高中数学34第2课时简单线性规划同步导学案北师大版必修

1、第第 2 2 课时课时简单线性规划简单线性规划 知能目标解读知能目标解读 1.了解线性规划的意义，掌握目标函数的约束条件，二元线性规划、可行域、最优解等基本概念 . 2.掌握用图解法求方程及解线性规划问题的一般方法及步骤. 重点难点点拨重点难点点拨 重点：线性规划的有关概念理解及线性目标函数最值的求解方法. 难点：线性目标函数最值（即最优解）求法. 学习方法指导学习方法指导 一、简单线性规划的几个概念 1.目标函数：我们把要求最大值或最小值的函数z=ax+by+c叫做目标函数.如果目标函数是关于变量 的一次函数，则又称该目标函数为线性目标函数. 2.约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组称

2、为约束条件.如果约束条件是关于变量的一次不 等式（组） ，又称线性约束条件. 3.线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题，称为线性规划问题， 也称为二元线性规划问题. 4.可行解：线性规划问题中，满足线性约束条件的解（x,y）称为可行解. 5.可行域:由所有可行解组成的集合称为可行域. 6.最优解:可行域内使目标函数取最大值或最小值的解称为最优解,最优解一定在可行域里面,一般在 边界处取得,最优解不一定只有一个,它可以有无数个. 二、目标函数的最值问题 在求目标函数z=ax+by+c的最值时,根据y的系数的正负,可分为以下两种情形求最值. 1.求目标函数z=ax+b

3、y+c,b0 的最值. 在线性约束条件下,当b0 时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为: (1)作出可行域； (2)作出直线l0：ax+by=0； (3)确定l0的平移方向,若把l0向上平移,则对应的z值随之增大；若把l0向下平移,所对应的z值随 之减小,依可行域判定取得最优解的点. (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值. 2.求目标函数z=ax+by+c,b0 的最值. 在线性约束条件下,当b0 时,求目标函数z=ax+by+c的最小值或最大值的求解程序为: (1)作出可行域； (2)作出直线l0:ax+by=0; (3)确定l0的平移方向

4、:若把l0向上平移,所得相应z值随之减小；若把l0向下平移,所对应的z值随 之增大,依可行域判定取得最优解的点. (4)解相关方程组,求出最优解,从而得出目标函数的最大值或最小值. 注意： 确定最优解的方法:将目标函数的直线平移,最先通过或最后通过的顶点便是最优解；利用围成可 行域的直线的斜率来判断,若围成可行域的直线l1,l2,ln的斜率分别为k1k2kn,且目标函数的斜率为 k,则当kik0,y0 误解依约束条件画出可行域如图所示，如先不考虑x、y为整数的条件，则当直线 5x+4y=S过点 A(, 9 2391 )时，S=5x+4y取最大值，Smax. 5 105 因为x、y为整数，而离点

5、A最近的整点是C(1,2)，这时S=13,所要求的最大值为 13. 辨析显然整点B(2,1)满足约束条件，且此时S=14,故上述解法不正确. 对于整点解问题，其最优解不一定是离边界点最近的整点. 而要先对边界点作目标函数t=Ax+By的图像， 则最优解是在可行域内离直线t=Ax+By最近的整点. 正解依约束条件画出可行域如上述解法中的图示，作直线l：5x+4y=0,平行移动直线l经过可 行域内的整点B(2,1)时，Smax14. 课堂巩固训练课堂巩固训练 一、选择题 x2 1.若x,y满足约束条件y2 ,则目标函数z=x+2y的取值范围是（） x+y2 A.2,6 答案A B.2,5C.3,6

6、D.3,5 x2 解析画出不等式组y2表示的可行域为如图所示的ABC. x+y2 作直线l:x+2y=0,平行移动直线 l,当直线 l 经过可行域内的点B(2,0)时z取最小值 2，当直线l经过可 行域内的点A(2,2)时，z取最大值 6，故选 A. x1, 2.（2011天津文，2）设变量x,y满足约束条件x+y-40, 则目标函数z=3x-y的最大值 x-3y+40, 为（） A.4B.0C. 4 3 D.4 答案D 解析本题考查了利用线性规划求最值，线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域，则区域端 点的值为目标函数的最值，求出交点坐标代入目标函数即可. x1, 由x+y-40, x-3

7、y+40, 作出可行域如图： 当直线z=3x-y过点A(2,2)点时z有最大值.z 最大值 =32-2=4. 0 x 2 3.(2011广东理，5)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组y2给定. x2y 若M(x,y)为D上的动点，点A的坐标为( 2,1)，则z=OMOA的最大值为（ ） A.4 2 B.3 2 C.4D.3 答案C 解析本题考查线性规划、数量积的坐标运算. OMOA=（x,y） （ 2,1）=2x+y,做直线l 0： 2x+y=0，将l 0向右上方平移，当 l 0 过区域D 中点( 2，2)时，OMOA=2x+y取最大值22+2=4.选 C. 二、填空题 x-y+20

8、 .4.设x、y满足约束条件 5x-y-100，则z=2x+y的最大值为 x0 y0 答案11 x-y+20 解析不等式组 5x-y-100 表示的可行域如图阴影部分所示. x0 y0 x-y+2=0 x=3 由，得 5x-y-10=0y=5 点A的坐标为（3，5） ，作直线l：2x+y=0，平行移动直线l至过点A时，z=2x+y取最大值 11. 5.某实验室需购买某种化工原料 106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋 24 千克，价格为 120 元，在满足需要的条件下，最少要花费 答案500 解析设第一种原料x袋，第二种原料y袋，花费

9、为z， 由题意知，线性目标函数z=140 x+120y，线性约束条件 元. x0 y0， 35x+24y106 其可行域如图， 可得z的最优整数解为（1，3） ，此时zmin=500. 课后强化作业课后强化作业 一、选择题 x0 1.不等式组x+3y4 ，所表示的平面区域的面积等于（） 3x+y4 A. 3 2 B. 2 3 C. 4 3 D. 3 4 答案C 解析不等式组表示的平面区域如图所示， x+3y=4 由，得点A的坐标为(1,1). 3x+y=4 又B、C两点坐标分别为（0,4） 、 (0, 4 3 ), SABC= 1 2 (4- 44 3 )1= 3 . yx, 2.设变量x，y

10、满足约束条件：x+2y2,则z=x-3y的最小值为（ x-2. A.-2B.-4C.-6 答案D 解析作可行域（如图） ， 令z=0 得x-3y=0，将其平移，当过点（-2，2）时，z取最小值， zmin=-2-32=-8. ） D.-8 x+2y-50 3.(2011浙江理，5)设实数x、y满足不等式组 2x+y-70，若x、y为整数，则 3x+4y x0，y0 的最小值为（） A.14B.16C.17D.19 答案B 解析本题主要考查简单线性规则问题等基础知识，如图， 作出不等式组表示的平面区域 ， 作直线l0： 3x+4y=0 平移l0与 平面区域有交点，由于x，y为整数，结合图形可知当

11、x=4，y=1 时，3x+4y取最小值为 16，选 B. x-1 4.若变量x、y满足约束条件yx , 则z=2x+y的最大值为（） 3x+2y5 A.1B.2C.3D.4 答案C 解析如图所示，由约束条件作出可行域，将目标函数z=2x+y 化为y=-2x+z,由图知在A点z取最大值. y=x 联立得A（1，1）. 3x+2y=5 zmax=21+1=3. 2x+y4 5.设x，y满足x-y-1，则z=x+y（） x-2y2 A.有最小值 2，最大值 3B.有最小值 2，无最大值 C.有最大值 3，无最小值D.既无最小值，也无最大值 答案B 解析如右图作出不等式组表示的可行域，由于z=x+y

12、的斜率大于 2x+y=4 的斜率，因此当z=x+y过点（2，0）时， 但z没有最大值. x+3y-30 6.若实数x,y满足不等式 2x-y-30，且x+y的最大值为 9，则实数m=（） x-my+10 A.-2B.-1C.1D.2 答案C 解析如图，作出可行域. z有最小值 2， x-my+1=0 由，得A（ 2x-y-3=0 平移y=-x,当其经过点A时，x+y取最大值，即 解得m=1. x0 7.若不等式组x+3y4 所表示的平面区域被直线y=kx+ 3x+y4 的值是（） A. 13m5 ,）, 1 2m1 2m 13m5 +=9. 1 2m1 2m 4 分为面积相等的两部分，则k 3

13、 7 3 B. 3 7 C. 4 3 D. 3 4 答案A 解析不等式组表示的平面区域如图所示. 由于直线y=kx+ 444 过定点（0，）.因此只有直线过AB中点时，直线y=kx+能平分平面区域.因为A 333 15 ，). 22 （1，1） ，B(0,4)，所以AB中点M( 当y=kx+ 155k44 过点（，）时，=+, 322223 k= 7 . 3 8.设G是平面上以A(2，1)、B(-1，-4)、C(-2,2)三点为顶点的三角形区域（包括边界点） ，点（x,y）在 G上变动，f(x,y)4x-3y的最大值为a,最小值为b,则a+b的值为（） A.-1 B.-9 C.13 D.-6

14、答案D 解析设 4x-3y=c,则 3y=4x-c,y= 4c x-, 33 - c 表示直线l:4x-3y=c在y轴上的截距， 3 54 ,而kl=, 33 c 有最大值； 3 kAB= l过C(-2,2)时，- - c144 =2-（-2）， 333 cmin=b=-14, l过B(-1,-4)时，-有最小值; - c 3 c48 =-4-（-1）-， 333 cmax=a=8,a+b=-6. 二、填空题 0 x4 9.已知x、y满足条件0y3 ，则z=2x+5y的最大值为. x+2y8 答案19 解析可行域如图. 当直线y=- 2z x+经过直线y=3 与x+2y=8 交点（2，3）时,

15、z取最大值z max=19. 55 32x+y9, 10.(2011新课标理，13)若变量x,y满足约束条件则z=x+2y的最小值为 6x-y9, . 答案-6 解析本题主要考查了线性规划求最值. 依题意，可行域为如图阴影部分，则最优解为A(4,-5), zmin=4+2(-5)=-6. x-y+20 11.不等式组x+y+20，所确定的平面区域记为D.若点（x,y）是区域D上的点，则 2x+y 2x-y-20 的最大值是 ；若圆O:x+y=r上的所有点都在区域D内，则圆O面积的最大值是 222 答案14 4 5 222 解析如图，令z=2x+y可知，直线z=2x+y经过（4,6）时z最大，此

16、时z=14;当圆O：x+y=r和 直线 2x-y-2=0 相切时半径最大.此时半径r= 24 ,面积S=. 55 x1 12.已知x-y+10，则x+y的最小值为 2x-y-20 答案5 22 . 解析画出可行域如下图所示, 可见可行域中的点A(1,2)到原点的距离最小为d= 5,x+y5.22 三、解答题 x-y+20 13.已知变量x,y满足约束条件x1，求 y 的最大值和最小值. x x+y-70 解析由约束条件作出可行域（如图所示） ，A点坐标为（1，3） ，目标函数z= y 表示坐标是（x,y） x 与原点（0，0）连线的斜率.由图可知，点A与O连线斜率最大为 3;当直线与x轴重合时

17、，斜率最小为 0.故 y 的最大值为 3，最小值为 0. x x-4y-3 14.设x,y满足约束条件 3x+5y25，分别求： x1 （1）z=6x+10y的最大值、最小值; （2）z=2x-y的最大值、最小值; （3）z=2x-y(x,y均为整数）的最大值、最小值. 解析 （1）先作出可行域， 如图所示中ABC表示的区域，且求得A（5,2） 、B（1，1） 、C（1， 22 ）. 5 作出直线l0：6x+10y=0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过B点时，可使z=6x+10y达到最小值，当 l 0 的平行线l2过A点时，可使z=6x+10y达到最大值. zmin=61+101=16；zmax=65+102=50. (2)同上，作出直线l0:2x-y=0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过C点时，