第4讲 量子力学.pptx

1、第三章 一维势场中的粒子,用 Schrdinger 方程来处理一类简单的问题 一维定态问题，其好处有： （1）有助于具体理解量子力学的基本原理； （2）处理一维问题，数学简单，从而能对结果进行细致讨论，量子体系的许多特征都可以在这些一维问题中展现出来； （3）一维问题还是处理各种复杂问题的基础。 内容概要： 3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质 3.2 方势（势阱、势垒） 3.3 势 3.4 一维谐振子,第1页,3.1 一维势场中粒子能量本征态的一般性质,设质量为m的粒子，沿x方向运动，势能为V(x)，则Schrdinger方程为， 对于定态(能量E)，波函数表为 (x)满足一维粒子的能

2、量本征方程,第2页,我们想找出它在整个区间有限、连续，可微的解。但这些解要根据具体物理问题的边条件来定出。,能量本征方程解的一般性质,定理 1 设(x)是方程（1）的一个解，对应的能量本征值为E，则*(x)也是方程（1）对应能量为E的解。 证明： 取复共轭 *(x)也满足方程(1)，对应能量为E。,第3页,假设对应于某个本征值E，(1)的解无简并（即只有一个独立的解），则可取为实解。 证明：(x), *(x)均为(1)对应E的解，由于无简并，则有 *(x) = C(x), C为常数。取复共轭，(x) = C*(x)*= C*C(x)，所以|C|=1，则C=eia, a为实数。 取新波函数为 n

3、(x) = eia/2(x)， 则(n(x)* = e-ia/2*(x) = e-ia/2 eia(x) = eia/2(x) =n(x)。,第4页,定理 2 对应于能量E，总可找到方程(1)的一组实解，凡是属于E的任何解，均可表示为这一组实解的线性叠加。 证明： 假设(x)是方程(1)的对应于E的一个解，若是实解，则归到实解集合中去。若是复解，按定理 1， *(x)也必是方程属于E的一个解，则它们的叠加 也是方程属于E的解， 均为实解，且,第5页,定理 3 设V(x)具有空间反射不变性，V(-x) = V(x)，如设(x)是方程（1）对应E的一个解，则(-x)也是方程对应于E的解。 证明：

4、对方程 ,有 则(-x)也是（1）对应于E的解,第6页,空间反射算符P 定义为P(x) = (-x)，按定理 3，若 V(-x) = V(x)，则(-x)和(x)都是对应E的量子态。若对应E，方程(1)的解无简并，则解必具有确定的宇称，即 偶宇称 P(x) = (-x)= (x)，或者 奇宇称 P(x) = (-x)= -(x)。 证明： 由于无简并， P(x) = (-x) = C(x) P2(x) = P C(x) = C2(x), P2(x) = (x), 则有C2=1，C = 1。 若能级有简并，能量本征态不一定具有确定宇称。,第7页,定理 4 若V(-x) = V(x)，则对应于任何

5、一个能量本征值，总可以找到(1)的一组解，每一个解都具有确定宇称，而属于E的任何解，都可以用这组解展开。 证明： 设(x)是(1)的一个解，根据定理 3， (-x)也是方程的一个解， 取 f(x) =(x) +(-x), g(x) =(x) - (-x) f(x), g(x) 具有确定宇称。 (x)=f(x) + g(x)/2, (-x)=f(x) g(x)/2。,第8页,波函数(x)及其各阶导数连续性,波函数(x)及其各阶导数连续性与V(x)有关。若V(x)是连续函数，按方程(1)， ”(x)存在，因此(x)和(x)为x 的连续函数。但若V(x)不连续（存在奇异性），则(x)和各阶导数的连续

6、性问题需要具体分析。,第9页,定理 5 对于阶梯性方位势 V2-V1 有限，则能量本征函数(x)及其导数(x)必定是连续的。 证明： 根据方程 在V(x)连续的区域， (x)及(x)必然连续。在V(x)发生阶梯跃变处，V(x) (x)发生跃变，但变化是有限的。上式对xa积分，有,第10页,E - V(x) (x)是有限的，当 时，右边积分为0。因此， (x)在x=a点连续， (x)也是连续的。,第11页,定理 6 对于一维粒子，设1(x), 2(x)均为方程（1）的属于同一能级E的解，则 证明：按假设， 1(4) 2(3),第12页,对于束缚态粒子，,定理 7 设粒子在规则势场V(x)中运动，

7、若存在束缚态，则必定是不简并的。 证明： 设1(x), 2(x)是方程(1)属于能级E的两个束缚态解，则有 在不包含1(x), 2(x)节点的区域中，用12除上式，的 积分得 V(x)无奇点， (x)和(x)连续。 1(x), 2(x)代表同一量子态。,第13页,3.2 方势,精确求解一些简单的方形势的本征值问题。 经典运动和量子运动的主要不同点 特别是束缚态能量量子，以及非束缚“粒子”的运动中，波的反射、共振和势垒贯穿现象。,第14页,当普朗克常数可以忽略时，对一个粒子的量子描述可以转化为经典描述。在经典近似中，波动性显示不出来，是因为与粒子相联系的波长甚小于粒子运动的特征长度 这种情况和我

8、们在光学中遇到的类似，当光波的波长相对于问题中涉及的长度而言可以忽略，则不考虑光的波动性的几何光学便是一种很好的近似。所以，经典力学相对于量子力学的地位就相当于几何光学相对于波动光学的地位。,第15页,当一个粒子处在与时间无关的势场中运动时，如果在比其波长短的路径上，势能的变化是显著的，那么，就应出现典型的量子效应（起因于波动性的量子效应），这时波长已是不可忽略的了。因此，为了使典型的量子效应得以出现，势V(x)在一个波长数量级的距离内必须具有明显的相对变化。 满足这些条件的最简单的势是方形势，其特点是在某些点上出现不连续性，而其它地方保持为常数的势。这样x轴被分为几个间隔，在每个间隔中保持为

9、常数。于是，不论波长多么短，它在与波长同数量级的区间上一定有显著的变化，因此量子效应总是会表现出来的。,第16页,3.2.1 一维无限深方势阱 在阱内（0xa），能量本征方程为 m为粒子质量，E为能量。 在阱外，势场为无限大，因此粒子出现的几率为0，=0.,第17页,令 阱内薛定谔方程及边界条件 0xa内通解为 由边界条件，得到 B = 0，,第18页,可见，并非任何E值都满足边界条件，只有当能量取某些特定值时，对应的波函数才满足边界条件。 系统的能量是量子化的，所构成能谱是离散的。 对应于能级En的波函数为 利用归一化条件，,第19页,可得,则归一化后的波函数表示为 讨论：粒子最低能级 ，与

10、经典粒子不同，是微观粒子波动性的表现，“静止的波”是没有意义的。从不确定性关系也可得出此定性结论。 x a, p /x / a, E = p2/2m p2/2m 2/2ma2 . 不难验证，波函数在全空间连续，但微商在x=0, a不连续。,第20页,n 相互正交， n（n=1, 2, ）是完全集， 系统处于n的概率为|Cn|2,第21页,例： 设粒子处于无限深方势阱 中，粒子波函数为(x) = Ax(a-x)， A为归一化常数。 a) 求A； b) 求测得粒子处于能量本征态 的概率Pn.,第22页,另一个例子,势阱内薛定谔方程及边界条件 在|x|a的区域内，通解为,第23页,利用边界条件，可得

11、 Asin(ka) = 0, Bcos(ka) = 0。 A, B 不能同时为0， 否则处处为0， 无意义。 由此，得到两组解， (1) A=0, cos(ka) = 0; (2) B=0, sin(ka) = 0.,第24页,归一化条件，可取 讨论：粒子被束缚在阱内。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态(即粒子被约束于空间的有限区域)。一般地，束缚态所属能级是分立的。 粒子最低能级（基态），也具有能量，粒子波粒二象性的反应。,第25页,能级分布是不均匀的。能级愈高，密度愈小。 即n很大时，能级可视为连续的，这样就回到了经典情形。这正如对应原理所揭示的，大量子数极限情况下，量子理论必须逐渐逼近经典理论。 不同定态能量间隔差 ，表