高考真题——理科数学(全国卷)解析版

1、20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修理科数学（必修+ +选修选修 II II） 本试卷分第 I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第 1 至 2 页，第 II 卷第 3 至 第 4 页.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交. 第 I 卷 注意事项： 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意事项： 1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写 清楚，并贴好条形码.请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目. 2.没小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目

2、的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效. 3.第 I 卷共 12 小题，每小题5 分，共60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的. 一、选择题 1、复数 13i = 1i A 2+IB2-IC 1+2iD 1- 2i 【解析】 13i(13i)(1i)2 4i 1 2i，选 C. 1i(1i)(1i)2 【答案】C 2、已知集合 A1.3. m，B1，m ,AUBA, 则 m= A0 或 3 B0 或 3C1 或 3 D1 或 3 【 解 析 】 因 为 A B A , 所 以 B A , 所 以m 3或 m

3、m . 若m 3， 则 A 1,3, 3,B 1,3,满足A B A.若m m，解得m 0或m 1.若m 0，则 A 1,3,0,B 1,3,0，满足AB A.若m 1，A 1,3,1,B 1,1显然不成立，综上 m 0或m 3，选 B. 【答案】B 3椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为 x=-4 ，则该椭圆的方程为 x2y2x2y2x2y2x2y2 A+=1B+=1C+=1D+=1 161212884124 【解析】椭圆的焦距为4，所以2c 4,c 2因为准线为x 4，所以椭圆的焦点在x轴上， a2 4， 所 以a2 4c 8 ，b2 a2c2 8 4 4， 所 以 椭 圆 的 方 程

4、为且 c x2y2 1，选 C. 84 【答案】C 4已知正四棱柱 ABCD- A1B1C1D1中 ，AB=2，CC1=2 2E 为 CC1的中点，则直线AC1与平面 BED 的距离为 A2B 3 C 2 D1 【解析】连结AC,BD交于点O，连结OE，因为O,E是中点，所以OE/ AC1,且 OE 1 AC1，所以AC 1 / BDE，即直线AC 1 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距 2 离，过 C 做CF OE于F,则CF即为所求距离 .因为底面边长为2，高为2 2，所以 AC 2 2 ,OC 2,CE 2 ,OE 2, 所 以 利 用 等 积 法 得CF 1， 选D

5、. 【答案】D （5）已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，a5=5，S5=15，则数列 (A) 的前 100 项和为 1009999101 (B)(C)(D) 101101100100 【 解 析 】 由 a 5 5,S 5 15 , 得 a11,d 1 ， 所 以 a n 1 (n 1) n ， 所 以 1111 a n a n1 n(n 1)nn 1 ，又 111111111100 1 ，选 A. a 1a2 a 100 a 101 1223100101101101 【答案】A （6）ABC 中，AB 边的高为 CD，若ab=0，|a|=1，|b|=2，则 (A)（B）(C)(D) ，

6、CA 2，AB 【 解 析 】 在 直 角 三 角 形 中 ， CB 15 , 则CD 2 5 , , 所 以 AD CA2CD24 AD 44 5 5 ,所以 AD4 AB5 即 4444 AB (a b) a b，选 D. 5555 3 ，则 cos2= 3 【答案】D （7）已知为第二象限角，sin cos (A) - 5555 （B）-(C)(D) 9339 31 所 以 两 边 平 方 得1 2sincos， 所 以 33 【 解 析 】 因 为sin cos 2sincos 2 0， 因 为 已 知 为 第 二 象 限 角 ， 所 以sin 0,cos 0， 3 2 3 515 3

7、3 ，所以 sincos1 2sincos1 cos2 cos2sin2 (cossin)(cossin)= 1535 ，选 A. 333 【答案】A （8） 已知 F1、 F2为双曲线 C： x-y=2 的左、 右焦点， 点 P 在 C 上， |PF1|=|2PF2|， 则 cosF1PF2= (A) 1334 （B）(C)(D) 4545 x2y2 1，所以a b 2,c 2，因为|PF1|=|2PF2|，所以点 【解析】双曲线的方程为 22 P 在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a=2 2,所以解得|PF2|=2 2，|PF1|=4 2，所以根 据余弦定理得cosF 1PF

8、2 【答案】C (2 2)2(4 2)214 22 2 4 2 1 2 3 ,选 C. 4 （9）已知 x=ln，y=log52，z e ，则 (A)xyz（B）zxy(C)zyx(D)yzx 11111 2y log 2 1，所以【解析】x ln1，z e 5 log 2 522 ee 1 y z x，选 D. 【答案】D (10) 已知函数 yx-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点，则 c （A）-2 或 2 （B）-9 或 3 （C）-1 或 1 （D）-3 或 1 【解析】若函数y x 3x c的图象与x轴恰有两个公共点，则说明函数的两个极值中有 一个为 0，函数的导数为y 3x

9、3，令y 3x 3 0，解得x 1，可知当极大值为 22 3 f (1) 2 c ， 极 小 值 为f (1) c 2. 由f (1) 2 c 0， 解 得c 2， 由 f (1) c 2 0，解得c 2，所以c 2或c 2，选 A. 【答案】A （11）将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同， 则不同的排列方法共有 （A）12 种（B）18 种（C）24 种（D）36 种 3 【解析】第一步先排第一列有A3 6，在排第二列，当第一列确定时，第二列有两种方法， 如图 【答案】A ，所以共有62 12种，选 A. （12）正方形 ABCD 的边

10、长为 1，点 E 在边 AB 上，点 F 在边 BC 上，AEBF 7 .动点 P 从 E 3 出发沿直线喜爱那个 F 运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹， 反弹时反射等于入射角， 当 点 P 第一次碰到 E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为 （A）16（B）14（C）12(D)10 【解析】结合已知中的点 E,F 的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是 平行的，那么利用平行关系，作图，可以得到回到EA 点时，需要碰撞 14 次即可. 【答案】B 20122012 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（必修理科数学（必修+ +选修）选修） 第卷第

11、卷 注意事项： 1.答题前，考生先在答题卡上用直径0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填 写清楚，然后贴好条形码.请认真核准条形码上得准考证号、姓名和科目. 2.第卷共 2 页，请用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答， 在试题卷上作试题卷上作答无效答无效. 3.第卷共 10 小题，共 90 分. 二.填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上. （注意：在试题卷上作答无效在试题卷上作答无效） （13）若 x，y 满足约束条件则 z=3x-y 的最小值为_. 【解析】 做出做出不等式所表示的区域如图， 由z 3x y得

12、y 3x z，平移直线y 3x，由图象可知当直线经过点C(0,1)时，直线y 3x z的截距 最 大，此时z最小,最小值为z 3x y -1. 【答案】1 （14）当函数取得最大值时，x=_. 【 解 析 】 函 数 为 y sin x 3cosx 2sin(x 3 ) ， 当0 x 2时 ， 3 x 5 . 6 3 55 ，由三角函数图象可知，当x ，即x 时取得最大值，所以 3326 x 【答案】x 5 6 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等，则该展开式中的系数（15）若 为_. 26 【解析】因为展开式中的第3 项和第 7 项的二项式系数相同，即C n C n ，所以n 8

13、， 所以展开式的通项为Tk1 C8x k8k 1 ( )k C 8 kx82k ，令82k 2，解得k 5，所以 x 11 T 6 C 8 5( )2，所以 2 的系数为C8 5 56. xx 【答案】56 （16）三菱柱 ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=60 则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为_. 【解析】 如图设AA则 1 a,AB b,AC c,设棱长为 1， AB 1 a b, BC 1 a BC a c-b ， 因 为 底 面 边 长 和 侧 棱 长 都 相 等 ， 且 BAA 1 CAA 1 600所 以ab ac bc 1 ， 所 以

14、AB 1 (a b)23， 2 BC 1 (a c-b)22 ，AB 1 BC 1 (a b)(a c-b) 2，设异面直线的夹角为 ，所以cos 6 3 AB 1 BC 1 AB 1 BC 1 2 2 3 6 . 3 【答案】 三.解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分 10 分） （注意：在试卷上作答无效（注意：在试卷上作答无效） ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，已知 cos（A-C）cosB=1，a=2c，求 c. （18） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 如图，四棱锥 P-

15、ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA底面 ABCD，AC=2 2，PA=2，E 是 PC 上 的一点，PE=2EC. （）证明：PC平面 BED； （）设二面角 A-PB-C 为 90，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. 19. （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效） 乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10 平前，一方连续发球2 次后，对方再连续发 球 2 次，依次轮换.每次发球，胜方得1 分，负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中，每次发球，发 球方得 1 分的概率为 0.6，各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中，甲先发球. （）求开始第 4 次发球时，甲、乙的比分为1 比 2 的概率； （）表示开始第 4 次发球时乙的得分，求的期望. （20） （本小题满分 12 分） （注意：在试题卷上作答无效 ） 设函数 f（x）=ax+cosx，x0，. （）讨论 f（x）的单调性； （）设 f（x）1+sinx，求 a 的取值范围. 21.（本小题满分 12 分） （注意：在试卷上作答无效） 已知抛物线 C：y=(x+1)2与圆 M： （x-1