(考试必备)广东高州市大井中学高三第三次月考数学文

1、整理日期整理日期 20112011年年 2 2 月月 2424 日星期四日星期四 整理人整理人 小小 广东省高州市大井中学 2011 届高三上学期第三次月考 数 学 试 题（文） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） a 3i 1若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数,则实数a的值为 1 2i A-6B13C 2 （） 3 2 2 D 13 2已知条件p：| x4| 6；条件q：x 2x1m 0 (m 0)，若p 是 q 的充分不必 要条件，则 m 的取值范围是 A21， C19， B9， D （0，） （） 3已知图 1 是函数y f (x)的图象，则图 2 中的图

2、象对应的函数可能是 y O O 图 1 x 图 2 x y （） Ay f (| x|) Cy f (| x|) By | f (x)| Dy f (| x|) 4若等差数列an的前 5 项之和S5 25，且a2 3，则a7（） A12B13C14D15 （）5已知cos( 6 )sin 2 37 )的值是 ，则sin( 36 2 3 3 CA 2 3 3 B 2 3 D 2 3 2x 6已知命题 p：函数y log 0.5 (x 2x a)的值域为 R，命题 q：函数y (5 2a) 是 减函数。若 p 或 q 为真命题，p 且 q 为假命题，则实数 a 的取值范围是 Aa|a 1Ba|1

3、a 2 Da|a 1或a 2 （） Ca|a 2 7如图，在棱长相等的四面体S-ABC 中，E、F 分别是 SC、AB 的中点， 则直线 EF 与 SA 所成的角为（） A90B60C45D30 8已知l,m表示直线，,表示平面，下列条件中能推出结论的正确的是（） 条件：l m,l ,m ;, ; l , ; l ,m。结论：a:l b: c: lm d: Aa,b,c,dBb,d,a,c Cc,d,a,bDd,b,a,c 9已知非零向量AB,AC和BC满足( AB AC ) BC 0 ，且 AC BC 1， 2 ABAC ACBC 则ABC 为（） A等边三角形B等腰非直角三角形 C非等腰三

4、角形D等腰直角三角形 10设O为坐标原点，点M坐标为(3,2)，若点N(x,y)满足不等式组： x 0 y 0 ,当3 s 5 时，则OM ON的最大值的变化范围是 x y s y 2x 4 A7，8 （） B7，9C6，8 2 D7，15 11已知函数f (x)在 R 上满足f (x) 2 f (2 x) x 8x8，则曲线y f (x)在点 (1,f (1)处的切线方程是 Ay 2x1 Cy 3x2 x By x Dy 2x3 (x1) （） 12若x1满足2x 2 5, x2满足2x 2log 2 5，则x 1 +x2（） A 5 2 B3C 7 2 D4 第卷（非选择题，共90 分）

5、二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 1x 13已知等差数列an的前n项和为Sn，且S10 0 (xe )dx,S 20 3,则S 30 为 14已知函数y a1x(a 0，a 1)的图象恒过定点 A， 若点 A 在直线mx ny 1 0(m,n 0)上，则 11 的 mn 最后一排 30 旗杆 60 最小值为 152009 年北京国庆阅兵式上举行升旗仪式，如图， 在坡度为 15的观礼台上，某一列座位与旗杆在 同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和 最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和 30， 观礼台 15 10 6 第一排 且第一排和最后一排的距离为10 6米

6、，则旗杆的高度为米 16设直角三角形的两直角边的长分别为a,b，斜边长为 c，斜边上的高为h，则有 ab ch 成立，某同学通过类比得到如下四个结论： a b c h； a b c h； a b c h ； a b c h 2222333344445555 其中正确结论的序号是；进一步得到的一般结论是 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17 （本小题满分 10 分） 己 知 向 量a (2sin xxxx , 12cos ) ， b (cos , 12cos) ， 函 数 2222 f (x) log 1 2 （ab） （）求函数 f（x

7、）的定义域和值域； （）求函数 f（x）的单调区间 18（本小题满分 12 分） 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品， 估计能获得 10 万元 1000 万元的投资收益 现准备制定一个对科研课题组的奖励方案： 奖金 y （单位： 万元） 随投资收益 x（单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9 万元，同时奖金不超过投 资收益的 20% （）若建立函数模型制定奖励方案，试用数学语言表述公司对奖励函数模型的基本要 求； （）现有两个奖励函数模型： （1）y 模型是否符合公司要求？ 19 （本小题满分 12 分）如图：在四棱锥 P-ABCD 中，底面为正方形，PC 与底面 ABCD 垂直（图 2

8、 为该四棱锥的主视图和侧视图，它们是腰长为6cm 的全等的等腰直角三角形 （）根据图 2 所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图，并求出该俯视图所在的平面 图形的面积 （）图 3 中，L、E 均为棱 PB 上的点，且 x （2）y4lgx3试分析这两个函数 2； 150 BEBL 1， 5，M、N 分别为棱 PA、PD 的中点， EPLP 问在底面正方形的对角线AC 上是否存在一点 F，使EF/平面 LMN 若存在，请具体求 出 CF 的长度；若不存在，请说明理由 图 1 图 3 P P P L E M 主 视 图 侧 视 图 N C C DA 图 2 B F A D 20 （本小题满分 12

9、分）设数列an的前n项和为Sn，如果 “科比数列” （）已知等差数列b n的首项为 1，公差不为零，若 b n为“科比数列” ，求 b n的 通项公式； 33332 （）设数列cn的各项都是正数，前n项和为Sn，若c 1 c 2 c 3 L c n S n 对任 S n 为常数，则称数列an为 S 2n 意nN都成立，试推断数列cn是否为“科比数列”？并说明理由 21 （本小题满分 12 分） n (nN*) x ,x ,x n x x 2 x n定义12的“倒平均数” 为1， 已知数列前项 1 的“倒平均数”为 2n4 c n a n(nN*) n1 ，试比较（I）记与的大小； f (x)

10、x24x （II） 是否存在实数， 使得当时， a n 0 n1 对任意恒 成立？若存在,求出最大的实数 22 （本小题满分 12 分） 已知函数y x 1,y ；若不存在，说明理由 11t x22x2t, y (x)(x 0)的最小值恰好是方程 2x x3ax2bxc 0的三个解，其中0t 1 （I）求证:a 2b3 （II）设(x 1,M),( x2 ,N)是函数f (x) x ax bx c的两个极值点。 若x 1 x 2 32 2 2 ,求函数f (x)的解析式；求M N的取值范围。 3 参考答案 一、选择题： 1A 2B 3C4 B 5D6 B7C 8 B 9A 10 A 11A 1

11、2C 【解析】很多同学根据题意发现n=16 可行,判除 A,B 选项,但对于 C,D 选项则难以作出 选择,事实上,这是一道运筹问题,需要用函数的最值加以解决设A B的件数为x1 （规定:当x 1 0时,则 B 调整了| x 1 |件给 A,下同!）,BC的件数为x 2 ,C D的件 数为x3,D A的件数为x4,依题意可得 x 4 50 x 1 40,x 1 50 x 2 45,x 2 50 x 3 54,x 3 50 x 4 61,从而 x 2 x 1 5,x 3 x 1 1,x 4 x 1 10,故调动件次 f (x 1) | x1 | x 1 5| x 1 1| | x 1 10|,画

12、出图像（或绝对值的几何意义）可得最小值 为 16,故选（C） 二、填空题： 13 6144153016 a b c h (nN ) 三、解答题： 17解（）因为ab2sin nnnn xxxxx cos(12cos)(12cos) sin x12cos2 22222 sin xcosx 2sin(x) （2 分） 4 由sin(x 4 ) 0，得2k x 4 2k，即2k 4 x 2k 5 ，kZ 4 所以 f（x）的定义域是(2k 因为0 4 , 2k 5 ),kZ （4 分） 4 1 2sin(x) 2，则f (x) log 1 2 ， 24 2 所以 f（x）的值域是, + + )（6

13、分） （）由题设f (x) log 1 2 1 2 2sin(x) 4 若 f（x）为增函数，则y 所以2k 2sin(x)为减函数， 4 2 x 4 2k，即 2k 分） 3535 ，故f（x）的递增区间是2k x 2k, 2k),kZ（9 4444 2sin(x)为增函数， 4 若 f（x）为减函数，则y 所以2k x 4 2k 2 ，即 2k 4 x 2k 33 ，故 f（x）的递减区间是(2k,2k（12,kZ 444 分） 18解（）设奖励函数模型为yf（x） ，则公司对函数模型的基本要求是： 当 x10，1000时，f（x）是增函数； x 恒成立（3 分） 5 x （） （1）对于

14、函数模型f (x) 2： 150 f（x）9 恒成立；f (x) 当 x10，1000时，f（x）是增函数， 则f (x)max f (1000) 100020 2 2 9 1503 所以 f（x）9 恒成立（5 分） f (x)12 在10，1000上是减函数， x150 x f (x)111 max 所以 x15055 f (x)121x ，即f (x) 不恒成立从而 5x150 x5 因为函数 故该函数模型不符合公司要求（8 分） （2）对于函数模型 f（x）4lgx3： 当 x10，1000时，f（x）是增函数，则f (x)max f (1000) 4lg1000 3 9 所以 f（x

15、）9 恒立（10 分） 设 g（x）4lgx3 x4lg e1 ，则g(x) 5x5 4lg e12lg e1lge21 0， 当 x10 时，g(x) x555 所以 g（x）在10，1000上是减函数， 从而 g（x）g（10）10所以 4lgx3 即 4lgx3 x 0， 5 x ， 5 x 所以f (x) 恒成立,故该函数模型符合公司要求 5 19解： （1）该四棱锥相应的俯视图为内含对角线、边长为 6cm 的正方形（如下图）-2 分 P L 2其面积为：66=36（cm ）-4 分 E （2）如图，以 C 为原点，CD 为 x MN 轴，CB 为 y 轴，CP 为 Z 轴建立空间直角

16、坐标系， C 则 D（6，0，0） ，A（6，6，0） ，B（0，6，0） ，Pz F （0，0，6） ，E（0，3，3） ，L（0，1，5） ，M（3， D A 3，3） ，N（3，0，3）-6 分 LM (3,2,2),NM (0,3,0),CA 6,6,0 , -7 分 设平面 LMN 的法向量为n=（x,y,z） B 3x 2y 2z 0 nLM 0 由得令 x=2 则n=（2，0，3）-9 分 3y 0 nNM 0 设CF CA (6,6,0)，-10分 则EFECCF0,3,3(6,6,0)(6,63,3)-11分 由EF n 0，得129 0，即= 3 -12分 4 9 23 A

17、C=cm-14 分 24 又 EF 平面LMN，所以，EF/平面 LMN-13分 即在底面正方形的对角线AC 上存在符合题意的点 F，CF= 20解（）设等差数列bn的公差为d(d 0)， 则n S n k，因为b 1 1， S 2n 11 n(n1)d k2n2n(2n1)d， 22 即2(n1)d 4k 2k(2n1)d（2 分） 整理得，(4k 1)dn(2k 1)(2d) 0（3 分） 因为对任意正整数n上式恒成立，则 d(4k 1) 0 ， (2k 1)(2d) 0 d 2 解得1（5 分） k 4 故数列bn的通项公式是bn 2n1（6 分） 322 （）由已知，当n 1时，c 1

18、 S 1 c 1 因为c 1 0，所以c 1 1 （7 分） 3333233332 当n 2时，c 1 c 2 c 3 L c n S n ，c 1 c 2 c 3 L c n1 S n1 两式相减，得cn SnSn1SnSn1SnSn1cn(SnSn1) 322 因为cn 0，所以cn=Sn Sn1 2Sncn（9 分） 2 显然c 1 1适合上式，所以当n 2时，c n1 2S n1 c n1 22 于是cncn1 2(Sn Sn1)cncn1 2cncncn1 cncn1 2 因为cncn1 0，则cncn11， 所以数列cn是首项为 1，公差为 1 的等差数列 （12 分） 所以 S

19、n n(n1)n1 不为常数， S 2n 2n(2n1)4n2 故数列cn不是“科比数列” （13 分） 21解： （1）数列的通项为 （2）假设存在实数，使得当 故 时， ，易知， 对任意恒成立， 则对任意都成立， ， 得，有或故存在最大的实数符合题意 22解： （1）由条件，得f (x) 11 3x2a2x b x2 ax b，-1 分 32 当x 2, 2时，总有f (x) 0，所以有 f ( 2) 0,2 a 2 b 0, f ( 2) 0.2 a 2 b 0. 由+得，4 2b 0 b 2， 又 b 2，b=2，-4分 把 b=2 代入和得 1 3 2 a 2 2 0,a 0, a 0.因此f (x) x 2x 1-7分 3 2 a 2 2 0. a 0. 1 3232 （2）g(x) 3(x 2x 1) mx 6x x mx 3， 3 g(x) 3x2 2mx是关于 x 的二次函数，-8分 | g(