广工复变函数与积分变换历年试题.pdf

1、 2002006 620072007 学年第二学期复变函数补考学年第二学期复变函数补考试题试题 题目 一一 二二 三三 四 五 总分 分数 一 求下列各式的值 （1） () 4/1 1i （2）()iLn43+ （3）()ii+1 （4）)5cos( i（5） 2 3 i e 二 研究下列函数的解析性 ( )iyxzf 33 32+= 三 计算下列积分 （1）计算积分 C zdzRe，其中积分路径 C 为： 连接由点 0 到i+1的直线段； 连接由点 0 到点 1 的直线段及连接由点 1 到点i+1的直线段。 （2） ()() + C zz dz 41 22 2 3 :=zC （3）()dzz

2、tg z=3 （4） ()()dzzz z= 2 5 5 13 1 四 求函数( ) ()()21 1 = zz zf在以0=z为中心的圆环域（包括圆域）内的展 开式。 五 求指数衰减函数( ) 。 20062007 第二学期复变函数期末考试试题（A 卷） 题号 一 二 三 四 五 六 总分 分数 一 计算下列各题 （1） i i i 1 31 （2） 4 1i （3）()ii 43+ （4）求解方程：033=+ie z 二 计算下列各题 （1）( )iyxzf 33 32+=何处可导？何处解析？ （2） 函数( ) () 22 sin1zz z zf + =在复平面内有些什么类型的奇点？如果

3、是极点，指 出它的级，并计算在这些奇点处的留数。 三 计算下列积分 （1） ()() + C zz dz 41 22 ， 2 3 :=zC （2）() 0 i z zi e dz （3） ()()dzzz z= 2 5 5 13 1 四 把函数 ()izz 2 1 在以i为中心的圆环域内展开成洛朗级数。 五 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性 (1) 1 n n i n = （2） = + 0 2 1 n n i 六（1）求指数衰减函数( ) 。 （2）利用性质求函数( )( 0 ttuetf tj =的 Fourier 变换。 （已知单位阶跃函数( )tu 的 Fourier 变换为( )(

4、) j tuF 1 +=） 20062007 第二学期复变函数期末考试试题（B 卷） 题号 一 二 三 四 五 六 总分 分数 一 计算下列各题 （1） i i i 1 31 （2） 6 1i （3）()ii+1 （4）()iLn43+ 二 计算下列各题 （1）( )()() 222 2yxyixyxzf+=何处可导？何处解析？ （2）证明() 22 , yx y yxu + =为调和函数，并求其共轭调和函数()yxv,和由它们构 成的解析函数( ),ivuzf+=使其满足( ). 02 =f （3） 函数( ) () 22 sin1zz z zf + =在复平面内有些什么类型的奇点？如果是极

5、点，指 出它的级，并计算在这些奇点处的留数。 三 计算下列积分 （1） =12iz thzdz （2） ()() + C zz dz 41 22 ， 2 3 :=zC （3） ()()dzzz z= 2 5 5 13 1 四 把函数 ()izz 2 1 在以i为中心的圆环域内展开成洛朗级数。 五 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性 (1) 1 n n i n = （2） () 0 65 8 n n n i = + 六（1）( ) = t tt tf , 0 ,cos ，证明 = + t tt d t , 0 ,cos 2 1 cossin 0 2 20062007 第一学期复变函数期末考试试题（

6、B 卷） 题号 一 二 三 四 五 六 总分 分数 一 计算下列各题 （1） () 5 3i （2）() 3 1 1i （3）()ii+1 （4）()iLn43+ 二 计算下列各题 （1）( )iyxzf 33 32+=何处可导？何处解析？ （2）证明()yxyyxu 23 3,=为调和函数，并求其共轭调和函数()yxv,和由它们 构成的解析函数。 三 计算下列积分 （1） ()() + C zz dz 41 22 ， 2 3 :=zC （2）zdz i i 2 sin （3）dzztg z=3 （4） () () dz zz z C + 3 4 2 2 15 21 , 3:=zC 四 把函数

7、 ()izz 2 1 在以i为中心的圆环域内展开成洛朗级数。 五 求下列函数( )zf在有限奇点处的留数： （1） zzsin 1 （2） 4 2 1 z e z 六 ( ) = t tt tf , 0 ,cos ，证明 = + t tt d t , 0 ,cos 2 1 cossin 0 2 20062007 第一学期复变函数期末考试试题 题号 一 二 三 四 五 六 总分 分数 一 计算下列各题 （1） 5 31 31 + i i （2） 4 1i （3）()ii+1 （4）()iLn33 二 计算下列各题 （1）( )()() 222 2yxyixyxzf+=何处可导？何处解析？ （2）

8、证明()yxyyxu 23 3,=为调和函数，并求其共轭调和函数()yxv,和由它们 构成的解析函数。 三 计算下列积分 （1）() 0 i z zi e dz （2） ()() + C zz dz 41 22 ， 2 3 :=zC （3） 21zi thzdz = （4） () () dz zz z C + 3 4 2 2 15 21 , 3:=zC 四 把函数 ()izz 2 1 在以i为中心的圆环域内展开成洛朗级数。 五 判断下列级数的绝对收敛性与收敛性 (1) 1 n n i n = （2） () 0 65 8 n n n i = + 六 ( ) = t tt tf , 0 ,cos

9、，证明 = + t tt d t , 0 ,cos 2 1 cossin 0 2 一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分) 1下列等式中，对任意复数 z 都成立的等 式是（ ） A.zz=Re(zz) B. zz=Im(zz) C. zz=arg(zz) D. zz=|z| 2设 z 为非零复数，a,b 为实数，若 iba z z +=+= _ ， 则 a2+b2的值（ ） A等于 0 B等于 1 C小于 1 D大于 1 3下列函数中，不解析 的函数是（ ） A.w=z B.w=z2 C.w=ez D.w=z+cosz 4在下列复数中，使得 ez=2 成立的是 （

10、） A.z=2 B.z=ln2+2i C.z=2 D.z=ln2+i 5设 C 为正向圆周|z|=1,则 dzz C =（ ） A i6 B i4 Ci2 D0 6设 C 为正向圆周|z|=1,则 + C 2 dz ) i1z( 1 等于 （ ） A.0 B. i2 1 C. i2 D. i 7对于复数项级数 = + 0n n n 6 ) i 43( ，以下命题正 确的是（ ） A.级数是条件收敛的 B.级数是绝对收敛的 C.级数的和 D.级数的和不存在， 也不为 8. 沿 正 向 圆 周 的 积 分 dz z z z= 2 2 1 sin = （ ）. .2 1sini .0 . 1sini

11、 .以上都不对. 9. 幂级数 = = + + 0 )1( 1 n n n z i 的收敛半径为（ ） A2 B1 C 2 1 D0 10函数zztan在 z=0 点的留数为（ ） A2 Bi C1 D0 二、 填空题 （本大题共 5 小题， 每小题 2 分， 共 10 分） 1. 方程 iz 3 1ln += += 的解为_. 2. 设 C 为 正 向 圆 周 |z- i 4 |=1, 则 积 分 = C dz zcos 1 _. 3. ( )tetf t 6cos 4 = ,则 L ( )tf = . 4. 函数 f(t)=t 的傅氏变换为 . 5. 函数 f(z)= 1)(z 1 1z

12、1 1 z 1 5 + + + + + + + +在点 z=0 处的留 数为_。 三、计算题（本大题共 5 小题，共 50 分） 1.（10 分）设 C 为正向圆周|z-1|=3,计算积分 I= C z dz zz e . )2( 2 2. （10 分）已知 22 ( , )u x yxyxy=+ ,为调和函 数,求 ( , )v x y 及解析函数 ( )( , )( , )f zu x yiv x y=+ . 3. （ 10分 ） 利 用 留 数 计 算 积 分 + + + = + =dx xx x I )4)(1( 22 2 4. （10 分） 将函数 f(z)= ) iz (z i 2

13、 + 在圆环 0|z|1 内展开成罗朗级数. 5 （10 分） 求函数 6z5z 1 ) z(f 2 + = 在 z=1 处的 泰勒展开式，并求其收敛半径. 四、积分变换（20 分） 1（10 分）已知 f(t)= 2的洛朗展式。 六（10 分）求拉普拉斯逆变换 1 +3 (1)(3) s ss + .（已知 1 1 s =） 七（10 分）指出函数 1 ( ) sin f z zz =在复平面上有什么类型的的奇点，若是极点指出它的 级。并计算积分 3 | |= ( ) z 2 f z dz ? ,其中 3 |= 2 z为正向圆周. 广东工业大学试卷 A 用纸，共 2 页，第 2 页 广东工业

14、大学试卷用纸，共 2 页，第1页 学学 院：院： 专专 业：业： 学学 号：号： 姓姓 名名： 装 订 线 广东工业大学考试试卷广东工业大学考试试卷 ( (B B) ) 课程名称课程名称: : 复变函数与积分变换 B 试卷满分试卷满分 100 分分 考试时间考试时间: : 2012014 4 年年 1 12 2 月月 0202 日日 ( (第第 1 13 3 周周 星期星期 二二 ) ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 一一 选择题（每题选择题（每题 5 分，共分，共 25 分）分） 1复数复数12i 的幅角主值是的幅角主值是 （

15、） (A) tan(2)arc (B) 1 tan 2 arc (C) arctan2 (D) arctan2+ 2下面那个函数在复平面解析下面那个函数在复平面解析 （ ） (A) 22 xy+ (B) 2 xiy (C) xiy+ (D) xiy 3. 下面表达式中下面表达式中错误错误的是的是 ( ) （A） 1212 zzzz ee e + = （B）( )() 1 12 2 n z LLn zLn z z = (C) 1 212 arg()arg( )arg()z zzz=+ (D) 2 cos(2 )2cos1zz= 4. 关于关于函数函数 ( ) t 的性质的性质, 错误错误的是的是

16、 ( ) 广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第2页 （A）(1) j tjt tedte = (B) (1) j tjt tedte = （C） 1 ( )1t dt = (D) ( )1t dt = 5. 积分积分 | 3 1 z i dz zi + = 为为 ( ) （A）2 i （B）1 (C) 1 2 i (D) 0 二二 填空题（每填空题（每题题 5 分，共分，共 25 分）分） 1令令13zi= ，则则 3 z = 。 2设设 i zi=，则，则z = 。 3幂级数幂级数 0 (1) n n nz = + 的收敛半径的收敛半径R = ,其和函数为其和函数为R =_ 。 4函数函数 2 ( )f zxiy=仅在仅在 处可导。处可导。 5函数函数( )cosf tt=的的 Laplace 变换为变换为 _ 。 三三（10 分）分）沿沿 2 2yxx=计算计算积分积分 1 0