 可导，否则不可导。若函数y=f（x）在区间(a,b)内每一点 都可导，就称函数 y=f（x）在区间(a,b)内可导。这时函数y=f（x）对于区间(a,b)内的每一个确定的 x 值，都对应着一个确 定的导数，这就构成一个新的函数，我们就称这个函数为原来函数 y=f（x）的导函数。 注注：导数也就是差商的极限 3 3、简单函数的求导、简单函数的求导 下面我们利用导数的定义来求部分初等函数的导数： 例例 3 3设 y=C（C

5、为常数） ，求 y. 解解y fxx fxC C 0，则 y lim y lim 0 0，即C 0. x0 xx0 x 因此，常数的导数为零. 例例 4 4设 y=xn（n为正整数） ，求 y. 解解由二项式定理，得 y xx xn nn1 n2 2n xnnxn1xx x x xn 2 nn1 n2 2n nxn1xx x x 2 n y lim nn1 n2 y n1 limnxn1xxx nxn1 x0 xx0 2 即xn nxn1 例例 5 5 设 y=sinx，求 y. 一般地，x x1,R， 解解 y sin(xx)sin x 2cos x x sin x 22 x sin y x

6、 2 y lim lim cosx x cosx x0 xx0 2 2 sin x cosx 同理可求得 cosx sinx . 例例 7 7 设y log x，a 0, a 1，求 y. 即 a 解解当a 0, a 1时，有 x y log a xxlog a x log a 1 x x log a 1 xx 1 x 则 y lim y limlimlog a 1 x0 xx0 xxx0 xx 1 log a e x 即log a x 1 log a e x 4 4、左、右导数、左、右导数 前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。若极限存在，我们就称

7、它 为函数 y=f（x）在 x=x 0处的左导数 左导数。若极限存在，我们就称它为函数 y=f（x）在 x=x 0处的右导数 右导数。 注：注：函数 y=f（x）在 x 0处的左右导数存在且相等是函数 y=f（x）在 x0处的可导的充分必要条件函数的和、差求导法则 5 5、切线与法线方程、切线与法线方程 函数 y=f（x）在点x0处的导数 f(x0)就是曲线 y=f（x）在点 M 处的切线的斜率，由导数的几何意义及直线的点斜式 方程可知，曲线 y=f（x）上点 M 处的切线方程为： 1 x lim log a 1 x x0 x x x y y 0 f (x 0 )(x x 0 ) 法线方程为：

8、 y- y 0 = - 例例 8 8 求曲线 y=1/x 在点(1/2,2)处的切线方程与法线方程. 解：曲线在点(1/2,2)处的切线斜率为 1 (x- x 0 ) f (x 0 ) k=y =-4 所以所求切线方程为 y-2=-4(x-1/2) 所求法线方程为 6 6、函数的可导性与联系性的关系、函数的可导性与联系性的关系 y-2=1/4(x-1/2) y f (x)在点x 0 处可导，则它在点x0处一定连续. 证明证明因为函数 y f (x)在点x 0 处可导，则 定理定理 1 1如果函数 y f (x 0 ). x0 x lim 又因为 x0 lim y lim yy x lim li

9、m x f (x 0 )0 0 x0 xx0 xx0 所以，函数 定可导. 例例 9 9函数 y f (x)在点x 0 处连续.这个定理的逆定理不成立.即函数 y f (x)在点x 0 处连续，但函数在点x0处不一 x x 0 在点x 0处连续. f (x) x x x 0 x0 y y x 事实上， x0 lim | x | lim x 0 0 x x0 lim | x | lim (x) 0 x0 f (0) 0 所以，函数在点x 0 处连续，但是 f (x)在x 0处没有导数.因为 y| x |x lim lim 1 lim x0 x x0 x0 xx y| x | x lim lim

10、lim 1 x0 x x0 x0 xx 因此， y | x |在x 0处不可导. 1 xsin f (x) x 0 x 0在 x=0 处的连续性与可导性. x 0 例例 9 9 讨论函数 解解由题设，f(0)=0 又 lim fx lim xsin 1 0 x0 x0 x 即lim fx f0 x0 所以，f(x)在 x=0 处连续. 而极限 lim x0 fx f0 lim x0 x0 xsin 1 x limsin 1 x0 xx 不存在，所以 fx在x 0 处不可导.定理 1 说明函数在某点连续是函数在某点可导的必要条件，但不是充分条件， 即可导一定连续，但连续不一定可导；另外，如果函数

11、在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 7 7、函数求导法则、函数求导法则 (1)(1)函数的和差求导法则：函数的和差求导法则：两个可导函数的和(差)的导数等于这两个函数的导数的和(差).用公式可写为： （u+v） =u+v。 其中 u、v 为可导函数。 例例 1010：已知，求 y 解：解： 例例 1111：已知，求 y 解：解： (2)(2)函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则函数的积商求导法则常数与函数的积的求导法则 法则：法则：在求一个常数与一个可导函数的乘积的导数时，常数因子可以提到求导记号外面去。用公式可写成： (cu)=cu 2例例 1212：已知 y=3sinx+4x

12、，求 y 解：解： (3)(3)函数的积的求导法则函数的积的求导法则 法则：法则：两个可导函数乘积的导数等于第一个因子的导数乘第二个因子，加上第一个因子乘第二个因子的导数。用公式可写成： (uv)=uv+uv 例例 1313：已知，求 y 解：解： 注：注：若是三个函数相乘，则先把其中的两个看成一项。 (4)(4)函数的商的求导法则函数的商的求导法则 法则：法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母导数乘积减去分母导数与分子导数的乘积，在除以分母导数的平方。 用公式可写成： 例例 1414：已知 y=tanx，求 y 解：解： 8 8、反函数求导法则、反函数求导法则 根据反函数的定义，函

13、数 y=f(x)为单调连续函数，则它的反函数 x=(y),它也是单调连续的.为此我们可给出反函数的求 导法则，如下(我们以定理的形式给出)： 定理：定理：若是 x=(y)单调连续的，且 (y)不等于 0,，则它的反函数 y=f(x)在点 x 可导，且有： 注：注：通过此定理我们可以发现：反函数的导数等于原函数导数的倒数。注：注：这里的反函数是以 y 为自变量的，我们没有 对它作记号变换。即：(y)对 y 求导，f(x)是对 x 求导 例题：例题：求 y=arcsinx 的导数. 解答：解答：此函数的反函数为 x=siny，故 x=cosy 则： 例题：例题：求 y=arctanx 的导数. 2

14、解答：解答：此函数的反函数为 x=tany，x=sec y 故则： 9 9、求导公式与基本求导法则、求导公式与基本求导法则 为了便于记忆与使用，将基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则总结如下： 1）基本初等函数的求导公式 （1）常数函数C 0（C 为常数） （2）幂函数 x x 1 （3）指数函数ax axlna（a 0 ，a 1） ，特别地，ex ex （4）对数函数 logax 1 （a 0，a 1） ，特别地，ln x 1 xlnax （5）三角函数sin x cosx cosx sin x tan x 11 2cot x sec x csc2x 22cos x sin x sec

15、x secxtan xcscx cscxcot x （6）反三角函数 2）导数的四则运算 设u 1 x1 x 1 arccot x 1 arctan x 21 x 1 x2 arcsin x 1 2 ， （1 x 1） arccosx 1 2 ， （1 x 1） ux，v vx在点x处可导，则 u uvuv , v 0. （1）u v uv ； （2）uv uvuv ； （3） 2v v 课后作业及小结： 1、掌握导数的基本概念 2、综合运用导数公式与求导法则进行计算 3、综合运用反函数进行求导 作业：P74.1,3,5，7,8 第二节：复合函数的求导规则第二节：复合函数的求导规则 1 1、复

16、合函数的求导法则、复合函数的求导法则 定理定理 1 1（复合函数的求导法则）定理（复合函数的求导法则）定理 1 1设函数u (x)在点x处可导，函数y f (u)在对应点u 函数 (x) 处可导，则复合 y f(x)在点x处也可导，且有 y f(x) f (u) (x) 或简写为 dydy du dxdu dx . 证明证明给 x以改变量x ，则u取得对应的改变量 u, y 又得到对应的改变量 y .因为f (u) lim y 存在，所以当 u0u u 0时，有 y f (u) a（当u 0时，a 0） u y f uuu 因u是中间变量，所以u可能为零，但当u 0时，由函数 y f (u)的

17、连续性，上式对任意a值都成立.不妨规 定在u 0时,a取值为0.这样， （1）式对u是否为零都是正确的.所以 或 yu u lim f u f ux x0 xx0 xx lim 即 或 其中 y x y u u x dy dy du . . dxdu dx f (u) 表示函数 f (u)对u的导数， (x) 表示函数(x)对x的导数，f(x) 表示函数 f(x)对x的导数. 此定理说明，复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.这一法则又称为链式法则链式法则.复合函数 求导数法则可推广到多次复合的情形. 例如例如设 y f (u),u (), g(x) 则复合函数y

18、fgx的导数为dy dy du dv , dxdu dv dx 210例例 1 1求函数 y=(x +1) 的导数. 102解解 设 y=u ，u=x +1 则 dydy du 10u92 20(x21)9. dxdu dx 例例 2 2求函数y esin 1 x的导数. 解解设y eu,u sinv,v 1 ，则 x dydy du dv 1 eucosv 2 dxdu dv dx x 例例 3 3求函数y ln(x 解解 y esin 1 xcos x2 1 x . x21)的导数. 1 xx21 xx21 1 21x 1 xx2 1 2 x21 1 x 1 . 1 xx2 1 x2 1

19、x21 1 n 例例 4 4求函数y x 的导数. 2x1 解解 y n x 2x1 n1n1 nxn1xx2x12x n (2x1)2(2x1)n1 2x12x1 注：补充课本练习注：补充课本练习 2 2、高阶导数、高阶导数 （1）二阶导数的物理意义 物体作变速直线运动时，瞬时速度vt是路程s f (t)对时间t的导数,即vt f(t)而由物理知识知，加速度at是速度 . vt对时间 t 的导数,即 at v t . 从而 at v t f t . 由此可看出，加速度at是路程s f (t)对时间 t 的导数的导数，称为s ft对 t 的二阶导数，记作 s 或 f t . （2）二阶导数的概

20、念 一般地，如果函数y f (x)的导数y f (x)在点x处可导，则称y f (x)在点x处的导数为函数y f (x)在点x处的二 阶导数，记为 2 2 d y y，f (x)， 2 或 d fx. dx dx2 类似地， y f (x)的二阶导数的导数称为三阶导数，记为 一般地， y f dx (x)的n1阶导数的导数称为n阶导数，记为 33 或 d fx. y ，f (x)， d y 33 dx y （3） 、n 阶导数的计算 例例 5 5设y x3,求其各阶导数. 解解y 3x2， 例例 6 6设 n，fn nd y dnfx .(x)， n 或 dxdxn y 6x ， y 6，y4

21、 y5 0 . y ex，求其各阶导数. xx(n) 解解 y e ，y e，y ex . 例例 7 7设 y sin x，求其各阶导数. 2 )，解解y cosx sin(x ) sin(x 2)， 22 n y(n) sin(x ) 2 . n 同理可得：(cosx)(n) cos(x ) 2 . 例例 8 8设y ln1x，求其各阶导数. 解解y y cos(x 1 ， n1 n1! 2! ， 4 3! ，一般地， n1 ，y .y 1 y y n3 4 2 1 x1 x1 x1 x 1 x 注：补充课本练习注：补充课本练习 3 3、隐函数的导数、隐函数的导数 我们知道用解析法表示函数，

22、可以有不同的形式.若函数 y 可以用含自变量 x 的算式表示，像 y=sinx，y=1+3x 等，这样 的函数叫显函数显函数.前面我们所遇到的函数大多都是显函数. 一般地，如果方程 F(x,y)=0 中，令 x 在某一区间内任取一值时，相应地总有满足此方程的 y 值存在，则我们就说方程 F(x,y)=0 在该区间上确定了 x 的隐函数隐函数 y.把一个隐函数化成显函数的形式，叫做隐函数的显化隐函数的显化。注：注：有些隐函数并不是很容 易化为显函数的，那么在求其导数时该如何呢？下面让我们来解决这个问题！ 若已知 F(x,y)=0，求 dy/dx 时，一般按下列步骤进行求解： a)：若方程 F(x

23、,y)=0，能化为 y=f(x)的形式，则用前面我们所学的方法进行求导； b)：若方程 F(x,y)=0，不能化为 y=f(x)的形式，则是方程两边对 x 进行求导，并把 y 看成 x 的函数 y=f(x)，用复合函数 求导法则进行。 例例 9 9方程x2+ xy+ y2= 4确定 y 是 x 的函数，求 y 的导数. 解方程两边对 x 求导，得2x y xy2yy 0， 解出 y 得 y 2x y . x2y 例例 1010方程 y=1+xey确定 y 是x的函数，求 y 的导数. y=0+ ey+yxey， 解解方程两边对x求导，得 解出y= ey /1-x ey . 例例 1111方程x

24、y= ex+ y确定 y 是 x 的函数，求 解解方程两边对x求导，得 y . yxyexy1 y， 解出 y 得 exy y .y xexy 例例 1212：已知 x4+y4-xy=1，求 y（0,1）处的值 解答：解答：此方程不易显化，故运用隐函数求导法.两边对 x 进行求导，4x3-y-xy+4x3y=0 代入（0,1），可得 y=1/4 注：注：我们对隐函数两边对 x 进行求导时，一定要把变量 y 看成 x 的函数，然后对其利用复合函数求导法则进行求导。 4 4、由参数方程确定的函数的导数、由参数方程确定的函数的导数 x= j (t) 确定 y 是 x 的函数，若由参数方程则称此函数关

25、系为由参数方程所确定的函数.下面讨论由参数方程所确定的函 y = y (t) 数的导数.一般地，设x t有单调、连续的反函数t 1x，则 y 与 x 构成复合函数关系 1y x ， 根据复合函数和反函数的求导法则，有 dy dydy dt dt (t) . dxdt dx dx (t) dt x= acost ，求 dy . 例例 1313已知圆的参数方程 dx y= asint dy (asin t) acos t 解解 dy dt = = - cot dx dxt t) - asin (acos dt . 2 dy . 例例 1414已知x ln 1t，求 y arctant dx dy1

26、 arctatn 1t2 1 解解 dy dt t dx dx t ln1 t2 2dt1t 课后作业及小结： 1、掌握复合函数的导数，高阶导数，隐函数求导等基本概念 2、综合运用复合函数导数公式与隐函数求导进行计算 3、熟练计算高阶导数及参数方程求导 作业：P85.3,4，5，6，7,8，10 第三节：微分的概念与应用第三节：微分的概念与应用 1 1、微分的定义、微分的定义 学习函数的微分之前， 我们先来分析一个具体问题： 一块正方形金属薄片受温度变化的影响时， 其边长由 x 0变到了 x0+x， 则此薄片的面积改变了多少？ 2解答：解答：设此薄片的边长为 x，面积为 A，则 A 是 x 的

27、函数：A=x 0 薄片受温度变化的影响面积的改变量，可以看成是当自 变量 x 从 x 0取的增量x 时，函数 A 相应的增量A，即： 。 从上式我们可以看出，A分成两部分，第一部分是x的线性函数，即下图中红色部分；第二部分即图中的黑色部分， 当x0 时，它是x 的高阶无穷小。由此我们可以发现，如果边长变化的很小时，面积的改变量可以近似的用地一部分来 代替。下面我们给出微分的数学定义： 函数微分的定义函数微分的定义：设函数在某区间内有定义，x 0及 x0+x 在这区间内，若函数的增量可表示为 ，其中 A 是不依赖于x 的常数，o(x)是x 的高阶无穷小，则称函数 y=f(x)在点 x 0可微的

28、可微的。叫做函数 y=f(x)在点 x 0相应于自变 量增量x 的微分，记作 dy，即：dy=Ax。 通过上面的学习我们知道：微分 dy 是自变量改变量x 的线性函数，dy 与y 的差 o(x)是关于x 的高阶无穷小量， 我们把 dy 称作y 的线性主部线性主部。现在我们可以发现，它不仅表示导数的记号，而且还可以表示两个微分的比值(把x 看成 dx,即:定义自变量的增量等于自变量的微分)，由此我们得出： 定理定理 若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。若函数在某区间上可导，则它在此区间上一定可微，反之亦成立。 例例 1 1求函数y x2求 dy|x=1与 dy|x=0.01

29、 解解函数的微分为dy (x2)dx 2xdx 由已知条件：x 1,dx x 1.011 0.01，所以dy 2(0.01) 0.02 例例 2 2设y ln x，求 dy，dy|x=2. 解解 dy (ln x)dx 1 dx，所以dy x x2 1 x x2 dx 1 dx 2 2 2、基本初等函数的微分公式与微分法则、基本初等函数的微分公式与微分法则 由微分的表达式dy f xdx知，要计算微分 dy，只要求出函数的导数 f x，再乘上自变量的微分 dx 即可 基本初等函数的微分公式和微分运算法则. （1） （3） （5） （7） （9） d(C) 0（C 为常数）（2） d x x1d

30、x d ax a xlnadx （4） d ex exdx dlogax 11 dx （6） dln xdx xlnax dsin x cosxdx （8） dcosx sin xdx dtan x sec2xdx （10）d cot x csc2 xdx dsecxsecxtan xdx （12）d cscx cscxcotxdx 11 （13） darcsin xdx （14）d arccosx dx 221 x1 x 11 dxd arccot x dx （15） darctan x （16） 221 x1 x （17）d u v du dv （18）d uv udvvdu （11） （

31、19）dCuCdu（20）d u vduudv 2vv 若函数 y=f(u)对 u 是可导的，则有： （1）当 u 是自变量时，函数的微分形式为dy （2）当u是中间变量,即u是x的可导函数u 由复合函数的求导公式知， f (u)du ; x时，则y 是x的复合函数，且有du (x)dx , dy f (u)(x) dx , 所以 dy f (u)(x)dx f (u)du . 不论u是自变量还是关于自变量x的可导函数， 微分的形式不变性微分的形式不变性. y f (u)的微分形式都可以表示为dy f (u)du ，这种性质称为 例例 3 3设y= ex2+ 2x，求dy 解解方法 1利用dy

32、 ydx得dy = ex 方法 2令u x22x，则 ( 2+ 2x) dx = e x2+ 2x(x2+ 2x)dx = 2(x+ 1)ex + 2xdx 2 y eu，由微分形式不变性得 222 dy= (eu) du = eudu = ex + 2xd(x2+ 2x)= ex + 2x(x2+ 2x)dx= 2(x+ 1)ex + 2xdx . 与复合函数的求导类似，求复合函数的微分也可不写出中间变量. 例例 4 4设y = sin(2x+ 3)，求dy 解解dy = cos(2x+ 3)d(2x+ 3)= 2cos(2x+ 3)dx 例例 5 5求由方程x2+ y2= xy所确定的隐函

33、数的微分dy 解解方程两边求微分，得 d(x2+ y2)= d(xy) , 2xdx2ydy xdy ydx , 2yxdy2x ydx 0 , 于是 dy 2x y dx x2y . 3 3、微分的几何意义、微分的几何意义 y y f x T N y o x P dy M Q x x x xx o 在直角坐标系中，函数 y=f(x)的图形如图，设点 M 是该曲线上的一个定点，当自变量在点 x 取得改变量x时， 就得到曲线上另一个点Nx1x, yy.由图 知， 过点 M 作曲线的切线，它的倾角为，则 MQ x，QN y. QP MQtan f xx dy 因此，当y是曲线 4 4、近似计算、近

34、似计算 微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代 替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.设 y=f(x)在 x0 处可微，根据微分定义，当x很小时，有dy y，即 y fx上点的纵坐标的增量时，dy 就是曲线 y fx的切线上点的纵坐标的增量. f (x 0 + Dx)- f (x 0 ) 籇f (x 0 )x 在上述近似计算中，若令x00，x x，当 例例 6 6求665的近似值. 解解 6 x 充分小时，有f (x) ? f (0) f (0)x . 65=61+64=261+ 1 2.0052 64 课后作业及

35、小结： 1、掌握微分的基本概念 2、综合运用微分公式进行计算 3、记忆微分公式 作业：P94.5,6,8,9 第四节：微分中值定理及其应用第四节：微分中值定理及其应用 1 1、罗尔定理、罗尔定理 下图描绘了在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导的函数的图形.这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直 于 x 轴的切线，且两个端点处的纵坐标相等，即f(a)=f(b)可以发现曲线的最高点或最低点C 处, 曲线有水平的切线. 如果记 C 点的横坐标为，那么就有 f () 0.现在用分析的语言把这个几何现象描述出来，那就是下面的罗尔定理. y C AB b x O a 注：省略费马定理注：省

36、略费马定理 罗尔（罗尔（RolleRolle）定理）定理如果函数 y=f(x)满足 (1)在闭区间a,b 上连续, (2)在开区间(a,b)内可导, (3)f(a)=f(b)， 则在(a,b)内至少存在一点，使得 f () 0. 证明证明由于函数 y=f(x)在闭区间a,b上连续，根据闭区间上连续函数的最大值和最小值定理，f 它的最大值 M 和最小值 m.这样，有如下两种可能情形 （1） M=m.这时 有f () 0 （2）M m因为f (a) f (b)，所以 M 和 m 这两个数中至少有个不等于 由于f () M是最大值，所以不论x为正或为负，恒有 (x) 在闭区间a,b上必定取得 f (

37、x)在区间a,b上必然取相同的数值,即 y=f(x)=M 由此，x(a,b)， 有 f (x) 0.因此， 任取 (a,b) ， f (x)在区间a,b的端点处的函数值不妨设 M f (a)，那么必定在开区间(a,b) 内有一点使f () M.下面证明f () 0. fx f0，xa,b 当x 0时，有 fx f 0， x 从而 f lim x0 fx f 0 x 当x 0时，有 fx f 0， x 从而 f lim x0 fx f 0 x 因为f f f ，所以 f 0 注注如果罗尔定理的三个条件有一个不满足，则定理的结论就可能不成立. 例例 1 1 f (x) x 0 x 1， 0,1；

38、x 0 1 例例 2 2fx x，1,1； 例例 3 3fx x，0,1; 它们的图形如图所示. yy 1 x 11100 例例 1 1例例 2 2 例例 4 4 验证函数f x x22x3在区间1,3上罗尔定理成立. y x 01 x 例例 3 3 解解 fx x22x3x1x3 f1 f30 f x 2x2 2x1 则f x在1,3上满足罗尔定理的三个条件，则存在 11,3，使 f 10，符合罗尔定理的结论. 罗尔定理中 f (a) f (b)这个条件是相当特殊的，它使罗尔定理的应用受到限制如果把f (a) f (b)这个条件取消， 但仍保留其余两个条件，并相应地改变结论，那么就得到微分学

39、中十分重要的拉格朗日中值定理 2 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理 拉格朗日（拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理如果函数在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点， 使得 f (b) f (a) f () b a 分析：由可看出， f (b) f (a) 为弦 AB 的斜率，而 b a f ()为曲线在点 C 处的切线的斜率因此拉格朗日中值定理的几何意 几何意 义义是；如果连续曲线 y f (x)的弦上 AB 除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，那么这弧上至少有一点 C，使曲线在 C y 点处的切线平行于弦 AB 从上述拉

40、格朗日中值定理与罗尔定理的关系，自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理但在拉格朗日中值定理 中，函数f(x)不一定具备f (a) f (b)这个条件，为此我们设想构造一个与 f(x)有密切联系的函数x（称为辅助函数辅助函数） ，使 B C M N A O a x b x x满足条件ab然后对x应用罗尔定理，再把对x所得的结论转化到f (x)上，证得所要的结果下面就 利用这个辅助函数来证明拉格朗日中值定理 ( (略讲略讲) )证明证明引进辅助函数 (x) f (x) L(x) f (x) f (a) f (b) f (a) (xa) ba 函数x满足罗尔定理的条件： （1）在闭区间a,b上连

41、续； （2）在开区间(a,b)内可导； （3）ab0.因此，由罗尔 定理得，在开区间a,b内至少有一点，使得 f fb fa 0 ba 即 f (b) f (a) f (). b a 注注（1）拉格朗日中值公式也可写作 fb fa f ba 推论推论 1 1如果函数y fx在区间 I 上的导数恒为零 那么y fx在区间 I 上是一个常数. 证明证明在区间 I 上任取两点x1，x2，且x 1 x 2 ，应用拉格朗日中值定理，得 fx 2 fx 1 f x 2 x 1 ， x 1,x2 由题设知 f 0，所以fx 2 fx 10 即fx 2 fx 1 .这意味着，区间I 内任意两点的函数值相等，所

42、以y fx在 , 区间 I 上是一个常数. 推论推论 2 2如果函数y fx与gx在区间 I 每一点的导数 f x与 g x都相等， 那么 y fx与gx在区间 I 上至多相 差一个常数. 例例 5 5求证: arcsin xarccos x ，1 x1. 2 证明证明设fx arcsinxarccosx，则有 f x (arcsinxarccosx) 由推论 1 知，对任意x1,1，恒有 1 1 x21 x2 1 0， fx arcsinxarccosx C 令x 0，得C .从而 2 arcsin xarccos x ，1 x1. 2 例例 6 6求证:当x 0时， x 1 x ln1 x

43、 x 证明证明设fxln1x，显然fx在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，因此 fx f0 f x0， 0,x 由于f 00， f x 1 ，有 x ln1 x 1 x1 又0 x，则 11 1 1 x1 从而当x 0时， xx x 1 x1 , 即 x ln1 x x. 1 x 3 3、柯西中值定理、柯西中值定理 柯西中值定理：柯西中值定理：如果函数fx及Fx在闭区间 为零，那么在a,b内至少有一点,使 a,b上连续，在开区间a,b内可导 且 F x在a,b内的每一点处均不 fb fa f Fb Fa F 4 4、洛必达法则、洛必达法则 当x x0（或x）时，分子f(x)与分母 g(x)都趋

44、于零或都趋于无穷大.此时，极限lim fx可能存在，也可能不存在， gx 通常把这种类型的极限叫做未定式未定式.本节利用中值定理推导出求未定式极限的一般方法洛必达法则. (1) 0 型未定式求极限的方法 0 xx0 xx0 定理定理f(x)与 g(x)满足条件 （1）lim fx lim gx 0； （2）在x0的某邻域内（点x0可除外）可导，且 g x0 ； f (x) A（或）; xx0g(x) f (x)f (x) 则lim lim A（或）. xx0 g(x) xx0 g(x) （3）lim 定理 1 给出的在一定条件下，通过分子、分母求导数,再求极限的方法称为 洛必达法则洛必达法则

45、.在使用洛必达法则求极限时，若 f x 仍为 0 型，且f (x)与 g (x)仍然满足定理的条件时，可继续使用洛必达法则. lim 0 g x 注：补充课本例题外，加入以下题目注：补充课本例题外，加入以下题目 例例 7 7求极限lim x0 x2sin sin x 1 x. 解解此极限0/0未定式，若用洛必达法则，分子、分母分别求导后，将化为 11 2xsincos xx lim x0 cosx ， 此式振荡无极限，故洛必达法则失效.但原极限是存在的，求法如下： 11 x2sin x lim x limxsin 1 0.lim x0 sin x x0 x0 xx x2sin (2) 型未定式

46、求极限的方法 xx0 定理定理 函数f (x)与 g(x)满足条件 （1）lim f x lim gx ； xx0 （2）在x0的某邻域内（点x0可除外）可导，且 g x0； f (x) ； A（或） xx0g(x) f (x)f (x) 则lim lim A（或）. xx0 g(x) xx0 g(x) （3）lim 注注将定理中x x0 ，x x0，x ，x，x等过程，洛必达法则同样成立. x0改为x x 0 例例 8 8求极限lim lncot x . ln x 解解这是 型未定式，由洛必达法则得 11 lncot x(lncot x)xcot xsin2x lim lim lim lim

47、 x0 x0 x0 1 x0 sin xcosxln x(ln x) x x1 lim lim 1. x0 sin x x0 cosx 注：补充课本例题外，加入以下题目注：补充课本例题外，加入以下题目 例例 9 9求极限lim 解解这是 ex . xx2 型未定式，由洛必达法则得 ex exexex lim lim lim lim xx2xxx 2x2 x2 (3) 其他类型的未定式求极限的方法 0 00 型和型的极限问题.另外，还有0，0，1等五种类型的未定 0 0 式，它们可以通过适当的变形都可转化为型或型，再利用洛必达法则即可求解. 0 前面讨论了两种基本的未定式 注：补充课本例题外，加

48、入以下题目注：补充课本例题外，加入以下题目 例例 1010求极限lim xln x. x0 解解这是0型未定式，先将其转化为 型再利用洛必达法则， 1 ln x x limx 0.lim xln x lim lim x0 x0 1 x0 1 x0 2xx 例例 1111 求极限lim 1 1 . x0 sin xx 解解这是型未定式，通过通分将其变为 0 型未定式，再利用洛必达法则得， 0 1 xsin x1cosx1 lim lim lim x0 sin x x0 xsin x x0sin x xcosx x lim 00 sin x 0. x0cos xcos x xsin x gx 对于

49、0，1型未定式，利用对数恒等式 fx 地，我们有 egxln fx及指数函数的连续性将其转化为指数的极限.一般 lim fx 例例 1212 求极限lim xx. x0 gx limegxln fx elimgxln fx 解解 这是0型未定式，则 0 x0 xxlnx x0 lim x limee x0 lim xlnx e01. 例例 1313 求极限lim1sin x. x0 1 x 解解 这是1型未定式，则 lim1sin x lime x0 x0 1 x 1 ln1sin x x ex0 x 1 limln1sin x ， cosx ln1sin x1 而limln1sin x li

50、m lim 1sin x 1 x0 xx0 x0 x1 , 所以lim si xn 1 e1 e. x0 1 x 课后作业及小结： 1、掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理，柯西中值定理基本概念 2、综合运用洛必达法则进行计算 作业：P103.2,4,6,10 第五节：泰勒中值定理（不讲）第五节：泰勒中值定理（不讲） 第六节：第六节： 函数的性态与图形函数的性态与图形 1 1、函数单调性的判别、函数单调性的判别 函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调增加，其图像是一条沿 x 轴正向上升的曲线，其上各点切线斜率都为正值，即 tan f x0. 函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调减少，其图像是一

51、条沿 x 轴正向下降的曲线，其上各点切线斜率都为负值，即 tan f x0. 由此可见，函数的单调性与导数的符号有密切的关系.那么，能否用导数 f x的符号来判断 f(x)的单调性呢？下面的定 理对此问题给出了肯定的回答. 定理定理 1 1（函数单调性的判定法则）（函数单调性的判定法则）设 y=f(x)在闭区间a,b连续，开区间(a,b)可导. （1）如果xa,b时，恒有 f x0，那么 y=f(x)在区间(a,b)内单调增加； （2）如果xa,b时，恒有 f x0，那么 y=f(x)在区间(a,b)内单调减少. 证明证明 设 x1，x2 是(a,b)内任意两点，且x 1 x 2 ，则由拉格朗

52、日中值定理得， fx 2 fx 1 f x 2 x 1 ， x 1,x2 如果xa,b时 f x0，则 f 0，又 x 1 x 2,即 x 2 x 1 0，于是f x 2 fx 1 0，即 fx 2 fx 1 .所以，函数 y=f(x)在区间(a,b)内单调增加；同理可证。 注注 （1）若将定理中的a,b换成其他各种区间包括无穷区间，结论同样成立.如果函数在其定义域的某个区间内是单调的， 则该区间称为函数的单调区间单调区间. 例例 1 1 确定函数 f(x)=ex-x-1的增减区间. 解：解：容易确定此函数的定义域为(,) 其导数为：f(x)=ex-1的，因此可以判出： 当 x0 时，f(x)

53、0，故它的单调增区间为(0,)； 当 x0 时，f(x)0，故它的单调减区间为(-,0)； 例例 2 2 求证：当 x0 时，xln(1+x). 证明证明令fx xlnx1，则 f x1 1x . x1x1 当 x0 时， f x0，因此在0,单调增加.又在0,为连续函数，所以当 x0 时，fx f00，即 xln1 x0. 因此，当 x0 时，x ln1x. 注：注：补充课本例题 2 2、函数的极值及求法、函数的极值及求法 曲线上的这些点以及这些点所对应的函数值在实际应用中有着非常重要的意义.由此引入函数的极值的概念. 定义定义 1 1 设函数y fx在x0的某邻域U(x0,)内有定义， （

54、1）若对xx0,x0 x0,x0，恒有f x fx 0，则称 fx 0 为fx的极大值， x 0 ,x 0 x 0 ,x 0 ，恒有fx fx0，则称fx 0 为fx的极小值， x0为fx的极大值点； （2）若对x x 0 为f x的极小值点. 极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 . 显然，极值是一个局部性的概念，它只是在与极值点 邻近的所有点的函数值相比较而言，而不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小. 如图所示，函数 y f (x)在点x 1 和x3各有极大值 f (x 1 ) 和 f (x 3 ) ，而在点 x 2 和点 x 4 各有极小值 f (x 2 ) 和

55、f (x 4 )，而极大值f (x 1 ) 还小于极小值 f (x 4 ). 由图还可以看出，在极值点处如果曲线有切线存在，并且切线有确定的斜率，那么，切线平行于 x轴，即该切线的斜率 等于零.但是，在某点曲线的切线平行于x轴，并不意味着这点就一定是极值点，如图3-7 中的点x5不是极值点，而曲线在点 x 5 的切线却平行于x轴.因此有下面定理. 定理定理 2 2（极值的必要条件）（极值的必要条件）如果函数y f (x)在点x0处有极值f (x0)，且f (x0)存在，则f (x0) 0. 证明证明设f (x0)为极大值，则在x0的某个邻域内总有 fx 0 fx 0 x 于是，当x 0时， f

56、x 0 x fx 0 0； x 反之， fx 0 x fx 0 0. x 由题意知：f (x0)存在，所以 f x 0 f x 0 lim x0 fx 0 x fx 0 0， x f x 0 f x 0 lim x0 fx 0 x fx 0 0 x ， 因而，f (x 0 ) 0.同理可证f (x0)为极小值的情形. 注：注： （1）当f (x0)存在时，f (x 0 ) 0是点 x 0 为极值点的必要条件，但不是充分。使f (x)=0 的点称为函数的驻点驻点.驻 点可能是函数的极值点，也可能不是极值点. （2）在函数导数不存在的点，函数也可能有极值 把极值可疑点把极值可疑点.连续函数仅在极值

57、可疑点上可能取得极值， 但极值可疑点又不一定是极值点.下面给出判定极值的两个充分 条件. 定理定理 3 3（判定极值的第一充分条件）（判定极值的第一充分条件）设函数y f (x)在点x0的某邻域内连续并且可导（但f (x 0 )可以不存在）, （1） 如果当x(x 0 ,x 0 )时，f (x) 0， 而当x(x 0 ,x 0 )时f (x) 0， 则函数f (x)在点x0处有极大值 ， （2） 如果当x(x0 f (x 0 )； 而当x(x 0 ,x 0 )时，f (x) 0则函数f (x)在点x0处有极小值 f (x 0 ). ,x 0 )时，f (x) 0， ， （3）如果当xx 0 ,

58、x 0 ，x x0， f x不变号，则 f (x)在点 x0处无极值. 注：如果函数f (x)在所讨论的区间内连续，除个别点外处处可导，则可按下列步骤求函数的极值点和极值： （1）确定函数f (x)的定义域； （2）求导数 f x，考虑 f x0或 f x不存在，找出极值可疑点； （3）列表讨论 f x在极值可疑点左右两侧邻近范围内符号变化的情况，确定函数的极值点； （4）求出各极值点处的函数值，即可得到f (x)的全部极值. 例例 3 3求函数f (x) (x 2)2(x 1)3的单调区间和极值. 解解（1）函数的定义域为 （2） , , 1 x 1 1,x 2 ,x 3 1 5 f (x) (x 1)(5x 1)(x 1)2 ，令 f (x) 0，得驻点 列表如下： x f (x) f (x) (,1